基于聚类的区间数时间序列的索引方法

第３２卷　第２２期　Ｖｏ１．３２　・计算机工程　２００６年ｌ１月　Ｎｏｖｅｍｂｅｒ　２００６　Ｎｏ．２２　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　博士论文－　文章编号：１ｏｏｌ卜＿３４２８（２００６）２２＿一ｌｏ０４＿一ｌ３　文献标识码ｌ　Ａ　中田分类号：ＴＰ３９１　基于聚类的区间数时间序列的索引方法　｜奠『小清　，沈钧毂‘　（１．西安交通大学软件所，西安７１００４９；２．河北经贸大学计算机－｛Ｉ心，石家庄０５００６１）　摘要：在时间序列数据库中，大多数现有的相似性搜索方法都集中在如何提高算法的效率，而对于由不精确数据纰成的时间序列如何进　行相似性搜索，则研究比较少，不精确数据经常用区间数据来表示；通过识别Ⅸ问数时间序列中的取要区问数，使得　间数时间序列的维　数大幅度降低，该文针对由区问数组成的时问序列，提出了一种基于低分率聚粪的索引方法。实验表明，该，『法加快了Ⅸ问数时间序列的　查找过程，　会出现漏报现象　关量词：区间数时间序列；相似性搜索；聚类；索引　Ｔｉｍｅ　Ｓｅｒｉｅｓ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｒｖａｌｓ　Ｉｎｄｅｘ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ　ＷＥＮＧ　Ｘｉａｏｑｉｎｇ　．＿．ＳＨＥＮ　Ｊｕｎｙｉ　（１　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｏｆｔｗａｒｅ，Ｘｉ’ａｎ　ＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ　７１００４９；　２．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｃｅｎｔｅｒ，Ｈｅｂｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ　ａｎｄ　Ｔｒａｄｅ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ　０５００６　Ｉ）　［Ａｂｓｔｒａｃｔｌ　Ｍｏｓｔ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ　ｏｆ　ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ　ｓｅａｒｃｈ　ｉｎ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｄａｔａｂａｓｅｓ　ｆｏｃｕｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｅｆｉｃｉｆｅｎｃｙ　ｏｆ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ　ｂｕｔ　ｓｅｌｄｏｍ　ｐｒｏｖｉｄｅ　ａ　ｍｅａｎｓ　ｔｏ　ｈａｎｄｌｅ　ｉｍｐｒｅｃｉｓｅ　ｄａｔａ．Ｔｈｅ　ｉｍｐｒｅｃｉｓｅ　ｄａｔａ　ａｒｅ　ｎｏｒｍａｌｌｙ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｖａ１．Ｂｙ　ｉｄｅｎｔｉｆｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｉｎｔｅｒｖａｌ　ｖａｌｕｅｓ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｏｆ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ　ｔｈｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｏｆ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ　Ｃａｌｌ　ｂｅ　ｇｒｅａｔｌｙ　ｒｅｄｕｃｅｄ．Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｏｐｏｓｅｓ　ａｎ　ｉｎｄｅｘｉｎｇ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｏｆ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｏｆ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｏｆ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ　ｉｎ　ｌｏｗ　ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ａｓ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ，ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｓｐｅｅｄｓ　ｕｐ山ｅ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｏｆ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ　ｑｕｅｒｙ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｗｈｉｌｅ　ｉｔ　ａｌｓｏ　ｇｕａｒａｎｔｅｅｓ　ｎｏ　ｆａｌｓｅ　ｄｉｓｍｉｓｓａｌｓ．　［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓＩ　Ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ　ｏｆ　ｉｎｔｅｒｖａｌｓ；Ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ　ｓｅａｒｃｈ；Ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ；Ｉｎｄｅｘ　时间序列数据库是数据序列的集合，序列中的元素按照　时间先后的顺序排列；对给定的需要查询的时间序列，在时　间序列数据库中查找与之变化模式相似的时间序列的过程，　称为相似性搜索（Ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ　ｓｅａｒｃｈ）。大多数现有的相似性搜索　方法都集中在如何提高算法的效率，但是对于由不精确　（ｉｍｐｒｅｃｉｓｅ　ｄａｔａ）、不确定（ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ　ｄａｔａ）数据组成的时间序　一倒１茼兰阿姆斯特丹某年前６个月份气温变化情况组成　个区间数时间序列　Ｊ：　ｘ＝（【一４，４Ｊ，【－５，３１．ｆ２，１２１，【５，１５　Ｊ，【７，１７１，【１０，２０１）　倒２　ＩＢＭ公司某周５个交易日股票价格波动情况组成一　个区间数序列［５１：　［９２，９３．０９１，［９２．１４，９３．１９１，Ｉ９２　４７，９３．３８１、Ｌ９２．０３，９３．２１¨９１，９２．３５　Ｊ，）　列，如何建立索引，如何进行相似性搜索，则研究比较少。　