线性变换习题

第四章 线性变换

习题精解

1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：

1） 在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量； 2） 在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；

22(x,x,x)(x,xx,x)； 12312333） 在P中，A

34） 在P中，A(x1,x2,x3)(2x1x2,x2x3,x1)；

35） 在P[x]中，Af(x)f(x1)

6） 在P[x]中，Af(x)f(x0),其中x0P是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A

8） 在P中，AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵. 解 1)当0时,是;当0时,不是. 2)当0时,是;当0时,不是.

3)不是.例如当(1,0,0),k2时,kA()(2,0,0), A(k)(4,0,0), A(k) kA().

4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有 A()= A(x1y1,x2y2,x3y3)

=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1) =(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1) = A+ A A(k) A(kx1,kx2,kx3)

nn

nn

(2kx1kx2,kx2kx3,kx1)(2kx1kx2,kx2kx3,kx1) = kA()

3

故A是P上的线性变换.

5) 是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令

u(x)f(x)g(x)则

A(f(x)g(x))= Au(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=Af(x)+ A(g(x)) 再令v(x)kf(x)则A(kf(x)) A(v(x))v(x1)kf(x1)kA(f(x)) 故A为P[x]上的线性变换.

6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.

A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))A(kf(x))kf(x0)kA(f(x)) 7)不是.例如取a=1,k=I,则 A(ka)=-i , k(Aa)=i, A(ka)kA(a)

；.

.

8)是.因任取二矩阵X,YPnn,则

A(XY)B(XY)CBXCBYCAX+AYA(kX)=B(kX)k(BXC)kAX 故A是Pnn上的线性变换.

2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换.证明:

A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2 并检验(AB)=AB是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为

Aa=(x,-z,y), Aa=(x,-y,-z)

4A3a=(x,z,-y), Aa=(x,y,z)

2Ba=(z,y,-x), Ba=(-x,y,-z)

4B3a=(-z,y,x), Ba=(x,y,z)

2Ca=(-y,x,z), Ca=(-x,-y,z)

4C3a=(y,-x,z), Ca=(x,y,z) 所以

A=B=C=E 2) 因为

AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y) BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 ABBA 3)因为

AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z) 222BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z) 所以

AB=BA 3) 因为

(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x) 22AB(a)=(-x,-y,z) 所以

222(AB)AB

'

2222444222222223.在P[x] 中,Af(x)f(x),Bf(x)xf(x) 证明:AB-BA=E

证 任取f(x)P[x],则有

；.

.

(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f(x))=f(x)xf(x)-xf(x)=f(x) 所以 AB-BA=E

4.设A,B是线性变换,如果AB-BA=E,证明: AkB-BAk=kAk1 (k>1) 证 采用数学归纳法. 当k=2时

A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A 结论成立.

归纳假设km时结论成立,即AmB-BAm=mAm1.则当km1时,有

Am1B-BAm1=(Am1B-AmBA)+(AmBA-BAm1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mA

m1';'

A=(m1)A

m即km1时结论成立.故对一切k1结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.

证 设A是可逆变换,它的逆变换为A

1.

1若ab,则必有AaAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令A因此,A是一个双射.

1,有a=b,这与条件矛盾.

b=a即可.

6.设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A1,A2,,An线性无关. 证 因

A(1,2,,n)=(A1,A2,,An)=(1,2,,n)A

故A可逆的充要条件是矩阵A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关.故A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:

1) 第1题4)中变换A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;

2) [o; 1,2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂

直投影,B是平面上的向量对2的垂直投影,求A,B,AB在基1,2下的矩阵;

；.

.

3) 在空间P[x]n中,设变换A为f(x)f(x1)f(x) 试求A在基i=x(x1)(xi1)下的矩阵A;

axax4) 六个函数 1=ecosbx,2=esinbx

1 (I=1,2,,n-1) i!3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx 111=x2eaxcosbx,1=eaxx2sinbx

22

的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D在基i(i=1,2,,6)下的矩阵;

10135) 已知P中线性变换A在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是110121求A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵; 6) 在P3中,A定义如下:

A1(5,0,3)A2(0,1,6) A(5,1,9)3其中

1(1,0,2)2(0,1,1) (3,1,0)3求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵; 7) 同上,求A在1,2,3下的矩阵. 解 1)

A1=(2,0,1)=21+3

；.

