一种改进的快速自适应滤波算法

２０１１年５月　第１６卷第３期　西安邮电学院学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＸＩ’ＡＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＰＯＳＴＳ　ＡＮＤ　ＴＥＬＥＣＯＭＭＵＮＩＣＡＴＩＯＮＳ　Ｍａｙ　２０１１　Ｖｏ１．１６　Ｎｏ．３　一种改进的快速自适应滤波算法　张薇薇　（西安邮电学院电子工程学院，陕西西安７１０１２１）　摘要：为了解决传统自适应滤波最小均方（ＬｅａｓｔＭｅａｎＳｑｕａｒｅ，ＬＭＳ）算法中收敛速度与稳态误差之间的矛盾，提出　了一种改进算法。该算法在已有变步长ＬＭＳ算法基础上，引入遗忘因子来影响步长的更新。仿真表明，改进后的　算法比原算法不但具有更快的收敛速度，而且具有更小且稳定的稳态误差。　关键词：ＬＭＳ滤波算法；收敛速度；稳态误差；遗忘因子　中图分类号：ＴＮ９１１．４　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—３２６４（２０１１】０３—０００６—０３　ＬＭＳ算法是一种搜索算法，通过对目标函数进　行适当的调整［１］，简化了对梯度向量的计算。传统　ＬＭＳ算法中收敛速度和稳态误差是相互矛盾的［２］，　收敛速度越快，稳态误差就越大。为此，人们对　ＬＭＳ算法作了各种改进［３＿１１］，文献Ｉ－３－］对步长进行　Ｗ（　＋１）一Ｗ（　）＋２ｐｃ（　）Ｘ（咒）　了归一化，但受输入信号的影响较大，文献［４，５］提　出按照ｓｉｇｍｏｉｄ函数和广义ｓｉｇｍｏｉｄ函数来更新步　长，但ｓｉｇｍｏｉｄ函数过于复杂，且在误差为零处变化　太大，不具有缓慢变化的特性。文献［６］提出的步长　更新公式为　（　）一ｆｌ（１一ｅｘｐ（－－ａ　ｌ　ｅ（ｎ）ｌ。）），克服　图１　ＬＭＳ算法原理图　Ｗ（　）为自适应滤波器的权向量，Ｘ（咒）为输入　信号向量，ｅ（　）为系统输出误差，　（咒）为期望信号，　是一个用来控制收敛速度和稳定性的增益常数，　即步长。经过推导［２］，得到ＬＭＳ算法的稳态误差　。　一　了ｓｉｇｍｏｉｄ函数的不足。可见选择合适的步长迭代　公式是变步长ＬＭＳ算法中的关键问题。本文提出　一种改进的自适应变步长ＬＭＳ算法，给出一个合　＋ｅｘｃＭＳＥ一（１＋　・ｔｒＲ）　（１）　适的步长迭代公式，较好地解决了收敛速度和稳态　误差之间的矛盾，且不受已经存在的不相关噪声的　干扰。　为最小均方误差，是当权向量ｗ（咒）一　Ｗ　（　）即最佳权向量时的均方误差，ｅｘｃＭＳＥ为超　量均方误差，Ｒ＝：＝Ｅ［－Ｘ（ｎ）Ｘ　（　）］，ｔｒＲ为矩阵Ｒ　的迹。　一１　ＬＭＳ算法原理　ＬＭＳ算法的原理是基于最速下降法，即沿着权　Ｅ［　（竹）　（　）］一Ｐ　Ｒ　Ｐ　值梯度估值的负方向进行搜索，以达到权值最优，实　现均方误差最小意义下的自适应滤波。图１为　ＬＭＳ算法的原理图。　ＬＭＳ算法可表示为　Ｐ（　）一ｄ（竹）一　（　）一ｄ（　）一Ｘ（　）Ｗ（　）　收稿日期：２０１０一Ｏ３—２９　Ｐ一　ｄ（　）ｘ（扎）］为期待信号与输入向量之　间的互相关向量。从式（１）看出，　的大小不仅与步　长　成正比，还与输入信号的功率成正比。步长　控　制着自适应算法的收敛速度，如果步长较大，权系数　将更快的向着最优解收敛，但达到稳态后的误差也　较大；减小步长　，可以降低稳态误差，但会影响系　基金项目：陕西省教育厅科研基金资助项目（２ＯＬＯＪＫ８３５）；西安邮电学院中青年科研基金资助项目（ＺＬ２００９—２２）　作者简介：张薇薇（１９７８一），女，讲师，硕士，研究方向：自适应信号处理、信息融合，Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｅｉｗｅｉ９８０２１５＠１６３．ｃ０ｍ。　第３期　张薇薇：一种改进的快速自适应滤波算法　・　７。　统的收敛速度，这就是ＬＭＳ算法中收敛速度和稳态　时，步长减小，可以降低系统的稳态误差。在计算　误差之间的矛盾。　２　改进的变步长自适应滤波算法　文献［３］针对ＬＭＳ的这一矛盾进行了改进，引　入了变步长因子　（　）　，、，、ｌｆ　＾　当Ｊ…　…Ｉ≤１时　’　一＿＜　【１　其他　对误差进行限幅是为了保证收敛条件。误差较大时，　步长　（　）取１，保证系统以较快的速度收敛，收敛到　一定程度后，改变步长　（　），此时的收敛速度与输　出误差有关，误差越小，收敛速度越慢。