福建师范大学2021年8月课程考试《近世代数》作业考核(答案参考)

《近世代数》期末考试A卷 姓名：王红 专业：数学与应用数学 学号：202202010658592 学习中心：东北大学无锡研究院奥鹏学习中心[2017] 判断题(共20分，5个小题，每小题4分） 1. 剩余类环中没有非零的零因子。 （ × ） 5 2. 在四元对称群S4中,设(12)(34),(1234). (1) 写出11的轮换分解式(即将11写成一些互不相交的轮换的乘积); (2) 设集合T{1|S4}, 试写出T中全部元素(用轮换分解式表示); 答：111124234141312342T13,14,23,124123234,12 3. 有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问: 这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程) 2. 群中指数为2的子群一定是正规子群 （ √ ） 3. 已知H是有限群G的子群， |G|和|H|分别表示G和H的元素个数，则 |H| 不一定能整除 |G| （ √ ） 4. 数域上的全矩阵环不是单环。 （ × ） 5. 环中理想的乘积还是理想。 （ √ ） 答：设这队士兵有m人,mmod32mmod51mmod73m的尾数一定为1或6根据三三数之余二,要保证个位数是1或者6,只能是38＋2＝26,或者33＋2＝11.根据七七数之余三,要保证个位数是1或者6,只能是79＋3＝66或74＋3＝31只有：31+710=101符合题意。所以，这队士兵最少有101人 4. 求出剩余类环8 二、计算证明题（共80分，4个小题，每小题20分） 1. 设Z是整数集，规定a•bab3，证明：Z关于所定义的 运算构成交换群 答：1对a,bZ,a•bab3Z所以“•”在Z上构成代数运算；2对a,bZ，有a•b•cabc6a•b•cabc6,a•b•ca•b•c满足结合律3对a,bZ,a•bab3=b•a满足交换律4对a,bZ,有a•3a33a3为单位元的所有理想和所有极大理想。 答：所有理想为0,等价类2生成的理想,等价类4生成的理想和Z8。极大理想为等价类2生成的理想。 5对aZ,有6aZ使得a•6aa6a336a为a的逆元Z,•构成交换群。▆ 《近世代数》 试卷 共1页（第1页） 选择题答案写在选择题答题区内，其它各题在答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ▆