.

A2=(-1,1,0)=-1+2 A3=(0,1,0)= 2

210故在基1,2，3下的矩阵为011

1002）取1=（1，0），2=（0，1）则A1=A2=

111+2，

22111+2

221故A在基1，2下的矩阵为A=21212 12又因为B1=0，B2=2所以B在基1，2下的矩阵为B=000，另外，（AB）2=A1（B2）=A2=

111+2

220所以AB在基1，2下的矩阵为AB=03）因为 01,1x,2，所以A0110 A1(x1)x0 An112， 12x(x1)x(x1)[x(n2)],,n1 2!(n1)!(x1)x[x(n3)]x(x1)[x(n2)]

(n1)!(n1)!=

x(x1)[x(n3)]{(x1)[x(n2)]}

(n1)!=n2

；.

.

0101，所以A在基0,1,,n1下的矩阵为A=，

104）因为 D1=a1-b2, D2=b1-a2,6 D3=1+a3-b4, D4=2+b3+a4, D5=3+a5-b6, D6=4+b5+a6

ab0，所以D在给定基下的矩阵为D=000ba00010a0001b000ba000100， 01abba011001，所以 5）因为(1,2,3)=(1,2，3)1111111(1,2，3)=(1,2,3)011=(1,2,3)X，

101故A在基1,2，3下的矩阵为

110101111112101110011=220. B=XAX=11111211013021030116）因为(1,2,3)=(1,2，3)，

210；.

.

103所以A(1,2,3)=A(1,2，3)011,

210505但已知A(，1,2,3)=(1,23)011故

369505103A(01111,2，3)=(1,2，3)011

369210133505777=()0112611,2，336977 271177752020=(7475721,2，3)727187247 7777）因为(，10311,23)=(1,2,3)011

210103所以A(,15051,2,3)=(12,3)011011 210369235=(1,2,3)101。

1108．在P

22

中定义线性变换A

ab1(X)=cdX, A2(X)=XacababcdXcd, 求A1, A2, A3在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。

；.

bd, A2(X)=

.

解 因

A1E11=a E11+cE12, A1E12=a E12+c E22, A1E21=bE11+dE21, A1E22= bE21+d E22, 故A1在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为

a0A1=c0又因

0ba00dc00b 0dA2E11=a E11+b E12, A2E12= cE11+dE12, A2E21= aE21+bE22, A2E22= cE21+d E22, 故A2在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为

acbdA2=0000又因

2000 acbd0A3E11= aE11+abE12+acE21+bcE22 A3E12= acE11+adE12+cE21+cdE22 A3E21= abE11+bE12+adE21+bdE22 A3E22 = bcE11+bdE12+cdE21+dE22 故A3在基E11, E12, E21, E22下的矩阵为

222a2acabbc2bdabadbA3

acc2adcdbccdbdd29.设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为

；.

.

a11A=a21a31a12a22a32a13a23 a331) 求A在基3,2,1下的矩阵; 2) 求A在基1,k2,3下的矩阵,其中且; 3) 求A在基12,2,3下的矩阵. 解 1)因

A3=a333+a232a131 A2=a323a222a121 A1=a313a212a111 故A在基3,2,1下的矩阵为

a33 B3a23a132)因

a32a22a12a31a21 a11 A1=a111+

a21(k2)a313 k A(k2)=ka121+a22(k2)+ka323 A3=a131+故A在1,k2,3下的矩阵为

a23(k2)+a333 ka11a B221ka313)因

ka12a22ka32a13a23 ka33A(12)=(a11a12)(13)+(a21a22a11a12)2+(a31a32)3

；.

.

A2=a12(12)+(a22a12)2+a323 A3=a13(12)+(a23a13)2+a333故A基12,2,3下的矩阵为

a11a12B3a21a22a11a12a31a32a12a22a12a32k1a23a13 a33a1310. 设A是线性空间V上的线性变换,如果A

0,但Ak=0,求证

,A,, Ak1(k>0)线性无关.