同时引人输　入信号功率，由式（１）可知，系统的稳态误差与输入　信号功率有关，因而它的引入可以使系统保持稳定，　不会随着输入信号强度的改变而改变，扩大了系统　输入的动态范围。输入信号功率Ｐ　可由下式给出　Ｐ　一Ｐ￣－Ｉ－１＋　（　ｉ一户　１），０＜０＜１　。的初值为　。一　。　但该算法在每次迭代时需要进行一次比较运　算，降低了系统的收敛速度。为了进一步提高系统性　能，本文对原算法的步长更新进行了改进，改进后的　步长迭代公式为　（２）　其中ＩＤ＞０为修正系数，修正系数ＩＤ较小时，初始收　敛速率比较小，但是稳态时可以收敛到较小的稳态　误差；ｐ较大时，初始收敛速度比较快，但稳态均方　误差也比较大。因此，　的选择在不同情况下要分别　考虑。兼顾考虑初始收敛速度和算法进入稳态后的　均方误差，选择合适的值。　Ｎ一１　Ｎ一１　一∑２（ｉ）ｅ（ｎ—　）一∑ｅｘｐ（－ｉ）ｅ（ｎ—　）　ｉ＝０　ｉ＝０　（３）　为误差系数，通过　（　）将过去的Ｎ个误差ｅ（　），ｅ（ｎ　～１），ｅ（咒一２）…ｅ（　一Ｎ＋１）作非线性加权得到，越　是过去的误差信息对当前误差系数的影响越小，　ｌ　ｌ代表对前Ｍ次误差统计加权后跟期望值的偏　离程度。　同时在估计输入功率时，采用下式进行递推：　一口・Ｘ：＋（１一ａ）・　０＜ａ≤０．１　由（２）式可知，当误差较大时，步长　（咒）一　一＿』　墨Ｊ＿Ｌ也较大，有较大的收敛速度，误差比较小　＋　时，由于过去的误差ｅ（ｎ一１），ｅ（ｎ一２）…ｅ（ｎ—Ｎ＋　１）均为已知，不用计算，而　（　）一ｅＸｐ（～　）是个常　数，可在初始时就计算好，因此改进后的算法不需要　太复杂的计算，但却能显著地加快收敛速度，并且能　在收敛后达到更小且稳定的稳态误差。　３　算法仿真　仿真环境：信号采用随机数据产生的双极性随　机序列，随机的取＋１、一１。随机信号通过一个信道　传输，信道性质可由一个三系数ＦＩＲ滤波器刻画，滤　波器系数分别是０．３，０．９，０．３，在信道输出加入高　斯白噪声。采样点数取１０００，信噪比取２０ｄＢ。横向抽　头系数Ｌ为１１，ｌＤ一３，　一１。每种算法分别进行１００　次，取其统计平均。　０．１　０．０９　０．０８　０．０７　０．０６　８　０．０　０５　０．０４　０．０３　０．０２　蝴　』　０．０１　ｆ　Ｔ‘ｒｔ　０　０　ｌＯ０　２００　３００　４００　５００　６００　７００　８００　９００　１０００　ｎ　（ａ）原算法　０・１　Ｏ・０９　０・０８　０．０７　Ｏ－Ｏ６　０．０５　０．０４　０．０３　０．０２　戳　０．０１　０　蛳　硎　０　ｌＯ０　２００　３Ｏ０　４００　５００　６００　７００　８００　９００　ｌ０００　ｎ　（ｂ）改进算法　图２　稳态环境下原算法与改进算法的误差性能曲线　从图２可以看出，改进算法比原算法有更快的　收敛速度。原算法在收敛后仍有较大的波动，改进算　法在收敛后很明显要稳定，稳态误差要小大约　０．Ｏ１，引入的遗忘因子　（　）为过去Ｍ个误差由非线　性加权得到，是一个稳态变量，故收敛后的值较稳　定。而原算法中输入信号功率起着决策作用，当输人　信号变化时，很容易引起输出信号的波动。　・８・　西安邮电学院学报　２０１１年５月　４结论　改进算法在吸取了原算法优点的基础上，引人　遗忘因子来影响下一步步长的更新，同时改进了输　入信号功率的估计方法，计算机仿真结果表明，与原　算法相比，改进后的算法收敛速度快，稳定性好。　参考文献　嘲　茎　算法及分　析［Ｊ］．电子学报，２００１，２９（８）：１０９４—１０９６・　［７］侯鹏，舒勤，李成．ＬＭＳ算法的自适应均衡性能分析　［Ｊ］．通信技术，２００９，４２（１１）：６０—６２．　［８］Ｊ．Ｂｅｎｅｓｔｙ，Ｈ．Ｒｅｙ．Ａ　Ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｃ　ＶＳＳＮＬＭＳ　Ａ１一　ｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓ，２００６，１０（１３）：　５８１－５８４．　［９］Ｌｅｔｔ．Ｊ．Ｍ　Ｖａｌｉｎ，ＩＢ．Ｃｏｌｌｉｎｇｓ．Ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ－Ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ　［１］刘郁林，景小军．自适应滤波算法与实现ＩＭ］．北京：电　子工业出版社，２００４．　