然而在现实世界中，不精确、不确定、不完善的数据到处存　定义２设ｘ和Ｙ足两个长度都为Ｉ１的区间数时间序列，　ｘ与Ｙ之间的距离ｄ（Ｘ，Ｙ）为　’　ｄ（Ｘ，Ｙ）＝ｍａｘ（Ｉ　一　在，如我们无法用精确的数据来描述某天的气温情况，只能　用　问数据来描述某天气温的变化范围在ｆ６”Ｃ，ｌ５”ｃ１之间，又　如我们无法用精确的数据来描述ＩＢＭ公司某天的股票价格，　只能用区间数据来描述该公司某天的股价在［１５５，２２５］之间波　动。文献【１　Ｊ给出了两个区间数时问序列之间的相似度定义，　然而由于计算较繁杂，该文没有给出区间数时间序列的索引　方法。　，Ｉ，Ｉ　一Ｙ　ｌ，１　ｊ　ｎ）　Ｒａｎｇａｒａｊａｎ等　’证明了ｄ（Ｘ，Ｙ）满足作为距离度量的３个　公理（ｔｌｚ负、对称和三角不等式）。　倒３阿姆斯特丹以及苏黎世某年　季度气温变化情况　分别为　ｘ＝（【一４，４］，ｆ・５，３１，１２，１２１），Ｙ＝（Ｉ一１　１，９Ｊ，【一８，１５１＇【・７，１８１）　按定义容易计算出这两个区间数序列之间的距离为　ｄ（Ｘ．Ｙ１＝１２　本文针对区间数时间序列数据库，提出了一种基于低分　辨砗ｃ聚类的索引方法，对“最优”聚类个数Ｋ的值进行了估　计，用多元方差分析对聚类的效果进行了检验。　２重要区间数的识别　２．１识别时间序列中的重要点　这里所说的重要点是时问序列的一些极值点；从时间序　列中提取重要点的方法如下”　：　图ｌ给出了从时间序列Ｔ：（０．１，０．４，０．３，０．７。０．９。０．６，０．７，０．４，　０．３，０．５）识别出前５个审要点的操作过程。　基金疆日：国家自然科学基金资助项目（６０１７３０５８）　作者倚介：翁小清（１９６５一），男，博士生、副教授，：ｔ－￣Ｊｆ方向：数据　挖掘；沈钧毅，教授、博导　１相关定义　定义１区间数时间序列…：　区间数时间序列ｘ为有限个区间数所组成的序列，　（ＸＩ，Ｘ２，．－，Ｘｎ），其中ｘｉ＝『　，，　是一个区间数。　令　。。（　，ｘ＿２一・，　）是区间数时间序Ｘ的下限序列，　Ｘ＝（ｘ　Ｌ，Ｘ　２，．．．，　）是ｐ（问数序列　的上限序列，则区间数时　间序列ｘ也可以表示为（ｘ．　，区间数时间序列在Ｆ文中简　称为区间数序列。　——　——　收稿日期：２００５－１２－０８　Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｑｗｅｎｇ＠ｓｔｕ　ｘ　ｉｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ　维普资讯 http://www.cqvip.com

一一　、＝　图１从时间序列中识删前５个童要点的过程　Ｈｌｆ问序列Ｔ的笫１个数｛ＪＬ｛０．１和最后　个数据０．５分别　足Ｔ的笫１个和第２个匝婴点，Ｔ的第３个　要点足到第１　个重要点与第２个重要点之间连线距离（纵向距离）最远的点，　通过计算是时问序列Ｔ中的第５个数据０．９，第４个重要点　是到两个相邻敲要点迮线距离最远的点，第４个莆要点可能　在第１个重要点　第２个重要点之问，也可能在第２个雨要　点与第３个最要点之问，通过计算第４个重要点是Ｔ的第９　个值【】．３，Ｔ的其它莆要点可以类似求出　２．２从区闻数序列中识别重要区闻数　对Ｉ）（０Ｕ数时间序列的卜限序列与下限序列求’｝ｉ均值，计　算Ⅱｊ该　问数时间序列的中值序列，采用２．１节所述方法从　中值序列ＩＩＩ识别其重要点，在区间数时问序列ｌ｝ｌ相应位置的　Ⅸ问数，就为市　问数。　倒４　ＩＢＭ公司１０个交易日股票价格的波动情况组成『，　一个Ｉ）（问数序列　Ｘ＝ｌ９２．９３　０９ｌ，Ｉ９２．Ｉ４，９３　Ｉ９１，ｆ９２　４７　９３＋３８／．１９２　０３．９３　２Ｉ　ｌ，Ｉ９Ｉ，９２　３５］　１９ｉ　２ｉ．９２　ｉ４ｌ，ｆ８９．０１，９ｉ　５１１，ｆ８９．７５　９０．４６１，Ｉ９３　５５．ＩＪ５　６５ｌ，ｌ９４　７ｔ，９５　３５Ｉ）　对每个Ｉｘｌ问数的上Ｉ　和下限取、　均值就得到ｒ的ｒＩＩ值　序列　，　（９２　５４，９２．６６，９２　９２，９２　６２，９１＋６７，９Ｉ．