辽宁省葫芦岛市2019届高三下学期第一次模拟考试数学(理)(含答案)

2019年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试

数学（供理科考生使用）

注意事项：

1.本试卷分第I卷、第Ⅱ卷两部分，共6页，满分150分；考试时120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上。 3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上。

4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共12个小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，则复数A.

i 1i1111D.1i iB.iC.1i2222

22.设集合A={xR|x>2}, B= {xR|x3x0}，则AB 等于 A.[0,-∞) B.(2,-∞) C.(2,3) D.[0,2) 3.实数a>b>0成立的充分不必要条件是 A.

11＜ B. 2a>2b C.lga>lgb D.a1>b-1 ab

4.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列{an}，a1,a3,a7，成等比数列.则此样本的平均数和中位数分别是 A.12,13 B.13,13 C.13,12 D. 12,14

5.2019年已经胜利召开，由于互联网技术发展迅速给我们国家生产力及百姓日常生活都带来了巨大的变化，代表中互联网大会（互联网公最高领导者）明显增多。透过他们在中的议案、提案和建议发现，提

水平司的及最

多的是电商、互联网、人工智能、专利、漏洞、精品、采购、科技、服务业等行业的创新与发展。为了深入研究这些提案的背景及可操作性，有关方面拟组建3个不同研究方向的深度研究小组。在参加的互联网大咖中选定张近东、马化腾、李彦宏、雷军4位大咖作为深度研究小组特邀专家分配到各小组，要求每个小组至少有一名特邀专家，则不同的分配方案有

A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种

6.中国古代数学家朱世杰所著《算学启蒙》一书中提到关于“松竹并生\"的问题：松长五尺，竹长两尺。松日自半，竹日自倍。松竹何日而长等。意思是“现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长 自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在

第几天会出现松树和竹子一般高？ ”，如图是源于其思想的一个程序框图.若输入x=5，y=2。问输出n的结果为 A.3 B.4 C.5 D.6

827.已知(2ax)(a>0)的展开式中含x的系数为2016,则定积分

(axe)dx的值为

01xA.e

2

1B. e1 2C. 2e3 D. 2e3

8.已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，公比q>1 ，且，a5b5，则 A. a3a7>b4b6

B.a3a7b4b6

C. a3a7119.设a,b22,clog32，则

2A. b>a>c B. a>b>c C. c>a>b D. b>c>a

10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱中点，P是底面 ABCD内一动点，若直线DXP与平面EFG不存在公共点，则三角形PBB1的面积的最小值为 A.

2 B.1 C. 2 D.2 2

x2y211.已知F1,F2是双曲线C:221 (a>b>0)的左、右焦点，B是端虚轴的端点，直线F1B与C

b a的两条渐近线分别交于点P, Q,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M(2c,0),则C的离心率是 A.2 B.

632 C. 3 D. 22

12.已知函数f(x)lnx57ax3,g(x)x3x2x1, 若x242m,n[,2],f(m)g(n)0,则实数a的取值范围为

335151A. [ln2,) B. [ln2,)

2744415933593C. [ln,) D. [ln,)

442942第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，毎小题5分，共20分。

xy113.若实数x,y满足xy1，则z2xy的最大值为 .

2xy1014. 函数f(x)2cosxsin(x3)3sin2xsinxcosx在x[,]的值域为 . 4615.定义在R上的偶函数f(x)对任意的实数x有f(x1)f(x),当x[1,0)时,

f(x)x2。若函数g(x)f(x)logax在x(0,)上有且仅有三个零点,则a的取值范围

为 .

16.在△ABC中，AD1AB，E为AC中点，CD与BE交点为F,过点F的直线l分别交线段AB,AC3于点M，N。若AMAB,ANAC，则的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分）

已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c,满足(1)求角A的大小； (2)若aa3cosAb smB bsinB7,b2,求△ABC的面积。

18. (本小题满分12分）

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，矩形ABEF是通过矩形ABCD以线AB 为轴旋转得到，且BC丄BE，动点M在CD上。 (1)求证：平面MBE丄平面ABCD；

(2)当M为CD的中点时，求二面角B-EM-C的大小。 19.(本小题满分12分）

党的以来，党从全面建成小康社会全局出发.把扶贫工作摆在治国理政的突出位

直

置，全面打响脱贫攻坚战。2018年6月《、关于打贏脱贫攻坚战三年行动的指导意见》发布，对精准脱贫这一攻坚战做出了新的部署。2019 年3月，十三届全国二次会议召开，3月7日，扶贫办刘永富回答记者提问时表示：“我国肤贫攻坚取得显著成就，贫困人口从2012年的99万人減少到2018 年的1660万人，连续6年平均每年减贫1300多万人。”并表示：“今年再努力一年，攻坚克难，再减少贫困人口 1000万人以上，再摘帽300个县左右。\" 根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.2万元的家庭确定为“贫困户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2018 年的全年收入进行调査，抽査结果如下频率分布直方图：

