2020白云区九年级数学一模考

2020年广东省广州市白云区部分学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．﹣2的绝对值是（ ） A．﹣2 B．2

2．已知∠α=35°，则∠α的余角的度数是（ ） A．55° B．45° C．145° D．135°

3．16的算术平方根是（ ） A．±4 B．±8

4．不等式组

的解集为（ ） C．4

D．﹣4

C．

D．﹣

A．x＜2 B．x≥1 C．﹣1≤x＜2 D．无解

5．菱形ABCD的周长为16，∠A=60°，则BD的长为（ ） A．8

6．下列式子中是完全平方式的是（ ）

A．a2+2a+1 B．a2+2a+4 C．a2﹣2b+b2 D．a2+ab+b2

7．如图，△OAB绕点O顺时针旋转85°到△OCD，已知∠A=110°，若∠D=40°，则∠α的度数是（ ）

B．4

C．2

D．4

A．30° B．45° C．55° D．60°

8．已知一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而增大，且其图象与y轴的负半轴相交，则对k和b的符号判断正确的是（ ） A．k＞0，b＞0

B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0

9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OB，垂足为E，CD=6cm，则直径AB的长是（ ）

A．10cm B．3

cm C．4cm D．4cm

10．把函数y=﹣2x+3的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到的图象的函数解析式是（ ） A．y=﹣2x+7 B．y=﹣2x﹣7

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知点A（﹣2，4），则点A关于y轴对称的点的坐标为 ．

12．等腰三角形的腰长是6，则底边长a的取值范围是 ．

13．若反比例函数的图象经过点A（3，﹣2），则它的表达式是 ．

14．已知△ABC∽△DEF，顶点D、E、F分别对应顶点A、B、C，且S△ABC：S△DEF=9：49，则AB：DE= ．

15．已知函数y=x2﹣4x+3，则函数值y随x的增大而减小的x的取值范围是 ．

16．DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：3，如图，矩形ABCD中，且AC=12，则DE的长度是 （结果用根号表示）． C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解方程组：

．

18．已知，如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠DCB，交AD于点F．求证：△ABE≌△CDF．

19．已知a=3﹣

20．某完全中学（含初、高中）篮球队12名队员的年龄情况如下： 年龄（单位：岁） 14 人 数

1

15 4

16 3

17 2

18 2

，b=3+

，试求﹣的值．

（1）这个队队员年龄的众数是 ，中位数是 ； （2）求这个队队员的平均年龄；

（3）若把这个队队员年龄绘成扇形统计图，请求出年龄为15岁对应的圆心角的度数．

21．在一个不透明的袋子中，放有四张质地完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4．第一次从袋中随机地抽出一张卡片，把其上的数字记为横坐标x，然后把卡片放回袋中，搅匀后第二次再随机地从中抽出一张，把其上的数字记为纵坐标y．

（1）用树状图或列表法把所有可能的点表示出来； （2）求所得的点在直线y=﹣x+5的点的概率．

22．如图，抛物线y=ax2﹣bx﹣4a交x轴于点A、B，交y轴于点C，其中点B、C的坐标分别为B（1，0）、C（0，4）．

（1）求抛物线的解析式，并用配方法把其化为y=a（x﹣h）2+k的形式，写出顶点坐标；

（2）已知点D（m，1﹣m）在第二象限的抛物线上，求出m的值，并直接写出点D关于直线AC的对称点E的坐标．

23．已知，如图，△ABC中，∠C=90°，E为BC边中点．

（1）尺规作图：以AC边为直径，作⊙O，交AB于点D（保留作图痕迹，标上相应的字母，可不写作法）；（2）连结DE，求证：DE为⊙O的切线； （3）若AD=4，BD=，求DE的长．

24．如图，点A、B分别位于x轴负、正半轴上，OA、OB﹙OA＜OB﹚的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且S△ABC=6． （1）求线段AB的长； （2）求∠ABC的度数；

（3）过点C作CD⊥AC交x轴于点D，求点D的坐标；

（4）y轴上是否存在点P，使∠PBA=∠ACB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A=2∠C． （1）若∠C=38°，则∠ABD= ； （2）求证：BC=AB+AD； （3）求证：BC2=AB2+AB•AC．

2015年广东省广州市白云区部分学校中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．﹣2的绝对值是（ ） A．﹣2 B．2

C．

D．﹣

【考点】绝对值．

【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值． 【解答】解：|﹣2|=2， 故选：B．

【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键．

2．已知∠α=35°，则∠α的余角的度数是（ ） A．55° B．45° C．145° D．135° 【考点】余角和补角．

【分析】若两个角的和为90°，则这两个角互余，根据已知条件直接求出答案即可． 【解答】解：∵∠α=35°，

∴∠α的余角的度数=90°=55°﹣35°． 故选A．

【点评】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．牢记定义是关键．

3．16的算术平方根是（ ） A．±4 B．±8

C．4

D．﹣4

【考点】算术平方根． 【专题】计算题．

【分析】根据算术平方根的定义求解即可求得答案． 【解答】解：∵42=16， ∴16的算术平方根是4． 故选C．

【点评】此题考查了算术平方根的定义．题目很简单，解题要细心．

4．不等式组的解集为（ ）

A．x＜2 B．x≥1 C．﹣1≤x＜2 D．无解 【考点】解一元一次不等式组．

【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【解答】解：

∵解不等式①得：x＜2， 解不等式②得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 故选C．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．

