第３２卷第３期 ２０１６年９月 焦作师范高等专科学校学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＪＩＡＯＺＵＯ ＴＥＡＣＨＥＲＳ ＣＯＬＬＥＧＥ Ｖ０ｌ＿３２．ＮＯ．３ Ｓｅｐ．２０１６ 关于二阶常系数线性非齐次常微分方程的求解问题 张奕河 （福建省电力有限公司泉州电力技能研究院，福建泉州３６２０００） 摘要：通过降阶的方法，得到二阶常系数线性非齐次常微分方程的两个等价一阶方程，进而得出其通解公式，并利用 它们求解方程，帮助学生解决学习的困惑． 关键词：常系数；非齐次；线性；微分方程；通解 中图分类号：Ｏ１７２．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—３４６５（２０１６）０３—００６６—０２ 二阶常系数非齐次线性常微分方程在电力专业 学生专业课的学习和工作实践中具有广泛的应用， 定理２：二阶常系数线性非齐次微分方程Ｙ”＋ ｐ）， ＋ｑＹ＝ｌ厂（ ）的通解为 但在对学生的跟踪调查访问时，学生普遍反映现有 的高等数学教科书介绍的二阶常系数非齐次线性常 微分方程求通解方法中，特解的求法要根据特征根 和自由项的特点做出不同的特解形式假设，再通过 Ｙ＝ｅ ［ｆ ｅ 。 （ ）ｅ－Ａ ２ｘｄｘ＋ｃ１）ｄｘ＋ｃ２］ Ｊ Ｊ 其中Ａ ，Ａ：为对应特征方程的特征根，ｃ ，ｃ 为 任意常数． 证明：由一阶非齐次线性微分方程的通解公式 得方程Ｙ 一Ａ：Ｙ＝ｌ厂（ ）通解为 ｙ＝ｅ （ Ｊ 求导代人原方程用待定系数法求得，比较繁杂，难以 记忆．本文通过降阶的方法，得到二阶常系数线性非 齐次微分方程的两个等价一阶方程，进而得出其通 解公式，并利用它们求解二阶常系数线性非齐次微 分方程，从而帮助学生解决学习的困惑，提高学习兴 ）ｅ－Ａ２ｘｄｘ＋ｃ１） （３） 又由方程Ｙ 一Ａ．Ｙ＝Ｙ得通解 趣，提高分析与解决实际问题能力以及创新能力． １ 定理 ），＝ｅ （１Ｙｅ－ＡｌＸｄｘ＋ｃ２） Ｊ （４） 把（３）代入（４）得： 定理１：二阶常系数线性非齐次微分方程Ｙ”＋ ｐｙ ＋ｑＹ＝厂（ ）可化为两个一阶常系数线性非齐次 微分方程ｌ， 一Ａ Ｙ＝ｆ（ ）和Ｙ 一Ａ Ｙ＝ 其中Ａ ， Ａ：为齐次微分方程Ｙ ＋ｐｙ ＋ｑＹ＝０所对应特征方 程的特征根． 证明：设Ｙ＝Ｙ 一Ａ，Ｙ （１） Ｙ＝ｅ ［ｆ ｅ Ｊ （ ）ｅ－Ａ２ｘｄｘ＋ｃ１）ｄｘ＋ｃ２］（５） Ｊ 即为方程Ｙ”＋ｐｙ ＋ｑＹ：ｌ厂（ ）的通解． 其中Ａ ，Ａ 为Ｙ”＋ｐｙ ＋ｑＹ＝０对应特征方程的 特征根，Ｃ ，ｃ 为任意常数． ２应用举例 使得ｌ， 一Ａ ２ Ｙ＝Ｙ”＋ｐｙ ＋ｑＹ 其中Ａ。，Ａ 为常数． 把（１）代入（２）得： （２） 由定理知，求解二阶常系数线性非齐次微分方 程，可以通过换元降阶转化为两个形式简单易记的 一阶常系数线性非齐次微分方程Ｙ 一Ａ：Ｙ＝－厂（ ）和 Ｙ”一（Ａ１＋Ａ ２）Ｙ ＋Ａｌ Ａ ｚＹ＝Ｙ”＋ｐ ＋ｇｙ＝＝＞ Ｙ 一Ａ．Ｙ＝Ｙ来求解，也可以直接代入通解公式（５） 求解． 例１ 求微分方程２ｙ ＋Ｙ 一Ｙ＝２ｅ 的通解 因此，Ａ ，Ａ：为特征方程Ａ ＋ｐＡ＋ｇ＝０的两个 特征根． 故定理１得证． 收稿１３期：２０１６—０６—２７ ＝一解法１ 特征方程２Ａ ＋Ａ—ｌ＝０，特征根Ａ １，Ａ ２＝１／２． 