山西省晋中市灵石县第一中学2021年高一数学理联考试题含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 设

，过定点A的动直线

和过定点B的动直线交于点

，

（点P与点A，B不重合），则

的面积最大值是（ ）．

A. B. C. 5 D.

参考答案：

B 【分析】

先求出时，交点，；当时，利用基本不等式求的面积

最大值，综合得解. 【详解】动直线，令，解得

，

因此此直线过定点． 动直线，即，

令，，

解得

，

，

因此此直线过定点

.

时，两条直线分别为

，

，交点

，

．

时，两条直线的斜率分别为：

，

，

则，

因此两条直线相互垂直．

当时，的面积取得最大值．

综上可得：的面积最大值是．

故选：B．

【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

2. 函数的定义域为，值域为，则点表示的图形可以是

( ▲ )

参考答案： B 略

3. 正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝1，BF＝，将此正方形沿DE、DF折起，使点A、C重合于点P，则三棱锥P－DEF的体积为( ) A． B．

C． D．

参考答案： B

4. 函数y=ax与y=﹣logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（ ）

A．

B．

C．

D．

参考答案：

A

【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．

【分析】本题是选择题，采用逐一排除法进行判定，再根据指对数函数图象的特征进行判定．【解答】解：根据y=﹣logax的定义域为（0，+∞）可排除选项B，

选项C，根据y=ax

的图象可知0＜a＜1，y=﹣logax的图象应该为单调增函数，故不正确 选项D，根据y=ax的图象可知a＞1，y=﹣logax的图象应该为单调减函数，故不正确 故选A

5. 角的始边在x轴正半轴、终边过点,且，则的值为 （ ）

A.

B. 1 C. D.

参考答案：

A 略 6. 已知函数，下列结论不正确的是（ ）

A. 函数的最小正周期为2π B. 函数在区间(0,π)内单调递减 C. 函数

的图象关于y轴对称

D. 把函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象

参考答案：

D 【分析】 利用余弦函数

的性质对A、B、C三个选项逐一判断，再利用平移“左加右减”及诱导公式

得出

，进而得出答案．

【详解】由题意，函数其最小正周期为

，故选项A正确；

函数在

上为减函数，故选项B正确；

函数

为偶函数，关于

轴对称，故选项C正确

把函数的图象向左平移个单位长度可得，所以选项D不正确．

故答案为：D

【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，以及诱导公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

7. 若，定义

，例如：，

则函数

的奇偶性是 （ ）

A．是偶函数不是奇函数 B。是奇函数不是偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D。既不是奇函数也不是偶函数 参考答案：

A 8. 直线

与圆

交于A，B两点，且

，过点A，B分别作l的垂线与

y轴交于点M，N，则等于（ ） A.

B. 8 C.

D.

参考答案：

C

根据题中的条件可知圆的半径等于3，所以直径等于6，

所以直线过圆心，即直线过坐标原点，从而可以求得，

结合图形的特征，.

9. 下列图像是函数

的是（ ）

参考答案：

A

10. 如果角θ的终边经过点

，那么tanθ的值是（ ）A．

B．

C．

D．

参考答案：

A

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】直接根据三角函数的定义，求出tanθ的值．

【解答】解：由正切的定义易得．

故选A．

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、 轴正方向同向的单位向量。若向量

，则把有序实数对

叫做向量

在坐标系

中的坐标。若

，则

= ★

参考答案：

略

12. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如下图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是________．

参考答案： 2

13. 斜率为3且与圆

相切的直线方程为____________.

参考答案：

或

略

14. 已知函数f(x)=|lgx|．若0略

15. 若f(x)＝

＋a是奇函数，则a＝________.

参考答案：

略

16. 如图，在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F， ①四边形BFD1E一定是平行四边形 ②四边形BFD1E有可能是正方形

③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形 ④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D

以上结论正确的为 ．（写出所有正确结论的编号）

参考答案：

①③④

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】①正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，前后、左右两对侧面相互平行，利用面面平行的性质定理可判断四边形BFD1E是平行四边形；

②先假设四边形BFD1E是正方形，利用勾股定理可导出矛盾，从而可判断其正误； ③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影为ABCD，是正方形，可判断其正误；

④四利用菱形的对角线互相垂直及面面垂直的性质，可判断四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D． 【解答】解：连接D1E、D1F、BE、BF、EF，

对于①，正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，前后、左右两对侧面相互平行，由面面平行的性质定理可得，BE∥D1F，D1E∥BF，故四边形BFD1E一定是平行四边形，①正确； 对于②，设该正方体的边长为2，若四边形BFD1E是正方形，

则E、F分别为AA1与CC1的中点，D1E=BE且D1E⊥BE， 实际上，D1E=BE=，

BD1=2

，并不满足D21E2+BE=BD21，即D1E⊥BE不成立，故②错误；

对于③，四边形BFD1E在底面ABCD内的投影是ABCD，为正方形，故③正确；

对于④，当E和F是所在棱的中点时，易证BE=D1E，则四边形BFD1E是菱形，则EF垂直于BD1，同理四边形B1FDE也是菱形，则EF垂直于B1D，因此EF垂直于平面BB1D1D，从而平面BFD1E垂直于平面BB1D1D，即四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D，故④正确．

综上所述，以上结论正确的为①③④． 故答案为：①③④．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，突出考查空间几何中面面平行、面面垂直的性质与判定，考查作图、分析与逻辑推理能力，属于难题． 17. 在区间

内至少存在一个实数,使,则实数的

限值范围是= .

参考答案：

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题10分）

设

，

，

，

∥

，试求

（O为坐标原点）。

参考答案：

19. 设函数

对任意

，都有

，且

时，

，

。

（1）求证：是奇函数；

（2）试问在

时，

是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由.参考答案：

略

20. 如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点. （1）求证：PC∥平面BDE；

（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB.

参考答案：

证明：（1）连结，交

于

，连结

． 因为是平行四边形，所以．

因为为侧棱

的中点，所以

∥

因为平面，平面

，所以∥平面．

（2）因为为中点，，所以

．

因为，∥，所以

．

因为平面，平面

，， 所以平面． 因为

平面

，所以平面

⊥平面．

21. 如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数

．

（１） 求这一天的最大温差； （２） 写出这段曲线的函数解析式．

解析：（１）由图可知，这段时间的最大温差是（２）从图中可以看出，从时的图象是函数

．

的半个周期的图象，所

参考答案：

以

，

，

，

．

将，代入上式，解得．

综上，所求解析式为

，22. 本小题满分10分

化简：

参考答案：

．