证 设有线性关系

k1 l1l2AlkA0

用Ak1作用于上式,得 l1 A

k1=0(因An0对一切nk均成立) 0,所以l10,于是有

又因为A

k1l2Al3A2lkAk10

再用A

k2作用之,得l2 A

k1=0.再由,可得l2=0.同理,继续作用下去,便可得

l1l2lk0

k1即证,A,, A(k>0)线性无关.

11.在n维线性空间中,设有线性变换A与向量使得A

n10但,求证A在某组下的矩阵是

010 10102n12n1证 由上题知, ,A,A,, A线性无关,故,A,A,, A为线性空间

V的一组基.又因为

；.

.

A01A0 A+0 A

22n1

n1A(A)=0+0 A+1 A+0 A

………………………………………………… A（A

n1）=0+0 A+0 A 2+0 An1

故A在这组基下的矩阵为

010 101012． 设V是数域P上的维线性空间，证明：V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘

变换.

证 因为在某组确定的基下,线性变换与n级方阵的对应是双射,而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.

13. A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明：如果A在任意一组基下的矩阵都相同,那么是数乘变换.

证 设A在基下1,2,,n的矩阵为A=(aij),只要证明A为数量矩阵即可.设X为任一非退化方阵,且

(1,2,n)=(1,2,,n)X

则1,2,n也是V的一组基,且A在这组基下的矩阵是X与一切非退化矩阵可交换. 若取

1AX,从而即有AX=XA,这说明A

12X1

n则由AX1=X1A知aij=0(ij),即得

a11A=再取

a22 ann；.

01000010X2=

00011000由AX2=X2A,可得 a11a22ann

故A为数量矩阵,从而A为数乘变换.

14.设1,2,3,4是四维线性空间V的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为

102112131255 22121) 求A在基11224,23234,334,424下 的矩阵; 2) 求A的核与值域;

3) 在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵; 4) 在A的值域中选一组基, 把它扩充为V的一组基, 并求A在这组基下的矩阵. 解 1)由题设,知

1000 (23001,2,3,4)=(1,2,3,4)0110 1112故A在基1,2,3,4下的矩阵为

1000110211000B=

X1AX=

2300121323000110125501101112221211122234103102383103403 303137382) 先求A

1(0).设 A

1(0),它在1,2,3,4下的坐标为(1,2,3,4),且在A

；.

.

=

.

在1,2,3,4下的坐标为(0,0,0,0,),则

011212221x1013x20=

55x3012x402因rank(A)=2,故由 x12x3x40

x12x2x33x403(2,,1,0),X2=(1,2,0,1)

2可求得基础解系为 X1=若令

a1=(1,2,3,4)X1,a2=(1,2,3,4)X2 则a1, a2即为A A

11(0)的一组基,所以

(0)=L(a1, a2)

再求A的值域AV.因为 A1=12324 A2=222324 A3=212534 A43=1325324

因rank(A)=2,故A1 ,A2, A3, A4发秩也为2,且A1 ,A2线性无关,故A1 ,A2可组成AV的基,从而

AV=L(A1 ,A2) 4) 由2)知a1, a2是A

1(0)的一组基,且知1,2, a1, a2是V的一组基,又

10(1,2, a1, a2)=(1,2,3,4)00故A在基1,2, a1, a2下的矩阵为

23120100012 01；.

1102311021B=

01212130012051250001221259200=10021200

22004) 由2)知A1=12324, A2=222324 易知A1, A2,3,4是V的一组基,且

1000(A)=(12001, A2,3,41,2,3,4)1210 1201故A在基A1, A2,3,4下的矩阵为

10001C=

12001021100121320121011255121120122121205221=9132002200 0000

15. 给定P3的两组基

1(1,0,1)1(1,2,1)2(2,1,0) 2(2,2,1) 3(1,1,1)3(2,1,1)定义线性变换A: Ai=i(i=1,2,3)

1) 写出由基1,2,3到基1,2,3的过度矩阵;

；.

.

1021013200120 0001000 1.

