考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编11 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是
A．c1y1+c2y2+y3
B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3
C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3 D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3
正确答案：D
解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1—y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2一y3线性无关．事实上，若令 A(y1一y3)+B(y2—y3)=0即 Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1—y3与y2一y3线性无关，故 y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解。 知识模块：高等数学
2． 若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于 A．exln2 B．e2xln2 C．ex+ln2 D．e2x+ln2
正确答案：B 解析：等式两边求导得 f’(x)=2f(x)解此方程得 f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=In2．故 f(x)=e2xln2 知识模块：高等数学
3． 设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于
A． B． C． D．
正确答案：B
解析： 知识模块：高等数学
4． 已知函数y=y(x)在任意点x处的增量，且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于
A．2π B．π C． D．
正确答案：D
解析： 知识模块：高等数学
5． 在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是
A．y’’’+y”-4y’一4y=0． B．y’’’+y”+4y’+4y=0． C．y’’’一y”一4y’+4y=0． D．y’’’一y”+4y’一4y=0．
正确答案：D
解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为 (ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为 y’’’一y”+4y’一4y=0故应选(D)． 知识模块：高等数学
6． 设是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则 A．a=一3，b=2，c=一1． B．a=3，b=2，c=一1． C．a=一3，b=2，c=1． D．a=3，b=2，c=1．
正确答案：A
解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知， y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为 (ρ—1)(ρ一2)=0即p2—3ρ+2=0则 a=-3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故应选(A)． 知识模块：高等数学
填空题
7． 微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=__________．
正确答案：(x+c)cosx．
解析：由线性方程通解公式得 知识模块：高等数学
8． y”一4y=e2x的通解为y=_____________．
正确答案： 解析：特征方程为λ2一4=0，则λ1=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为 知识模块：高等数学
9． 微分方程xy”+3y’=0的通解为___________．
正确答案：
解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此 知识模块：高等数学 10． 设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________．
正确答案：y”一2y’+2y=0． 解析：所求方程的特征根为λ1，2=1±i则其特征方程为 λ2一2λ+2=0故所求方程为 y”一2y’+2y=0 知识模块：高等数学
11． 微分方程yy”+y’2=0满足初始条件的特解是____________．
正确答案：y2=x+1或
解析：令y’=P，则，代入原方程得 知识模块：高等数学
12． 欧拉方程的通解为____________．
正确答案：
解析：令x=et 代入原方程所得新方程的特征方程为 ρ(ρ一1)+4ρ+2=0解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为． 知识模块：高等数学
13． 微分方程xy’+2y=xlnx满足的解为___________．
正确答案：
解析：方程xy’+2y=xlnx是一阶线性方程，方程两端同除以x得：，则通解为 知识模块：高等数学
14． 二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=___________．
正确答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x．
解析：齐次方程特征方程为ρ2一4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为 y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为，代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学
15． 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=____________．
正确答案：
解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为 知识模块：高等数学
16． 若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________．
正确答案：y=一xex+x+2
解析：由于y=(C1+C2z)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为 y*=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为 y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学
17． 微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________．
正确答案：e-xsinx
解析：由一阶线性方程的通解公式得由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学
18． 若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=___________
正确答案：ex
解析： 知识模块：高等数学
19． 已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=____________．
正确答案：C1ex+C2e3x—xe2x．
解析： 由题设知 y1—y3=e3x，y2一y3=ex为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y=C1ex+C2e3x—xe2x 知识模块：高等数学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20． 求微分方程y’’’+6y”+(9+a2)y’=1的通解(一般解)，其中常数a＞0．
正确答案：该方程对应的齐次方程的特征方程为λ3+6λ2+(9+a2)λ=0其根为λ1=0，λ2，3=一3±ai则齐次方程通解为由λ=0为特征方程的单根，则可设非齐次方程特解为y*=Ax代入原方程得故原方程通解为 涉及知识点：高等数学
21． 设函数y=f(x)满足微分方程y”一3y’+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．