由定理１知，原方程可以化为两个一阶微分 基金项目：福建省电力有限公司泉州电力技能研究院科研课题“提高微分方程教学有效性和实用性研究”（２０１６ＸＭ０１３） 作者简介：张奕河（１９６４一），男，福建泉州人，福建省电力有限公司泉州电力技能研究院教授，从事电力基础教学与研究． ・６６－ 张奕河：关于二阶常系数线性非齐次常微分方程的求解问题 万栏 解 特征方程Ａ ＋４＝０，特征根Ａ ＝一２ｉ，Ａ： （６） （７） ＝２ｉ． ｙ 一÷ｌ，＝２ｅ 和Ｙ ＋Ｙ＝Ｙ 先求Ｙ”＋４ｙ＝ｅ 的通解 代人通解公式得 方程（６）的通解 ｙ＝ｅ （ １ ＋ ） ：ｅ÷ （ｆ２ｅ ＋Ｃ １） ｙ ＝ ｅ一 ［Ｊ．ｅ （Ｊ—ｅ一 ｄ ＋ ｃ。）ｄ ＋ ｃ ］ ＝ Ｊ ：４ｅ｜＋ ＊． 代入方程（７）得ｙ，＋ｙ：４ｅ ＋ ｅ 冥遍解为 ｙ＝ｅ一 Ｅｌ（４ｅ ＋ｃ ｌ ｅ÷ ）ｅ ｄ ＋ｃ ］＝ｅ一 Ｉｆ（４ｅ２ ＋ｃＩｅ争）ｄ ＋ｃ２］ ＝ｅ ２ｅ２ ＋ ｅ争＋ｃ２）＝２ｅ ＋叩｝ ＋Ｃ２ｅ一 其中ｃｌ＝ 解法２ 特征方程２Ａ ＋Ａ一１＝０，特征根Ａ。 ＝一１，Ａ ２＝１／２ 由定理２得通解 ｙ＝ｅ （ ｅ扣 ＋ ） ＋ｃ：］＝ ｅ一 Ｅｌ（４ｅｈ＋ ｅ÷ ）ｄ ＋ｃ ］ ＝ｅ ２ｅ２ ＋ ｅ ＋ｃ２）＝２ｅ ＋ ＋Ｃ２ｅ一 其中ｃ１＝每 例２求微分方程Ｙ”一２ｙ ＋Ｙ＝ 的通解 解 特征方程Ａ 一２Ａ＋１＝０，特征根Ａ。＝Ａ： ＝１． 代入通解公式得 ｙ＝ｅ （ ｅ ＋ｃ１） ＋ｃ２］ ＝ｅ ［Ｊ．一ｅ一 （ ＋２ ＋２＋ｃ ）ｄ ＋ｃ ］ ＝ｅ ［ｅ一 （ ＋４ ＋６）＋ｃ１ ＋ｃ２］ ＝（ ＋４ ＋６＋Ｃｔｘｅ ＋ｃ２ｅ ）． 例３求微分方程Ｙ”＋４ｙ＝ｓｉｎ 的通解 ｅ－２ｌ ［Ｊ＾ｅ４ｉｘ（ ＋ｃ ） ＋ｃ２］＝ｅ＿２Ｉ １ ３ ＋ Ｃ１ ｅ４ ＋ｃ ）＝了１ ｅ‘ ＋ Ｃ１ ｅ２ ＋ｃ：ｅ－２ｉｘ＝了１ ｃ。ｓ ＋ １ ｃ，ｓｉｎ ２ ＋ｃ２ｃｏｓ ２ｘ＋ｉ（ 一ｓｉｎ 一 一ｃ１ ｃｏｓ ２ｘ—Ｃ２ｓｉｎ ２ｘ） Ｊ 叶 微分方程 ＋４ｙ＝ｓｉｎ 的通解为Ｙ”＋４ｙ＝ｅ 的通解的虚部， １ 即Ｙ ÷ｓｉｎ ＋ｃＩ ｃｏｓ ２ｘ＋ｃ２ ｓｉｎ ２ｘ． Ｊ 若自由项为 ）＝Ｐ ｅ“且特征根为虚根时， 利用公式求出通解是复值函数形式，取其实部即可 得到实值函数形式的通解． ３ 小结 通过换元、降阶把二阶常系数线性非齐次微分 方程转化为形式简单又易记的两个一阶线性微分方 程ｙ 一Ａ Ｙ＝，（ ），Ｙ 一Ａ Ｙ＝Ｙ，从而得到通解公 式Ｙ＝ｅ ［ｆＪ ｅ （ Ｊ ）ｅ－Ａ２ｘｄｘ＋ｃ１）ｄｘ＋ｃ２］，把 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解转化为求不 定积分．该方法直观明了，免去了要针对自由项及特 征根的不同特点做不同形式的特解假设和求导再代 人方程这些复杂过程，降低了学生的学习难度，便于 学生专业课学习和解决实际问题． ［参考文献］ ［１］何新萌，张奕河．高等数学（下册）［Ｍ］．福建：厦门大学出版 社。２００８：１０． ［２］同济大学数学教研室．高等数学（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出 版社，２００２：３４８． ［３］张奕河，吴小兰．不定型极限求法研究［Ｊ］．贵阳学院学报（自 然科学版），２０１３（２）：１３—１５． ［４］张奕河．关于非齐次线性微分方程的求解问题［Ｊ］．宁德师专学 报（自然科学版），２００５（２）：１１９—１２０． ［责任编辑：牛俊英］ ・６７・