2) 写出在基1,2,3下的矩阵; 3) 写出在基1,2,3下的矩阵. 解 1)由

(1,2,3)=(1,2,3)X

引入P3的一组基e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1),则

121(1,2,3)=(e1,e2,e3)011=(e1,e2,e3)A

101所以

22121=(e1,e2,e3)B=(e1,e2,e3)A1B (1,2,3)=(e1,e2,e3)2111故由基1,2,3到基1,2,3的过度矩阵为

32122212113121=1X= AB=011221011111122)因

323 2523223 A(1,2,3)=(1,2,3)=(1,2,3)12112故A在基1,2,3下的矩阵为

323 2523223A=121124) 因

323 252A(1,2,3)=A(1,2,3)X=(1,2,3)X

；.

.

故A在基1,2,3下的矩阵仍为X.

16.证明

12i1与ni2相似,其中(i1,i2,,in)是1,2,,n的一个in排列.

证 设有线性变换A,使

1 A(1,2,,n)=(1,2,,n)i1则A(i1,i2,,in)=(i1,i2,,in)2=(1,2,,n)D1 n=(i1,i2,,in)D2 ini21于是D1与D2为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵,故i12与ni2相似. in117.如果A可逆,证明AB与BA相似. 证 因A可逆,故A

存在,从而A

1(AB)A=( A

1A)BA=BA

所以AB与BA相似.

18.如果A与B相似,C与D相似,证明:A0B0与相似. 0B0D0B0=0D YX10A0X证 由已知,可设B=XAX, D=YCY, 则0Y10C011X10X这里0Y1=001 Y；.

.

故A0B0与相似. 0C0D19设A,B是线性变换, A2= A, B2=B证明:

1) 如果(A+B)2 =A+B那么AB=0; 2) 如果, AB=BA那么(A+B-AB)2=A+B-AB.

证 1)因为A2= A, B2=B, (A+B)2 =A+B 由(A+B)2 =(A+B) (A+B)= A2 +AB+BA+ B2, 故A+B= A +AB+BA+ B, 即AB+BA=0.

又2AB=AB+AB=AB-BA= AB-BA= AB+ABA= A (AB+BA)= A0=0 所以AB=0.

2) 因为A= A, B=B, AB=BA 所以(A+B-AB)= (A+B-AB) (A+B-AB)

= A+BA- AB A+ AB+ B- AB-AB-BAB +ABAB = A+AB - AA B + AB+ B- AB-AB-ABB +AABB = A+AB - A B + AB+ B- AB-AB-AB +AB = A+B- AB

20. 设V是数域P上维线性空间,证明:由V的全体变换组成的线性空间是n维的.

22222222222E1n，E21，，E2n，，En1，Enn是P证 因E11，所以V的全体线性变换与Pnnnn的一组基，Pnn是n2维的.

2同构,故V的全体线性变换组成的线性空间是n维的.

21. 设A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换,证明:

3) 在P[x]中有一次数n的多项式f(x),使f(A)0; 4) 如

果

2f(A)0,g(A)0,那么

d(A)0,这里

d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式.

5) A可逆的充分必要条件是:有一常数项不为零的多项式f(x)使f(A)0.

证 1)因为P上的n维线性空间V的线性变换组成的线性空间是n维的,所以n+1个线性变换A

；.

n222,A

n21,、、、,A,E

.

一定线性相关,即存在一组不全为零的数an2,an21,a1,a0使

an2An+an21An令

221+a1A+a0E=0

22f(x)an2xnan21xn1a1xa0,且

ai(i0,1,2,,n2)不全为零，（f（x））n2.

这就是说,在P[x]中存在一次数n的多项式f(x),使f(A)0.即证. 2)由题设知d(x)u(x)f(x)v(x)g(x)因为f(A)0,g(A)0 所以d(A)u(A)f(A)v(A)g(A)=0

3)必要性.由1)知,在P[x]中存在一次数n的多项式f(x),使f(A)0.即

22an2An+an21An221+a1A+a0E=0

22nn若a00,则f(x)an2xan21x1a1xa0即为所求.

