第三十五讲 二阶常系数线性非齐次微分方程

第三十五讲 二阶常系数线性非齐次微分方程

重点：二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法

难点：二阶常系数线性非齐次微分方程特解的形式

形如

ypyqyf(x) （1）

的微分方程，其中p、q为常数，称为二阶常系数线性非齐次微分方程，简称二阶常系数线性非齐次方程。我们把方程

ypyqy0 （2）

叫做方程（1）对应的齐次方程。下面讨论二阶线性非齐次微分方程（1）的解，为此，我们先讨论二阶常系数线性非齐次方程解的结构。

一、二阶常系数线性非齐次方程解的结构

在第三节中我们已经看到，一阶线性非齐次微分方程的通解由两部分构成：一部分是对应的齐次

方程的通解；另一部分是非齐次方程本身的一个特解。实际上，不仅一阶线性非齐次微分方程的通解具有这样的结构，而且二阶及更高阶线性非齐次微分方程的通解也具有同样的结构。

定理7.3 如果函数y是二阶常系数线性非齐次微分方程（1）的一个特解，Y是它对应的齐次方

*程（2）的通解，则

yYy* （3）

是二阶常系数线性非齐次微分方程（1）的通解。

根据以上的讨论，求二阶线性非齐次微分方程ypyqyf(x)通解的一般步骤：

（1）求对应齐次方程ypyqy0的线性无关的两个特解y1与y2。因此该齐次方程的通解为

YC1y1C2y2。

（2）求二阶线性非齐次微分方程ypyqy的通解为

yYy*f(x)的一个特解y*，那么，二阶线性非齐次微分方程

=

C1y1C2y2y*。

二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法

由定理1知道，二阶常系数线性非齐次方程的通解是对应的齐次方程的通解与其自身的一个特解

之和。而求二阶常系数线性齐次方程的通解问题已经解决，所以求线性非齐次方程的通解的关键在于求其一个特解。

下面介绍方程ypyqyy*f(x)中f(x)取两种常见形式时求y*的方法。这种方法的特点是不用积分就

可以求出来，它叫做待定系数法。

f(x)exPm(x)（1）型

设二阶常系数线性非齐次方程为

ypyqyexPm(x) （5）

其中Pm(x)为x的m次多项式。因为p、q均为常数且指数函数的导数仍为指数函数，多项式的导数仍为多项式，不难验证，（5）式的特解为

y*xkQm(x)ex

其中Qm(x)与Pm(x)是同次多项式。若λ不是对应齐次方程的特征方程的特征根，k=0；若λ是特征根且为单根，k=1；若λ是特征根且为重根，k=2。

例1 求方程y2yyx的特解。

2

例2 求方程y2y3ye的一个特解。

x例3 求方程

y4y4yxe2x的特解。

（2）f(x)=ex(AcosxBsinx)型

设二阶常系数线性非齐次方程

ypyqyex(AcosxBsinx)

（6）

其中、、A、B均为常数。

由于p、q均为常数且指数函数的导数仍为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，不难验证，（6）式的特解为

y*xkex(CcosxDsinx)

其中C、D为待定常数。若i不是对应齐次方程的特征根时，k=0；若i是特征根且为单根时，k=1。

例4 求方程y3yyexcos2x的特解。

例5 求方程yycosx的通解。

定理7.4 设二阶常系数线性非齐次微分方程为

ypyqyf1(x)f2(x)

（4）

且y与y分别是

*1*2 和

ypyqyf1(x)

ypyqyf2(x)

的特解，则y1y2是方程（4）的特解。

**这一定理通常称为线性非齐次微分方程的解的叠加原理。

例6 求方程yyxsinx的通解。

解 原方程对应齐次方程的特征方程为

解之，得特征根

r2r0

r10，r21。

于是，对应齐次方程的通解为

YC1xC2ex。

对于二阶常系数线性非齐次方程yyx，易求得特解

*y1x；

对于二阶常系数线性非齐次方程yysinx，易求得特解

*y21sinx2。

于是，原方程的特解为

**y*y1y2x1sinx2。

因此，原方程的通解为

yYy*C1xC2exx1sinx2

。