北京育才学校2013-2014学年高三度第一学期期中考试数学(理)试题

2A{x|x1}，则CA( ) U=R1. 已知全集，集合UA. (,1) B. (1,1) C. (1,) D.(,1)(1,) 2. 下面是关于复数z2 的四个命题: 1ip1:z2, p2:z22i p3:z的共轭复数为1i p4:z的虚部为1

其中真命题为 （ ）

A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4

3. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的是

（ ）

开始 A. yx3 B.ycosx C.

yxx D.yex

4. 执行如图1所示的程序框图,输出的i值为（ ）

i1,s0 A.5 B.6 C.4 D.3

5. 用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，

其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（ ） A 120 B 72 C 48 D

xa(x0),36 6. 函数

对任意

ss2i1i ii1 s100? 是 f(x)(a3)x4a(x0)满足

否 输出i 范围是

f(x1)f(x2)x1x2,都有0成立，则a的取值

x1x2（ ）

A [ ,1) B (0,1) C (0,)D 0,1

141414结束 图1图

7. 在长为10cm的线段AB上任取一点C，分别以线段AC,CB的长为邻边做一个矩

形，则该矩形面积大于9cm的概率为（ ）

2A.

1431 B. C. D. 1051058. 已知函数fxx22x,gxax2a0,对任意的x11,2都存在

x01,2,使得fx0g(x1),则实数a的取值范围是（ ）

A.0, B.,3 C. 3, D.0,3 22

二、填空题（6道小题，每小题5分，共30分）

9. 在ax展开式中x的系数为35,则实数a的值为 . 471110. 已知向量a(4,5cos),b(4tan,3),a//b，则cos2=_______

2tx211. 已知直线l的参数方程为 (t为参数)，圆C的参数方程为y12t22xcos (为参数), 则圆心C到直线l的距离为 . ysin12. 不等式x2x0的解集为

a,b,则abxx2dx______

13. 如图2，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交 2a

于AB的中点P，PD＝3，∠OAP＝30°，则CP＝_________.

n,n为奇数时，14. 我们可以利用数列{an}的递推公式ana,n为偶数时

n2*图2 （nN）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.则

a24a25_________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数

2

列的第_______项.

三、解答题（6道小题，共80分） 15. 设函数

f(x)logax（a为常数且a0,a1），已知数列

f(x1),f(x2),f(xn),是公差为2的等差数列，且x1a2.

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）当a

16. 在锐角ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,向量

11时，求证：x1x2xn. 23m1,cosB,nsinB,3,且mn.

（1）求角B的大小；

（2）求函数f(x)sin(2xB)的单调减区间； （3）若ABC面积为

17. 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,如图3是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布

直

方

图

,

其

中

收

看

时

间

分

组

区

间

是:0,10,10,20,20,30,30,40,40,50,50,60. 将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观 众称为“体育迷”. （1）求图中x的值;

（2）从“体育迷”中随机抽取2人， 该2人中日均收看该类体育节目时间 在区间50,60内的人数记为X， 求X的数学期望EX.

3

332,3ac25b, 求a,c的值。 2频率 组距0.020.020.020.01 x 0.00O 123图3

456分

18. 设函数f(x)sinxcosxax1

（1）当a1，x[0,2]时，求函数f(x)的单调区间与极值； （2）若函数f(x)为单调函数，求实数a的取值范围。

19.已知函数fxxlnx．

（1）若存在x,e，使不等式2fxx2ax3成立，求实数a的取值范

e围；

（2）

20 如果由数列{an}生成的数列{bn}满足对任意的nN均有bn1bn，其中

*1设0ab，证明：fafb2fab0． 2bnan1an，则称数列{an}为“Z数列”.

（Ⅰ）在数列{an}中，已知ann2，试判断数列{an}是否为“Z数列”； （Ⅱ）若数列{an}是“Z数列”，a10，bnn，求an；

（Ⅲ）若数列{an}是“Z数列”，设s,t,mN，且st，求证：atmasmatas.

*4

期中 答案 1 B 2 C 3 C 4 A 5 D 6 D 7 B 8 A 9、1 10、

15、（13分）

97132 11、 12、 13、8a 14、28,0

3252解：（Ⅰ）f(x1)logaa22d2f(xn)2(n1)22n

即:logaxn2nxna2n „„„„„„„6分

nn11111a时，xn （Ⅱ）当

n24444111xx2xn1 1 1 3   4  

 314„„„„„„„13分

16、（13分）

解(1) : mn1,cosBsinB,31sinBcosB3

sinB3cosB B3coBs0 mn,mn0 sinABC为锐角三角形,cosB0 tanB3,

0B B. „„„„4分

23（2）

B32kk

22x32k7123 212xk[k

12,k7],kZ „„„„8分 125

（3）由b2a2c22accosB,得b2a2c2ac, 代入3ac25b2得3ac25a2c2ac,得ac5.

SABC113333,得ac6 acsinBacsinac由题设ac223442ac5a2a3联立, 解得,或. „„„„13分

c3c2ac6

17、解:(1)由题设可知0.005x0.0120.020.0250.028101,

解之得x0.01. „„„„„„„4分

(2)由题设知收看该类体育节目时间在区间50,60内的人数为0.005101005人, “体育迷”的人数为0.010.0051010015, 所以X的可能取值为0,1,2,

02110C5C103C5C1010C52C102, pX0pX1pX2222C157C1521C152131022X的数学期望EX012. „„„„ 13分

721213

18、（13分）(1)

解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0

6

因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（3，2），2333单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()=2222

„„„„„„„8分

(x)（2）f2sin(x4)a

f(x)0 恒成立 或f(x)0恒成立

a(,2][2,) „„„„13分

19、（14分）

2fxx2332lnxx． 解：（1）由2fxxax3变形为axx2令gx2lnxx323x1x3，则gx12

xxxx2故当x,1时，gx0，gx在,1上单调递减； 当x1,e时，gx0，gx在1,e上单调递增， 所以gx的最大值只能在x又g3e1e1e1或xe处取得 e1e1112，gee2，所以gge

eee112，从而a3e2． ee所以gxmax3e（2）∵fxxlnx，∴fxlnx1 设Fxfafx2fax，则

27

axax Fxfxflnxln22当0xa时，Fx0，Fx在0,a上为减函数； 当ax时，Fx0，Fx在a,上为增函数． 从而当xa时，FxminFa0， 因为ba，所以fafb2f20、（14分）

解：（Ⅰ）因为ann2，

所以bnan1an(n1)2n22n1，nN， „„„„„„„2分 所以bn1bn2(n1)12n12，

所以bn1bn，数列{an}是“Z数列”. „„„„„„„4分 （Ⅱ）因为bnn，

所以a2a1b11，a3a2b22，„，anan1bn1(n1)， 所以ana112(n1)所以an*ab0．

2(n1)n（n2），„„„„„„„6分 2(n1)n（n2）， 2(n1)n*又a10，所以an（nN）. „„„„„„„8分

2（Ⅲ）因为 asmas(asmasm1)(as1as)bsm1bs，

atmat(atmatm1)(at1at)btm1bt，

„„„„„„10分

又s,t,mN，且st，所以siti，bsibti，nN，

所以bsm1btm1,bsm2btm2,,bsbt， „„„„„„„12分 所以atmatasmas，即atmasmatas. „„„„„„„14分

8

**

9