若

a00,因ai(i0,1,2,,n2)不全为零，令aj是不为零的系数中下标最小的那一个，则

an2An+an21An221+a1A+a0E=0因 A可逆，故存在

A1,(A1)j(Aj)1也存在，用(Aj)1右乘等式两边，

得an2A

n2j+an21A

2n2j1+…+ajE=0

2n令f(x)an2xjn+an21xj1+…+aj(aj0)，即f(x)为所求.

充分性.设有一常数项不为零的多项式

f(x)an2xnan21xn221a1xa0(a00)使f(A)0

mm1a1Aa0E0 即amAam1Amm1a1Aa0E 所以amAam1A于是1(amAm1a1E)AE a0；.

.

又A1(amAm1a1E)E a0故A可逆.

22. 如果A1,A2,,As是线性空间V的个两两不同的线性变换,那么在V中必存在向量a,使A1a,A2a,,Asa也两两不同. 证 令

Vij因为

V,AAa (i,j1,2,s)

ijAi0Aj00,0Vij

故`Vij非空.又因为A1,A2,,As两两不同,所以对于每两个Ai,Aj而言,总存在一个

向量,使AiAj

故Vij是V的非空真子集 设,Vij,则

AiA,AiAj

于是

Ai()Aj()

即Vij

又 Ai(k)kAikAjAj(k) 于是kVij 故Vij是V的真子空间.

1)如果Vij都是V的非平凡子空间,在V中至少有一个向量不属于所有的Vij,设

Vij(i,j1,2,,s),则

AiAj(i,j1,2,,s)

即证: 存在向量,使A1,A2,,As两两不同. 2)如果{Vij}中有V的平凡子空间Vi0j0；.

,则Vi0j0只能是零空间.对于这种Vi0j0,只要取0,.

就有AiAj,故这样的Vi0j0可以去掉.因而问题可归于1),即知也存在向量使

A1,A2,,As两两不同.

23

设A是有限维线性空间V的线性变换,W是V的子空间.AW表示由W中向量的像组成的子空间,证明:dim(AW)dim(A1(0)W)dim(W)

.设A(0)W的维数 证 因为A也是W上的线形变换,故A(0)W是W的子空间为r,W的维数为s.

今在A(0)W中取一组基1,2,r,把它扩充成W的一组基1,2,r,r1,s, 则AWL(A1,A2,Ar,Ar1,As)=L(Ar1,As)

且Ar1,As线性无关.所以dim(AW)dim(A(0)W)dim(W) 24.设A,B是n维线性空间V的两个线性变换,证明:

1111rank (AB)rank(A)+rank(B)n

证 在V中取一组基,设线性变换A,B在这组基下对应的矩阵分别为 A,B,则线性变换AB对应的矩阵为AB.

因为线性变换A,B,AB的秩分别等于矩阵A,B,AB的秩,所以对于矩阵A,B,AB有

rank(AB)rank(A)+rank(B)n

故对于线性变换A,B,AB也有

rank(AB)rank(A)+rank(B)n

25.设AA,BB,证明:

1)A与B有相同值域的充要条件是ABB,BAA; 2) A与B有相同的核充要条件是ABA,BAB. 证1)必要性.若

；.

22.

AVBV,任取V,则BBVAV,故存在向量V,使BA

于是ABAAB

2由的任意性,故有A

同理可证 AA

充分性.若ABB,BAA,任取AaAVV,则有

AaBAaB(Aa)BV

于是AVBV

同理可证BVAV,故AVBV

2)必要性.若A(0)B(0),,对任意V,作向量A,因为

A (A)=AAA-A=0 所以

211AA1(0)B1(0),

又B(A)=

BBA0

所以BBA,由的任意性,故有BBA 作向量A,则

B(B)=BB2BB0

所以

BB(0)A(0)

又A(B)0,所以AAB,由的任意性,故有AAB.即证必要性. 充分性.若AAB,BBA.任取aA(0),由

111B(BA)B(A)B(0)0

知B(0),从而 A(0)B(0) 同理可证

B(0)A(0)

；.

11111.

即证 A(0)B(0)

11；.