14.1.4反证法.doc教课设计
反证法
【教课目的】
知识与技术
1.经过实例，领会反证法的含义
.来[源
:1ZXXK]
2.认识反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题 .
过程与方法
经过利用反证法证明命题，领会逆向思想 .
感情、态度与价值观
在察看、操作、推理等研究过程中，体验数学活动充满研究性和创建性；渗
透事物之间的相互对峙、相互矛盾、相互转变的辩证唯心主义思想 .
【要点难点】
要点
运用反证法进行推理论证 . 难点
理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”
.
【教课过程】
一、创建情形，导入新课
出示多媒体，展现《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题
.
二、师生互动，研究新知
活动 1 反证法的步骤 .
教师给出问题 :假如你当时也在场，你会怎么办 ?五戎是怎么判断李子是苦的你以为他的判断正确吗 ?
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?
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学生议论沟通，选代表讲话
.
[根源:1ZXXK]
假如李子不是苦的，路旁的人好多，早就没有这么多李子
.
教师出示，若 a2+b2≠c2(a≤ b≤ c)，则△ ABC 不是直角三角形，你能依据刚
才五戎的方法推理吗 ?
学生活动，代表展现 .若∠ C 是直角，则 a2+b2=c2，而 a2 +b2≠c2，这是不行
能的，即△ ABC 不是直 角三角形 .
【教师概括】
先假定结论的反面是正确的； 而后经过演绎推理， 推出与基本领实、 已证定
理、定义或已知条件相矛盾； 从而说明假定不建立， 从而得出原命题正确 .即:一、
反设；二、推理得矛盾；三、假定不建立，原命题正确
.
活动 2 用反证法证明 .
教材 P116 例 5.
【教师活动】
原命题结论的反向是什么 ?依据假定能够获得矛盾吗 ?
【学生活动】
达成，沟通成就，讲话展现 .
教材 P116 例 6.
【教师活动】
△ABC 起码有一个内角小于或等于
60 °的反向是什么 ?依据假定能够推出矛
盾吗 ?
【学生活动】
达成，沟通成就，讲话展现 .
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【教师活动】
在几何命题中波及到有“起码”“至多”“独一”时，直接不易证明，可考
虑反证法 .
三、随堂练习，稳固新知
1.(1) 用反证法证明命题 “一个三角形中不可以有两个角是钝角”
设
.
时，第一应假
(2)“已知 :△ABC 中， AB=AC. 求证 :∠B<90°” .下边写出了用反证法证明这
个命题过程中的四个推理步骤 .
①因此∠ B+∠C+∠A>180 °.这与三角形内角和定理相矛盾 .
②因此∠ B<90 °.
③假定∠ B≥90 °.
④那么，由 AB=AC ，得∠ B=∠C≥90 °.即∠ B+∠C≥180 °.
这四个步骤正确的次序应是 (
)
A.①②③④
C.③④①② D.④③②① 【答案】
B.③④②①
(1) 一个三角形中有两个角是钝角
(2)C
【例 2】
求证 :△ABC 中起码有两个角是锐角 .
【答案】
证明 :假定△ ABC 中至多有 一个锐角，则△ ABC 中有一个锐角或没有锐角 .
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(1)当△ ABC 中只有一个锐角时，不如设∠ A 为锐角，则∠ B≥90°，∠ C≥
90°， 因此∠ A+∠ B+∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，因此△ ABC 中 不行能只有一个锐角 .
(2)假定△ ABC 中没有锐角，则∠ A ≥90°，∠B≥ 90°，∠C≥90°，因此∠ A+
∠ B+∠C>180 °，这与三角形内角和定理相矛盾， 因此△ ABC 中不行能没有锐角 .
由(1)、(2)得出假定不建立，从而原命题建立 . 综上所述，△ ABC 中起码有两个锐角 .
[根源:1]
四、典例精析，拓展新知
【例】
求证 :在同一平面内，假如两条直线都和第三条直线平行，那
么这两条直线
也相互平行 .
【教师活动】
(1)你首选的是哪一种证明方法 ?(2)假如你选择反证法，先如何假定
什么产生矛盾 ?(3)能不用反证法证明吗 ?你准备如何证明 ?
?结果和
要求按问题解决的四个步骤进行 :理解题意 (画出图形，写出已知求证 )；制定
计划 (选择证明方法，找出证明思路 )；履行计划 (写出证明过程 ).
【学生活动】
议论沟通后达成 .
五、运用新知，深入理解
[根源:Z&xx&k.Com]
【例 3】
求证 :若 a>b>0，则 > .
【分析】
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> 的反面是=或<. 【答案】
证明 :假定 不大于 b，则
=
或 <
.
(1)当 = 时，可得 a=b，这与已知 a>b 矛盾，因此 = ，不建立 . (2)当 < 时， ∵a>0， b>0，
∴ >0， >0，
∴ · <
· ，即 a< .同理可证
∴ab 矛盾 .∴ < 不建立.
综合 (1)、(2)可知 : > .
1.若 a、 b、 c 是实数， A=a2-2b+ ，B=b2-2c+ ，C=c2 -2a+ ，证明 A 、 B、 C
中起码有一个值大于零 .
【答案】
假定 A 、B、C 中没有一个值大于零，则 A ≤0，B≤ 0，C≤ 0，即 A+B+C ≤
0.
由
已
知
有
A+B+C=a -2b+
2
+b-2c+
[根源:1]
2
+c-2a+
2
=(a-2a+1)+(b-2b+1)+(c-2c+1)+( π
222
-3)=(a-1)2 +(b-1)2+(c-1)2+(π-3).
∵ (a-1)2≥0，(b-1)2 ≥0，(c-1)2≥0，(π-3)≥0.
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∴A+B+C>0 ，这与假定 A ≤0，B≤0，C≤0 相矛盾，因此 A 、B、C 中起码
有一个值大于零 .
六、师生互动，讲堂小结
这节课你学习了什么 ?有何收获 ?有何疑惑 ?与伙伴沟通，在学生沟通讲话的
基础上，教师总结 .
【教课反省】
反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何打破这一难点，
并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的
.在教课时应注意三个思想障
碍 :1.思想方向的变换，不可以总用直接法； 2.证明步骤存在阻碍； 3.归谬起点推证存在阻碍 .为使学生更好地理解并掌握反 证法，应踊跃指引学生战胜上述思想上的阻碍，并经过相关题目训练，使学生掌握反证法 .
教师在教 学中应重申当结论的反面不只一种状况时，应穷举；“归谬”这一步应包括“归导”与“揭谬”两个层次 .
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