６７，９０　２６　９０　１０，　９４　６０．９５．０３）　采片】２．Ｉ　方法从时问序列　…　识别出它的前５个　雨要点，　Ｘ　中的位　按照重嘤性排列依次为１，１０，８，　９，４　Ｉ‘　数序列ｘ・｝Ｊ牛Ｈ　位置　的Ⅸ问数即为　的重要　区　数　将这５个市嘤区问数按照它们在ｘ中时　的先后次　序（即１，４，８，９，ｌ（））排列，组成一个长度为５的正要区间数　序列　（ｆ９２，９３．０９Ｉ，　［９２　０３　９３．２　Ｉｌ，　ＩＳ９　７５，９０．４６１，　［９３　５５，９５．６５１，　［９４　７Ｉ．９５　３５】）　该垣要Ｉ）（＝Ｍ数序列既保留ｒ原区问数序列ｘ的丰要特　征，又时其进行丫　缩，数掂压缩比为１０／５＝２。　３区间数序列索引的建立与查询　３．１区间数序列的堆数约减　对于长度为ＩＴ１的区间数序列Ｐ，采剧２．２　１　所述方法，　抽墩ｍ前ｎ个鱼要Ｊ）（Ｍ数ｆｎ＜＜ｍ），再将这ｎ个雨璎区间数　按照它们在Ｐ—ＩＩ时间的先后次序｝Ｉｆ列，组成‘个长度为ｎ的　莆　区间数序列，山ｒ　１１远远小　ｒ　ｍ，　此山这１１个币ｉ要区　间数组成的序列，既保留了原　问数序列Ｐ的ｌ：耍特征，又　对ｊ上进行ｒ大幅度的雎缩，压缩比例为ｍ／ｎ　３．２索引的建立　对数撕库ＩＩｌ每一个　间数序列，都抽取出它的前ｎ个甫　Ⅸ问数，将这前１１个币　０Ⅱ数再按照其在原区间数序列　中的时间的先后次序组成甫要　问数序列，将这些莆要　问　数序列分成若｝　个类（组），每一个类巾的Ⅸ问数序列部具有　相似的上要特征，ＪｌＪ这些类（组）作为区间数序列数据库的索　引。采用最常｝＝｝Ｉ的Ｋ－均值聚类方法，对莆要区间数序列进行　聚类，将它们分为Ｋ类。　３．３索引的更新　对３．２节建立的索引很容易进行更新，当数据库中新增　加一个区间数序列时，首先从这个区间数序列ｔＩｌ抽取前ｎ个　重要区间数，这ｎ个莆要区间数（按照其在原区间数序列中时　问的先后次序）组成一个长度为ｎ的重要区间数序列，计算该　甫要区间数序列剑Ｋ个类巾心的距离，将其分配到与之距离　最短的那个类中心所在的类。　３．４索引查询　用户输入需要查询的ｐ（问数序列Ｑ，算法从Ｑ中抽取前　ｎ个ｌ窜要区问数并组成蕾爱区间数序列，然后计算该莆要区　问数序列到Ｋ个类中心的距离，选取与之距离最矩的类；然　后，计算这个类中每一个隧问数序列与Ｑ的前ｎ个重要区间　数序列的距离，与之距离最短的那个区间数序列，即为查询　结果，查询结果具有与Ｑ相似的主要特征。　３．５。最优”聚类十数Ｋ的估计　估计“最优”聚类个数Ｋ值的方法　卜：让Ｋ的取值　从１增加到Ｎ（Ｎ为数据库中含有区间数序列的个数），莆复　执行Ｋ．均值聚类，观察Ｊ（Ｋ）的变化情况来估计“最优”的聚　类个数Ｋ。Ｊ（ＫＪ定义为　川ｒ）－一∑∑ｃ，ｑ，　（Ｊ）　ｉ＝１　∈Ｍｉ　其中：Ｍｆ表示笫ｉ类，Ｃ　表示Ｍ　类的类中心，ｉ　１　２…　Ｋ，　ｘ为　问数序列，用ｄ　．Ｘ表示区间数序列ｘ与第ｚ类的类中　心（　的距离　一般情况Ｆ，Ｊ（Ｋ）的取值随着聚类个数Ｋ值的增加面减　小，ｄＪ（Ｋ）描述的是Ｊ（ＫＪ变化的情况。　ｄ，／（Ｋ）：‘　１００％　（２１　Ｊ（　）　（　Ｊ＝Ｓｉｇｎ［ｄＪ（Ｋ＋１　Ｊ—ｄＪ（　Ｊ　Ｊ　（３）　Ｋ＝Ｉ．２．…．Ｎ　第１个使符譬函数　（　）由负变为正的Ｋ值即为“最优”　Ｋ值，如果　（　）的符号　直４　变化，选取使得ｄＪ（Ｋ）１＃常接　近０的Ｋ值。　４实验　选取标准普尔５００指数　中２６６家公司每天股票交易的　最高和最低价格组成的区间数序列作为测试数据集，区间数　序列长度在３７～２５３之问　从这２６６家公司中随机抽取１０家　公司的１）（问数序列作为查询序列，以下　示的实验结果均为　这１０个１）（Ｍ数序列实验结果的平均值。用Ｍａｔｌａｂ６．１编写了　所有的程序，并在清华同方笔记本（ＣＰＵ　１．５ＧＨｚ，内存　Ｉ　Ｉ２ＭＢ，硬盘４０ＧＢ，Ｗｉｎｄｏｗｓ　ＸＰ操作系统）上实现。　４．