Ｌｅａｓｔ　Ｍｅａｎ　Ｓｑｕａｒｅ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｓｉｎａｌｇ　Ｐｒｏｃｅｓｓ，２００７，（１２）：９８８－９９１．　［２］沈福民．自适应信号处理［Ｍ］．西安：西安电子科技大　学出版社，２００１．　［１Ｏ］Ｊ．Ｍ　Ｖａｌｉｎ．Ｏｎ　Ａｄｕｓｔｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｌｅａｒｎｉｎｇ　Ｒａｔｅ　ｉｎ　Ｆｒｅ—　ｑｕｅｎｃｙ　Ｄｏｍａｉｎ　Ｅｃｈｏ　Ｃａｎｃｅｌｌａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　Ｄｏｕｂｌｅ－ｔａｌｋ　［３］胡爱群，何振亚．一种改进的归一化变步长最小均方误　差自适应滤波算法［Ｊ］．信号处理，１９９５，１１（２）：　１１０—１１５．　［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒｎａｎ．Ａｕｄｉｏ，Ｓｐｅｅｃｈ，ａｎｄ　Ｌａｎｇｕａｇｅ　Ｐｒｏ—　ｃｅｓｓｉｎｇ，２００７，（３）：１０３０－１０３４．　［１１］朱勇刚，姚富强．变步长自适应滤波算法的统一框架及　其矢量扩展［Ｊ］．信号处理，２００９，２５（１０）：１５４２—１５４９．　［４］覃景繁，欧阳景正．一种新的变步长ＬＭＳ自适应滤波　算法［Ｊ］．数据采集与处理，１９９７，１２（３）：１７１—１７４．　［５］罗小东，贾振红，王强．一种新的变步长ＬＭＳ自适应滤　Ａｎ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｆａｓｔ　ａｄａｐｔｉｖｅ　ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ＺＨＡＮＧ　Ｗｅｉ—ｗｅｉ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｉ　ａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｐｏｓｔｓ　ａｎｄ　Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｘｉ　ａｎ　７１０１２１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｓｅｔｔｌｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎｆｌｉｃｔ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｓｐｅｅｄ　ａｎｄ　ｓｔｅａｄｙ－ｓｔａｔｅ　ｍｅａｎ－ｅｒｒｏｒ　ｏｆ　ｔｒａｄｉ—　ｔｉｏｎａｌ　ＬＭＳ（Ｉ　ｅａｓｔ　Ｍｅａｎ　Ｓｑｕａｒｅ）ｅｑｕａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａｎ　ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｓｔｅｐ　ＬＭＳ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｂｙ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ　ｔｈｅ　ｆｏｒｇｅｔｔｉｎｇ　ｆａｃｔｏｒ，ｗｉｔｈ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｕｐｄａｔｅ　ｏｆ　ｓｔｅｐ　ｌｅｎｇｔｈ　ｃａｎ　ｂｅ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｉｓ　ｆａｓｔｅｒ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｓｍａｌｌｅｒ　ｍｅａｎ－ｅｒｒｏｒ　ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｏｎｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ＬＭＳ　ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｓｐｅｅｄ；ｓｔｅａｄｙ－ｓｔａｔｅ　ｍｅａｎ－ｅｒｒｏｒ；ｆｏｒｇｅｔｔｉｎｇ　ｆａｃｔｏｒ　［责任编辑：祝剑］