ˆ和方差(1)求这200户家底的全年收入的样本平均值xs2 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)由直方图可以认为，这200户家庭收入Z近似服从正态分布N(,)

2ˆ,近似为样本方差s。 其中近似为样本平均数x(i)利用该正态分布，求P(Z＜1.2)；

(ii)若从该县100万户中随机抽取100户，记X为这100户家庭中“贫困户”的数量，利用(i)的结果求E(X)；

20.(本小题满分12分）

22x2y26 已知椭圆C: C:221 (a>b>0)过点A(0,1)且椭圆的离心率为.

3ab

(1)求椭圆C的方程；

(2)斜率为1的直线l交椭圆C于M(x1,y1),N(x2,y2)两点，且x1>x2。若直线 x = 3上存在点P，使得△PMN是以△PMN为顶角的等腰直角三角形,求直线l的方程。 21.(本小题满分12分） 已知函数f(x)alnx(1)求实数a2的取值范围； (2)求证：2(1-12axx恰有两个极值点x1,x2(x1＜x2) 21)a； x2

(3)求证：

11>2ae（其中e为自然对数的底数）。 lgx1lgx2请考生在第（22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.(本小18满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程是xsinaycosa0(＜＜)，曲线C1的

2参数方程是x22cos(为参数），在以0为极点x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，

y2sin曲线C2的极坐标方程是2sin。 (1）写出l及C1的极坐标方程；

(2)已知l与C1交于O,M两点，l与C1交于O，N两点，求|ON||OM|的最大值。 23.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)|x2||x2|(xR)。

(1)若关于x的不等式f(x)a0的解集为R,求实数a的取值范围； (2)若实数a,b[2,2]，求|ab||221ab|. 22019年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试

数 学（理）参及评分标准

一选择

ACDBC BACDC AB 二填空

11

13.4 14.[-1,2] 15.(5 , 3 ) 16. 3+22

5三、解答题 17. 解析：

asinA3cosA

（1）由正弦定理 = = ………………………………………………………2

bsinBsinB分

整理得：sinA=3 cosA,

所以，tanA=3 ,……………………………………………………………………………4分

又A为三角形内角，



所以A= ………………………………………………………………………………………

36分

（2）由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA……………………………………………………8分

代入并整理得： c2-2c-3=0 解得：c=3,c=-1(舍) ………………………………………………………………………10分

11333

所以，SABC= bcsinA=× 2× 3×=………………………………………………12

2222分

18. 解析：

（1）证明：根据题意，在矩形ABEF中，BE⊥AB ;