１建立索引所花费的ＣＰＵ时间　我们让酋要　间数的个数从５～３０之间变化，聚类的个数　从２一１０之间变化，测试了Ｋ一均值聚类的叠代次数以及所花　费的ＣＰＵ时间，叠代次数都没有超过５０次，说明在建立索　引时，每‘个重要区间数序列都被分配到了‘个确定的类中，　从而保证了在索引查询过程中，不会产生漏报（ｆａｌｓｅ　ｄｉｓｍｉｓｓａｌｓ）现象。　于篇幅，以Ｆ只给出承要［ｘ＝问数的个数ｎ为ｌ０　或５的实验结果。图２给出了重要点个数固定为ｌ０的情况，　当聚类的个数增加时，建立索引所花费的ＣＰＵ时问也逐渐　增加。　一一　——　维普资讯 http://www.cqvip.com

从图５中可以看到Ｊ（Ｋ）随着聚类个数的增加而逐渐减小；当　聚类的个数Ｋ大于５以后，ｄＪ（Ｋ）ｌ￣Ｊ取值趋于稳定；通过计算　得知第１个使符号函数　（　）由负变为正的Ｋ值是７，所以当　取５个重要区间数，进行Ｋ－均值聚类建立索引时，“最优”　的聚类个数是７个，这７个类，类与类之间的差别是否显著，　如何去检验？通常采用类的内聚性、类与类之问的相异性　１　图２聚类个数与建立索引花费的ＣＰＵ时间　来评价聚类的效果或聚类的质量，本文采用多元方差分析　ｌ　来评价聚类的效果。多元方差分析计算的统计量为　Ａ：　旦Ｌ　　ＩＥ＋Ｂｌ　４．２索引查询剪切率（ｐｒｕｎｉｎｇ　ｐｏｗｅｒ）测试　剪切率【］Ｊ的计算公式如下：　，，　索引查询中需检查的区间数序列的个数　数据库中存放的区间数序列的总个数　从图３可以看到，随着聚类个数的增加，剪切率快速下　降，从而索引查询时间也快速下降，说明剪切率受聚类个数　其中Ｂ是组问离差矩阵，Ｅ是组内离差矩阵，统计量八服从　Ｗｉｌｋｓ分布，记作　的影响很大。　３０．００　剪　切２０－００　率　１０　ｏ０　（％）　０．ｏ０　２　３　４　５　６　７　８　９　１ｏ　聚类的个数　图３聚类个数与剪切率　４．３索引查询与顺序查询之间的比较　重要区间数的个数ｎ固定为ｌ０，聚类个数为５，从图４　中可以看出，本文提出的索引查询方法远远好于顺序查询，　当数据库中区间数序列个数增加时，索引查询的时间也能保　持稳定。　询　时　问　（ｓ）　５０　ｌ００　ｌ　Ｏ　２【）【）　２５０　数据库中含有区间数序列的个数　图４索引查询与顺序查询的比较　从以上实验可以看出。对于区间数序列数据库。虽然建　立索引要花费一些时间。但只需建一次索引即可，而索引查　询能够大幅度减少查询时间，索引更新也比较容易，在索引　查询过程中也不会出现漏报现象。　４．４“最优”聚类个数Ｋ的选择　２５０　２００　Ｊ（Ｋｊ　ｌ５Ｏ　ｌ００　２　３　４　５　６　７　８　９　ｌ０　聚类的个数　（ａ）　０　２５　０－２　Ｋ）。　０　０５　３　４　５　６　７　８　９　ｌ０　聚粪的个数Ｋ　（ｂ）　图５　Ｊ（Ｋ）与ｄＪ（Ｋ）随聚类个数的变化情况　取重要区间数个数为５，聚类的个数Ｋ从２变化到ｌ０。　Ａ～ＡｌｓＡ　』一Ｉ　其中Ｐ是变量的个数，Ｎ是总样本含量，ｋ是类（组）的个数。　对于取重要区间数为５个，将２６６个重要区间数序列分为７　个类，建立索引，即ｐ＝５，Ｎ＝２６６，ｋ＝７，所以统计量人～　Ａ５，２５９，６，对重要区问数序列的上限（下限亦可）进行多元方差　分析：　，＾：　、＝一ｌＥ十Ｂｌ　＝—４——————罢＿—　ｌ０　ｌ＿０ｌｌｌ９ｑ　，ｌ６１８×１０　…‘‘　界值Ａ０　ＯＩ（５，２５９，６）≈０，８０８　９０６，人统计量值为０．０１９小于界　值０．８０８　９０６，所以显著性水平（概率Ｐ值）小于０．０ｌ，说明这　７个类，类与类之间差异显著。　５结论　针对区间数序列数据库。提出了一种基于低分辨率聚类　的索引方法，对“最优”聚类个数Ｋ的值进行了估计。用多　元方差分析对聚类的效果进行了检验。实验表明，本文提出　的方法是有效的，当选取的重要区间数的个数比较少时，Ｋ－　均值聚类经过有限的叠代次数就能收敛，从而在索引查询时　不会产生漏报现象。