高考数学 考点通关练 第二章 函数、导数及其应用 10 对数与对数函数试题 文-人教版高三全册数学试

考点测试10 对数与对数函数

一、基础小题

1．log225·log322·log59＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 答案 D

3lg 2

lg 25lg 22lg 92lg 522lg 3

解析 原式＝··＝··＝6.

lg 2lg 3lg 5lg 2lg 3lg 52．函数y＝

log1

2

3x－2的定义域是( )

2A．[1，＋∞) B.，＋∞ 322C.，1D.，1

33

答案 D

word

2

解析 log1 (3x－2)≥0＝log1 1,0<3x－2≤1，3

223．函数f(x)＝lg (x＋1)＋lg (x－1)( ) A．是奇函数 B．是偶函数

C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 答案 C

解析 函数f(x)的定义域为{x|x>1}，定义域不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数，故选C.

13xx≤0，

4．f(x)＝

log3xx>0，

1则ff＝( )

9

A．－2 B．－3 C．9 D．－9 答案 C

13xx≤0，

解析 ∵f(x)＝

log3xx>0，＝9.故选C.

1111－2

∴f＝log3＝－2，∴ff＝f(－2)＝9993

1x5．若函数y＝f(x)是函数y＝3的反函数，则f的值为( )

2

1

A．－log23 B．－log32 C. D.3

9答案 B

11x解析 由y＝f(x)是函数y＝3的反函数，知f(x)＝log3x，从而f＝log3＝－log32，

22故选B.

6．当0解析 在同一坐标系中作出函数y＝x，y＝3，y＝log3x，x∈(0,3)的图象，由图象可得当x∈(0,3)时，大小关系是log3x3

3

3

3

xx3

xx3

xx1x1x1x7．设x1，x2，x3均为实数，且1＝log2(x1＋1)，2＝log3x2，3＝log2x3，则( )

333

word

A．x1解析 如图所示，由图象可知，x13f(x)＝log(3x8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且当x∈0，时，2

2

＋10)，则f(2018)＝( )

A．4 B．2 C．－log213 D．log27 答案 C

3解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且当x∈0，时，f(x)23f(x)＝－log(－3x＋10)，

＝log2(3x＋10)，所以当x∈－，0时，所以f(2018)＝f(672×32

2

＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－log2(3×1＋10)＝－log213，故选C.

log2|x|

9．函数y＝的大致图象是( )

x

答案 C

log2|x|log2|－x|log2|x|解析 因为y＝f(x)＝，所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函

x－xxword log2|x|数y＝是奇函数，其图象关于原点对称．当x>0时，对函数求导可知函数图象先增后

x减，结合选项可知选C.

13

10．若函数f(x)＝loga(x－ax)(a>0且a≠1)在区间－，0内单调递增，则a的取值X

2

围是( )

13A.，1B.，1 4499C.，＋∞D.1， 44

答案 B

11132

解析 由题意得，x－ax>0在－，0上恒成立，即a>x在－，0上恒成立，∴a≥.

422

1132

若022

31213

成立，∴3×－－a≤0，得≤a<1；若a>1，则h(x)＝x－ax在－，0上单调递增，即

422

h′(x)＝3x2－a≥0在－，0上恒成立，∴a<0，这与a>1矛盾，综上，实数a的取值X围2





3是，1. 4

11．函数f(x)＝log2(－x＋22)的值域为________． 3答案 －∞， 2

3

232

解析 由题意知0<－x＋22≤22＝2 ，结合对数函数图象，知f(x)∈－∞，，

23故答案为－∞，.

2

12．已知函数f(x)＝a＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为________．

答案 2

解析 由题意知，a＋a＋loga2＝loga2＋6，即a＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍)． 二、高考小题

13．[2016·某某高考]已知a，b>0且a≠1，b≠1.若logab>1，则( )

2

2

2

1

xword

A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0 C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0 答案 D

解析 解法一：logab>1＝logaa， 当a>1时，b>a>1；

当0解法二：取a＝2，b＝3，排除A、B、C，故选D. 14．[2016·全国卷Ⅰ]若a>b>0,0c 答案 B

解析 ∵0b>1时，logac>logbc，A项错误； ∵0b>0， ∴logca∵0b>0，∴a>b，C项错误；

∵0b>0，∴c15．[2014·某某高考]已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )

abxcccccab

A．a>1，c>1 B．a>1,01 D．0word

答案 D

解析 由题图可知函数在定义域内为减函数，所以00，即logac>0，所以016．[2014·某某高考]已知b>0，log5b＝a，lgb＝c,5＝10，则下列等式一定成立的是( )

A．d＝ac B．a＝cd C．c＝ad D．d＝a＋c 答案 B

解析 log5b＝a，b>0，故由换底公式得

lg b＝a，∴lg b＝alg 5.∵lg b＝c，∴alg 5lg 5

d1ad＝c，又∵5＝10，∴d＝log510，即＝lg 5，将其代入alg 5＝c中得＝c，即a＝cd.

dd17．[2015·某某高考]计算：log21

答案 － 33

2解析

2log3＋log3

4＝________. ＝________，22

2

51－1

18．[2015·某某高考]lg ＋2lg 2－＝________.