又BC⊥BE，且AB∩BC=B， …………………………………………………………………2分

AB，BC平面ABCD

所以，BE⊥平面ABCD， ……………………………………………………………………4分

又BE平面MBE，

所以，平面MBE⊥平面ABCD…………………………………………………………………6分

（2）分别以BE、BC、BA为正方向建立坐标系，依题意各点坐标如下

B（0，0，0），E（1，0，0），C（0，1，0），F（1，0，2）D（0，1，2）

A（0，0，2），M（0,1,1）

=(-1,1,1), =(1,0,0), =(0,0,1) 设平面BEM的法向量为m=(x1,y1,z1),于是  x1=0



即  -x1+y1+z1=0

A D 令z1=1,则y1=-1

所以，m=（0，-1，1）…………………………………………………………………8F M 分

B C E

设平面CEM的法向量为n=(x2,y2,z2),于是

 z2=0

即  -x2+y2+z2=0

令x2=1，则y2=1，

所以，n=(1,1,0)………………………………………………………………………10分

2mn-11

cos=|m||n| =22 =- 2 ,=3



根据题意，二面角B-EM-C为3……………………………………………………12分

19.解：(1)依题意，这500户家庭的全年收入的样本平均值和方差s2分别为：

＝1×0.06+2×0.10+3×0.14+4×0.31+5×0.30+6×0.06+7×0.02+8×0.01＝4………3分

s2＝(-3)2×0.06+(-2)2×0.10+(-1)2×0.14+02×0.31+12×0.30+22×0.06+32×0.02+42×0.01＝

1.96 ……………………………………………………………………………………6分 (2)(i)由(1)知Z～N(4,1.42), 则P(μ-2σ11

∴P(Z<1.2)=(1- P(1.2229分

(ii)由(ii)知，X～B(100, 0.023），所以E(X)= 100×0.023=2.3……………………12分

b1,6c20．解：（Ⅰ）由题意得, 解得a23．

a23ab2c2.x2 所以椭圆C的方程为y21． ………………………………………………4

3分

（Ⅱ）设直线l的方程为yxm，P(3,yP),

x22y1，由3得4x26mx3m230. ………………………………6 分 yxm令36m248m2480，得2m2．

33x1x2m，x1x2(m21)． …………………………………………8分

24

因为PMN是以PMN为顶角的等腰直角三角形， 所以NP平行于x轴．

过M做NP的垂线，则垂足Q为线段NP的中点． 设点Q的坐标为xQ,yQ，则xQxMx1x23． ………………………10分 23xxm，21232xx(m1)，2， 由方程组12解得m22m10，即m1．而m12，4x23x，12所以直线l的方程为yx1． ………………………………………………12分

21. (1)由题意：f(x)=lnx-ax; lnx1-lnx故a=,设g(x)=(x>0),g(x)=2,

xx

故当00; 当x>e,g(x)<0,

所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+)上单调递减，………………………………2分

又g(1)=0,

1

g(e)=,当x>e时，g(x)>0(或x→+时，g(x)→+)

e

1

所以实数a的取值范围是(0,);…………………………………………………………4

e分

(2)由(1)得：lnx2-ax2=0，且x2>e,故a=

lnx2

x2

要证明：2(1-分

11lnx21

，即证：2(x2-)>lnx2……………62)≥a 只需证明：2(1-2)≥

x2x2x2x2

1

设h(x)=2(x-)-lnx(x>e);

x21x(2x-1)+2

则h(x)=2+2-=>0

xxx2所以h(x)在(e,+)上单调递增；

1

故h(x)>h(e)=2e--1>0

e

1

即2(1-2)≥a; ………………………………………………………………………………

x28分

(3)由(1)得：lnx1-ax1=0, lnx2-ax2=0，且1由(1)得：02ae lnx1lnx21111

只需证明：+>2 即证：+>2a ax1ax2x1x2

11x1+x2lnx1-lnx21x12-x221x1x2x1

故+-2a=-2×=[-2(lnx1lnx2)]=(- -2ln) x1x2x1x2x1-x2x1-x2x1x2x1-x2x2x1x2

1

设G(x)=x--2lnx(0x分

12(x-1)2

则G(x)=1+2-=>0 ∴G(x)在(0,1)上单调递增； 2

xxx故G(x)x1x1x2x1

∵0<<1,所以x1-x2<0, - -2ln<0

x2x2x1x211

∴+-2a>0 x1x2

11

因此有：+>2ae……………………………………………………………………12

lnx1lnx2分

（若考生用其它方法（对称化构造，对数平均不等式等）证明，酌情赋分）

22.解：（1）把xcos，ysin代入直线l的方程得:

cos sin-sin cos=0，

lnx1-lnx2

, x1-x2

整理得：sin( -)=0 所以l极坐标方程是(R,ππ)．……………………………………2分 2C1的普通方程是x2+y2-4x=0，

其极坐标方程是=4cos． ……………………………………………………5分 （2）C1：=4cos， C2：=2sin，将分别代入C1，C2得

|OM|=-4cos， |ON|=2sin．…………………………………………………………7分

所以|ON|2+|OM|=4sin2-4cos=-4 cos2-4cos+4

1

=-4(cos+2 )2+5



又 <<，所以-112

所以，当cos=- 时，即= 时，|ON|2+|OM|取最大值5…………………………

2310分

23.解析：

(1)由三角不等式可知：|x+2|+|x-2|≥4，

所以f(x)min=4…………………………………………………………………………………2分

由题意即f(x)≥a 解集为R，所以a≤4；…………………………………………………5分

11

(2)|a+b|≤|2+ab|等价于(a+b)2≤(2+ab)2……………………………………………7分

22

11222222

(a+b)-(2+ab)=a+b+2ab-4-2ab-ab

241

=a2(1-b2)+ b2-4

4

1

= (1-b2)(a2-4)……………………………………………………8分

4122

由已知a,b∈[-2,2]，b∈[0,1] a∈[0,1]

41

所以1-b2 ≥0，a2-1≤0

41

于是(1-b2)(a2-1) ≤0

4

1

即|a+b|≤|2+ab |…………………………………………………………………10分

2