正确答案：本题所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为λ2一3λ+2=(λ一1)(λ一2)=0其根为 λ1=1，λ2=2则齐次通解为由于λ=1为特征方程的单根，则非齐次方程特解可设为y*=Axex代人原方程得 A=一2则原方程通解为 y=C1ex+C2e2x一2xex 由原题设曲线y=C1ex+C2e2x一2xex与曲线y=x2-x+1在点(0，1)处有公切线可知，y(0)=1，y’(0)=(2x一1)｜x=0=-1由y(0)=1得 1=C1+C2由y’(0)=一1得 一1=一2+C1+2C2以上两式联立解得，则所求的解为y=一2xex+ex=ex(1—2x) 涉及知识点：高等数学
22． 设，其中f为连续函数，求f(x)．
正确答案：原方程可写为 涉及知识点：高等数学
23． 求微分方程y”+4y’+4y=e-2x 的通解(一般解)．
正确答案：因为a=一2是特征方程的二重根，故原方程特解可设为 y*=Ax2e-2x代入原方程得，故原方程通解为其中C1，C2为任意常数． 涉及知识点：高等数学
24． 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
正确答案：曲线y=y(x)在P(x，y)处的法线方程为 涉及知识点：高等数学
25． 求微分方程y”+2y’一3y=e-3x的通解．
正确答案：特征方程为λ2+2λ一3=0，其根为λ1=1，λ2=一3，则对应的齐次方程的通解为 涉及知识点：高等数学
26． 求微分方程x2y’+xy=y2满足初始条件y｜x=1=1的特解．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
27． 设物体A从点(0，1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点(一1，0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A．试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件．
正确答案：设在t时刻，B位于点(x，y)处(见图2．10)，则 涉及知识点：高等数学
28． 设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．
正确答案：由于[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0是全微分方程，则即 x2+2xy一f(x)=f”(x)+2xy f”(x)+f(x)=x2这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得其通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2一2由f(0)=1及f’(0)=1，可求得C1=2，C2=1，从而得 f(x)=2cosx+sinx+x2一2于是原方程为 [xy2一(2cosx+sinx)y+2y]dx+(一2sinx+COSX+2x+x2y)dy=0其通解是 涉及知识点：高等数学
29． 设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A．已知，且L过点，求L的方程．
正确答案：设M点的坐标为(x，y)，则切线MA的方程为 Y—Y=y’(X—x)令X=0，则Y=y—xy’，点A的坐标为(0，y—xy’)．由 涉及知识点：高等数学
30． 微分方程y”一2y’+2y=ex的通解为__________．
正确答案：y=ex(C1cosx+C2sinx+1)
解析：特征方程为λ2一2λ+2=0，解得λ1，2=1±i，则齐次方程通解为 y=ex(C1cosx+C2sinx)易观察出y=ex是非齐次方程的一个特解．则原方程通解为y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex 知识模块：高等数学
31． 设对任意x＞0，曲线y=f(x)上点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于，求f(x)的一般表达式．
正确答案：曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为Y一f(x)=f’(x)(X—x)令X=0，得截距为 Y=f(x)一xf’(x)由题意知 涉及知识点：高等数学
32． 设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程，求f(u)．
正确答案：令u=exsiny，则 涉及知识点：高等数学
33． 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的．设该人群总数为N，在t=0时刻已掌握新技术的人数为x0，在任一时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例系数k＞0，求x(t)．
正确答案：由题设可知 涉及知识点：高等数学
34． 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=f(v)．
正确答案：取沉放点为原点o，oy轴正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 涉及知识点：高等数学
35． 设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1，过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．
正确答案：曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为 Y—y=y’(x)(X—x) 涉及知识点：高等数学
36． 设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续一阶导数，且．求f(x)．
正确答案：由题设和高斯公式可得其中Ω是S围成的有界闭区域．由S的任意性知 xf’(x)+f(x)-xf(x)-e2x=0(x＞0)即这是一个一阶线性方程，由通解公式知 涉及知识点：高等数学
37． (1)验证函数(一∞＜x＜+∞)满足微分方程y”+y’+y=ex(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数．
正确答案：(1)因为所以y”+y’+y=ex(2)与y”+y’+y=ex相应的齐次方程为 y”+y’+y=0其特征方程为 λ2+λ+1=0 涉及知识点：高等数学
38． 设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的解．
正确答案：由反函数导数公式知上式两端对y求导得 涉及知识点：高等数学
39． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下． 现有一质量为9 000 kg的飞机，着陆时的水平速度为700 km／h经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6．0×106 )．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?
正确答案：由题设，飞机的质量m=9 000 kg，着陆时的水平速度v0=700 km／h．从飞机接触跑道开始计时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t)．根据牛顿第二定律，得所以，飞机滑行的最长距离为1．05km。 涉及知识点：高等数学
40． 微分方程的通解是___________．
正确答案：y=Cxe-x
解析： 知识模块：高等数学
41． 求微分方程y”一3y’+2y=2xex的通解．
正确答案：对应齐次方程y”一3y’+2y=0的两个特征根为r1=1，r2=2，其通解为 Y=C1ex+C2e2x设原方程的特解形式为y*=x(ax+b)ex．则 y*’=(ax2+(2a+b)x+b)ex y*”=(ax2+(4a+b)x+2a+2b)ex代入原方程解得 a=一1，b=一2故所求通解为 y=C1ex+C2e2x一x(x+2)ex 涉及知识点：高等数学
42． 已知曲线，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，f’(t)＞0(0＜t＜)．若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面积．
正确答案：曲线L的切线斜率．切线方程为令y=0，得切线与x轴交点的横坐标为． 涉及知识点：高等数学
43． 微分方程xy’+y(1nx—lny)=0满足条件y(1)=e3的解为y=___________．
正确答案：xe2x+1 涉及知识点：高等数学 44． 设函数f(x)在定义域I上的导数大于零．若对任意的x0∈I，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式．
正确答案：曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 y—f(x0)=f’(x0)(x
—x0)令y=0得，切线y—f(x0)=f’(x0)(x—x0)，直线x=x0及x轴所围区域的面积 涉及知识点：高等数学