22答案 －1

55解析 原式＝lg ＋lg 4－2＝lg ×4－2＝lg 10－2＝－1.

22三、模拟小题

11

19．[2016·某某二检]若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，则＋的值

ab为( )

word

1

A．36 B．72 C．108 D.

72答案 C

解析 设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝k，可得a＝211a＋b6＋＝＝k－2k－3＝108.所以选C. abab23

20．[2017·某某某某模拟]若函数y＝a(a>0，且a≠1)的值域为{y|0|x|

k－2

，b＝3

k－3

，a＋b＝6，所以

kky＝loga|x|的图象大致是( )

答案 A

解析 若函数y＝a(a>0，且a≠1)的值域为{y|021．[2017·某某某某模拟]已知y＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在区间[0,1]上是减函数，则a的取值X围是( )

A．(0,1) B．(0,2) C．(1,2) D．[2，＋∞) 答案 C

解析 因为y＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)在[0,1]上单调递减，u＝2－ax在[0,1]上是减函数，所以y＝logau是增函数，所以a>1.又2－a>0，所以122．[2016·某某华师附中联考]已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x－1，则f－|x|



2

＝________. 2

word

3答案

2

解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f－



2232

＝－f＝－log2－1＝2. 222

logax，x>2，

23．[2017·某某荆州模拟]若函数f(x)＝2

－x＋2x－2，x≤2

(a>0，且a≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a的取值X围是________．

1答案 ，1

2

解析 x≤2时，f(x)＝－x＋2x－2＝－(x－1)－1，f(x)在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f(x)在(－∞，2]上的最大值是－1，又f(x)的值域是(－∞，－1]，∴当x>2时，11logax≤－1，故024．[2016·某某某某一模]函数f(n)＝logn＋1

2

2

(n＋2)(n∈N)，定义使

*

f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫做企盼数，则在区间[1,2017]内这样的

企盼数共有________个．

答案 9 解析 ∵logn＋1

(n＋2)＝

ln ln n＋2n＋1

，∴f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)＝

ln 3ln 4ln 5ln

···…·ln 2ln 3ln 4ln k＋2ln k＋210,11

＝＝log2(k＋2)．∵1024＝22048＝2，k＋1ln 2

且log24＝2，∴使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数有10－1＝9个．

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题

1．[2017·某某某某月考]已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若－1解 (1)当x<0时，－x>0，由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)．

word

又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)． ∴当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)，

loga∴函数f(x)的解析式为f(x)＝

loga

x＋1，x≥0，

－x＋1，x<0.

(2)∵－1∴logaa1<2，

①当a>1时，原不等式等价于aa>2，

1>2，

②当0解得a>2；

1

解得02

1综上，实数a的取值X围为0，∪(2，＋∞)． 2

1－x2．[2017·某某某某月考]已知函数f(x)＝－x＋log2. 1＋x(1)求f

1＋f－1的值；

20172017

(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．

1－x1＋x1＋f－1＝0.

解 (1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0.∴f1＋x1－x20172017(2)f(x)的定义域为(－1,1)， ∵f(x)＝－x＋log2－1＋





2， x＋1

当x1(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值X围． 解 (1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，

xword ∴log4(4＋1)＋2kx＝log4(4＋1)－2kx， 4＋1

即log4－x＝－4kx，

4＋1

1x∴log44＝－4kx，∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，对一切x∈R恒成立，∴k＝－. 41x(2)由m＝f(x)＝log4(4＋1)－x

2

x4＋1x1＝log4x＝log42＋x，

22

xx－x11x∵2＋x≥2，∴m≥log42＝.

22

1故要使方程f(x)＝m有解，m的取值X围为，＋∞.

2

4．[2016·某某某某模拟]已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．

(1)写出函数g(x)的解析式；

(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值X围．

解 (1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点， ∴Q(－x，－y)在f(x)的图象上， ∴－y＝loga(－x＋1)， 即y＝g(x)＝－loga(1－x)． (2)f(x)＋g(x)≥m，即logax＋1

≥m. 1－x1＋x设F(x)＝loga，x∈[0,1)，

1－x由题意知，只要F(x)min≥m即可． ∵F(x)在[0,1)上是增函数，

∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0即为所求．