本文的方法对于金融证券领域的区间数　序列数据库比较有效，对于不同长度的区间数序列也能进行　比较。　如何用离散傅里叶变换（ＤＦＴ）、离散小波变换（ＤＷＴ）、　分段多项式（ＰＰＲ）等表示区间数序列，并建立索引，值得今后　作进一步的研究。　参考文献　Ｉ　Ｌｉａｏ　Ｓ　Ｓ，Ｔａｎｇ　Ｔ　Ｈ，Ｌｉｕ　Ｗ　Ｙ　Ｆｉｎｄｉｎｇ　Ｒｅｌｅｖａｎｔ　Ｓｅｑｕｅｎｃｅｓ　ｉｎ　Ｔｉｍｅ　Ｓｅｒｉｅｓ　Ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ　Ｃｒｉｓｐ，Ｉｎｔｅｒｖａｌ，ａｎｄ　Ｆ　ｕｚｚｙ　Ｉｎｔｅｒｖａｌ　Ｄａｔａ［Ｊ］ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｍａｎ．ａｎｄ　Ｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ一一Ｐａｒｔ　Ｂ：　Ｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ，２００４，３４（５）：２０７Ｉ－２０７９，　２　Ｒａｎｇａｒａｊａｎ　Ｌ．Ｎａｇａｂｈｕｓｈａｎ　Ｐ．Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ　Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｍｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｔｅｍｐｏｒａｌ　Ｄａｔａ　Ｔｈｒｏｕｇｈ　Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ［Ｊ】Ｐａｔｔｅｒｎ　Ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ　Ｌｅｔｔｅｒｓ，２００４，２５（８）：８９９－９　１　０　３　Ｆｕ　Ｔ　Ｃ，Ｃｈｕｎｇ　Ｆ　Ｌ，Ｌｕｋ　Ｒ，ｅｔ　ａｌ　Ｆｉｎａｎｃｉａｌ　Ｔｉｍｅ　Ｓｅｒｉｅｓ　Ｉｎｄｅｘｉｎｇ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｌｏｗ　Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ　Ｃｌｕｓｔｅ￣ｇ［Ｃ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　Ｔｅｍｐｏｒａｌ　Ｄａｔａ　Ｍｉｎｉｎｇ：Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，Ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　Ｈｅｌｄ　ｉｎ　Ｃｏｎｊｕｎｃｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　ＩＣＤＭ’０４，２００４：１．１　０　４　Ｓｉｎｇｈａｌ　Ａ．Ｓｅｂｏｒｇ　Ｄ　Ｅ　Ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ　ｏｆ　Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ　Ｔｉｍｅ－ｓｅｒｉｅｓ　Ｄａｔａ［Ｃ］Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ａｍｅｒｉｃａｎ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ，　Ａｎｃｈｏｒａｇｅ，ＡＫ，ＵＳＡ，２００２：３９３　Ｉ－３９３６　５张尧庭。方开泰多元统计分析引论【Ｍ】．北京：科学出版社，