第31讲 平面向量的数量积(原卷版)

第31讲：平面向量的数量积

一、课程标准

1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二、基础知识回顾 1．向量的夹角

―→―→

(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．

(2)范围：夹角θ的范围是[0，π]． 当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；

π

当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；

2当θ＝π时，两向量a，b共线但反向． 2．平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ，其中θ是a与b的夹角．

规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义

(1)一个向量在另一个向量方向上的投影

设θ是a，b的夹角，则|b|cos θ叫做向量b在向量a的方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在向量b的方向上的投影． (2)a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 4．向量数量积的运算律

(1)交换律：a·b＝b·a.

(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 5．平面向量数量积的性质

设a，b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a. a·b

(4)cos θ＝.

|a||b|(5)|a·b|≤|a||b|.

6．平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则

2

(1)|a|＝x21＋y1； (2)a·b＝x1x2＋y1y2；

(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0;_ (4)cos θ＝三、自主热身、归纳总结

x1x2＋y1y2

2＋y2 x2＋y2

x1122

.

→→→

1、已知直角坐标平面内，OA＝(－1，8)，OB＝(－4，1)，OC＝(1，3)，则△ABC是________．( )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

2、已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝23，a与b的夹角的余弦值为sin A.2

B.－1

C.－6

17π

，则b·(2a－b)等于( ) 3

D.－18

3、已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )

77A.9，3 77C.3，9

77

－，－ B．9377－，－ D.39

4、(2019·贵州省适应性考试)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC―→―→―→

的中点，则AB·(AC＋AE)＝( )

A．8 C．16

B．12 D．20

→→→→→→

6、在▱ABCD中，|AB|＝8，|AD|＝6，N为DC的中点，BM＝2MC，则AM·NM等于( )

A. 48 B. 36 C. 24 D. 12

7、已知两个单位向量a，b满足|a＋b|＝3|b|，则a与b的夹角为________． 8、已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.

(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．

四、例题选讲

考点一 平面向量的数量积的运算

π

例1、(1)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝( )

4

A．6 C．22

B．32 D．3

1

(2)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为( )

2

A．1 3C. 4

变式1、（2020届山东实验中学高三上期中）已知向量a,b满足a3，b2 ，ab4，则ab

1

B．

2D.3 2

___________.

→→

变式2、如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE与BD交于点M，AB＝2，AD＝1，且MA·MB1→→

＝－，则AB·AD＝___.

6

→→→→→

变式3、 在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足AP＝AB＋λAC，且BP·CP＝1，则实数λ的值为

方法总结：1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.

2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解. 考点二、 平面向量的夹角问题

例2、（2020届山东省德州市高三上期末）已知向量a，b满足a1，b2，aba3b13，则a与b的夹角为（ ） A．

 6B．

 3C．

2 3D．

5 61

变式1、(2019·湖北恩施2月质检)已知平面向量a，b满足(a－2b)⊥(3a＋b)，且|a|＝|b|，则向量a与b的

2夹角为( )

πA. 32πC. 3

πB． 23πD. 4

变式2、(1)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝____ .

(2)[2017·山东高考]已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是____.

变式3、（2019春•泉州期末）ABC中，ABc，BCa，CAb，在下列命题中，是真命题的有( ) A．若ab0，则ABC为锐角三角形 B．若ab0．则ABC为直角三角形

C．若abcb，则ABC为等腰三角形

D．若(acb)(abc)0，则ABC为直角三角形

变式4、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若|a1,b3且a2b夹角的大小是_______.

变式5、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）若非零向量a、b,满足ab,2abb,则a与b的夹角为___________.

方法总结：求向量的夹角，有两种方法：

(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，a·b由cos θ＝求得．

|a||b|(2)公式法：若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝

考点三、平面向量中的垂直

例1、(1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )

A．－4 C．－2

B．－3 D．－1

，〈a，b〉∈[0，π]． 2·x2＋y2x2＋y1122x1x2＋y1y2

7,则向量a与向量b―→―→―→―→―→―→―→―→―→

(2)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．

变式1、（2019秋•南通期末）在ABC中，AB(2,3)，AC(1,k)，若ABC是直角三角形，则k的值可以是()

A．1 B．

11 3C．313 2D．313 2―→―→―→―→―→―→

变式2、(2019·黑龙江省齐齐哈尔市一中模拟)已知向量|OA|＝3，|OB|＝2，OC＝mOA＋nOB，若OA与m―→―→―→

OB的夹角为60°，且OC⊥AB，则实数的值为( )

n

1A. 6C．6

1B. 4D．4

π

变式3、[2018·连云港期中]已知向量a＝(1，2sinθ)，b＝(sin(θ＋)，1)，θ∈R.

3

(1)若a⊥b，求tanθ的值；

π

(2)若a∥b，且θ∈ (0，)，求θ的值

2

方法总结：平面向量的垂直问题，有两个类型： (1)利用坐标运算证明两个向量的垂直问题

若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可。

(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值。 五、优化提升与真题演练

1、【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为

π 62πC．

3A．

π 35πD．

6B．

2、【2019年高考全国II卷理数】已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则ABBC=

A．−3 C．2

B．−2 D．3

3、【2018年高考全国II卷理数】已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab) A．4 C．2

B．3 D．0

π4、【2018年高考浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b

3b+3=0，则|a−b|的最小值是 满足b2−4e·A．3−1 C．2

B．3+1 D．2−3 5、【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD中，ABBC,ADCD,BAD120,ABAD1,若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为

21 1625C．

16A．

B．

3 2D．3

6、（2019春•济南期末）对于任意的平面向量a，b，c，下列说法错误的是( ) A．若a//b且b//c，则a//c C．若abac，且a0，则bc

B．(ab)cacbc D．(ab)ca(b．c)