上海市松江区2021届高三一模数学试卷

（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：2020．121．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．3n1．limnn32n▲．2．若集合Ax1x3，B1,2,3,4，则A∩B=3．已知复数z满足z(1i)1i（i为虚数单位），则z4．若sin▲▲．．1，则cos(2)3▲▲x．．▲．▲．5．抛物线y24x的准线方程是6．已知函数f(x)图像与函数g(x)2的图像关于yx对称，则f(3)=7．从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率为8．在(x)的二项展开式中，常数项等于22x6▲．9．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3b2ccosB2a10，则角A=▲．10．从以下七个函数:yx,y12x,yx,y2,ylog2x,ysinx,ycosx中选取两个函数记为f(x)和x▲．▲．g(x)，构成函数F(x)f(x)g(x)，若F(x)的图像如图所示，则F(x)=󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇󰁇111．已知向量abc1，若ab，且cxayb，则xy的最大值为2212．对于定义域为D的函数f(x)，若存在x1,x2D且x1x2，使得f(x12)f(x2则称函数f(x))2f(x1x2)，具有性质M．若函数g(x)log2x1x(0,a]具有性质M，则实数a的最小值为▲．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．13．已知两条直线l1、l2的方程分别为l1:axy10和l2:x2y10，则“a2”是“直线l1l2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件）14．在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（．．A.直线B1C与直线AC所成的角为60B.直线B1C与平面AD1C所成的角为60C.直线B1C与直线AD1所成的角为90D.直线B1C与直线AB所成的角为9015．设x0,y0，若2x11，则yy的（x）A.最小值为8B.最大值为8C.最小值为2D.最大值为216．记Sn为数列{an}的前n项和，已知点(n,an)在直线y102x上，若有且只有两个正整数n满足Snk，则实数k的取值范围是()A.(8,14]B.(14,18]C.(18,20]D.(18,81]4三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

如图1，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，ABAC1，AA12，且AA1平面ABC．过A1、C1、B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．（1）求异面直线BC1与AA1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求四棱锥BACC1A1的体积和表面积．图1图218．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数f(x)3sinxcosxcos2x1．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）若对任意的xR，f2(x)kf(x)20恒成立，求实数k的取值范围．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)．经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量3x与促销费t之间的关系为3xk（其中k为常数），如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．t1（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件),促销费t至少为多少(万元)?（2）已知商品的进价为32(元/件),另有固定成本3(万元)．定义每件售出商品的平均成本为32+3（元）.若将商品x售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少?20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分x2y2已知椭圆：221（ab0）的右焦点坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长的2倍．直线l交椭圆于ab不同的两点M和N．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l经过点T(0,4)，且OMN的面积为22，求直线l的方程；（3）若直线l的方程为ykxt(k0)，点M关于x轴的对称点为M，直线MN、MN分别与x轴相交于P、Q两点，求证：OPOQ为定值．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

对于由m个正整数构成的有限集M{a1,a2,a3,⋯,am}，记P(M)a1a2⋯am，特别规定P()0．若集合M满足：对任意的正整数kP(M)，都存在集合M的两个子集A、B，使得kP(A)P(B)成立，则称集合M为“满集”．（1）分别判断集合M1{1,2}与M2{1,4}是否是“满集”，请说明理由；（2）若a1,a2,⋯,am由小到大能排列成公差为d(dN*)的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是a11，d1或2；（3）若a1,a2,⋯,am由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集”．