5．菱形ABCD的周长为16，∠A=60°，则BD的长为（ ） A．8

B．4

C．2

D．4

【考点】菱形的性质．

【分析】根据菱形的性质可得：AB=AD，然后根据∠A=60°，可得三角形ABD为等边三角形，继而可得出BD的长．

【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=DC=BC， ∵菱形ABCD的周长为16， ∴AB=4， ∵∠A=60°，

∴△ABD为等边三角形， ∴AB=BD=4， 故选B．

【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等的性质，比较简单．

6．下列式子中是完全平方式的是（ ）

A．a2+2a+1 B．a2+2a+4 C．a2﹣2b+b2 D．a2+ab+b2

【考点】完全平方式．

b）2=a2±2ab+b2．看哪个式子整理后符合即可． 【分析】完全平方公式：（a±

【解答】解：A、原式=（a+1）2，是完全平方式，故本选项正确； B、原式=（a+1）2+3，不是完全平方式，故本选项错误； C、原式=a2﹣（b﹣1）2+1，不是完全平方式，故本选项错误； D、原式=（a+b）2﹣ab，不是完全平方式，故本选项错误； 故选：A．

【点评】本题主要考的是完全平方公式结构特点，有两项是两个数的平方，另一项是加或减去这两个数的积的2倍．

7．如图，△OAB绕点O顺时针旋转85°到△OCD，已知∠A=110°，若∠D=40°，则∠α的度数是（ ）

A．30° B．45° C．55° D．60° 【考点】旋转的性质． 【专题】计算题．

【分析】先根据旋转的性质得∠C=∠A=110°，∠BOD=85°，则利用三角形内角和计算出∠COD=30°，然后利用∠BOC=∠BOD﹣∠COD进行计算即可．

【解答】解：∵△OAB绕点O顺时针旋转85°到△OCD， ∴∠C=∠A=110°，∠BOD=85°， ∵∠COD+∠C+∠D=180°， ∴∠COD=180°=30°﹣110°﹣40°，

∴∠BOC=∠BOD﹣∠COD=85°=55°﹣30°， 即∠α的度数是55°． 故选C．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

8．已知一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而增大，且其图象与y轴的负半轴相交，则对k和b的符号判断正确的是（ ） A．k＞0，b＞0

B．k＞0，b＜0

C．k＜0，b＞0

D．k＜0，b＜0

【考点】一次函数图象与系数的关系．

【分析】一次函数y=kx+b中y随x的增大而增大，且与y轴负半轴相交，即可确定k，b的符号．

【解答】解：∵一次函数y=kx+b中y随x的增大而增大， ∴k＞0，

∵一次函数y=kx+b与y轴负半轴相交， ∴b＜0． 故选：B．

【点评】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数y=kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大； ②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大； ③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小； ④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．

9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OB，垂足为E，CD=6cm，则直径AB的长是（ ）

A．10cm B．3cm C．4cm D．4cm

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】连接OD，先根据垂径定理求出DE的长，再设AB=4x，则OE=x，OD=2x，根据勾股定理求出x的值即可．

【解答】解：连接OD，

∵弦CD垂直平分半径OB，垂足为E，CD=6cm， ∴DE=CD=3cm．

设AB=4x，则OE=x，OD=2x，

∴OE2+DE2=OD2，即x2+32=（2x）2，解得x=∴AB=4故选D．

（cm）．

，

【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

10．把函数y=﹣2x+3的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到的图象的函数解析式是（ ）

A．y=﹣2x+7 B．y=﹣2x﹣7

C．y=﹣2x﹣3

D．y=﹣2x

【考点】一次函数图象与几何变换．

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．

【解答】解：把函数y=﹣2x+3的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到的图象的函数解析式是：y=﹣2（x+2）+3﹣2=﹣2x﹣3， 故选C．

【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11．已知点A（﹣2，4），则点A关于y轴对称的点的坐标为 （2，4） ． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，易得答案． 【解答】解：根据平面内关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 已知点A（﹣2，4），则点A关于y轴对称的点的横坐标为﹣（﹣2）=2，纵坐标为4， 故点（﹣2，4）关于y轴对称的点的坐标是（2，4）， 故答案为（2，4）．

【点评】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．

12．等腰三角形的腰长是6，则底边长a的取值范围是 0＜a＜12 ． 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【专题】计算题．

【分析】由已知条件腰长是6，底边长为x，根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案．【解答】解：根据三边关系可知：6﹣6＜a＜6+6， 即0＜a＜12． 故答案为：0＜a＜12．

【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系的运用．列出不等式，通过解不等式求解是正确解答本题的关键．

13．若反比例函数的图象经过点A（3，﹣2），则它的表达式是 y=﹣ ． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式．

【分析】首先设反比例函数解析式为y=，再把（3，﹣2）点代入可得k的值，进而可得解析式．

【解答】解：设反比例函数解析式为y=， ∵图象经过点A（3，﹣2）， ∴k=﹣6，

∴反比例函数解析式为：y=﹣． 故答案为：y=﹣．

【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．

14．已知△ABC∽△DEF，顶点D、E、F分别对应顶点A、B、C，且S△ABC：S△DEF=9：49，则AB：DE= 3：7 ．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=9：49， ∴AB：DE=3：7， 故答案为：3：7．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

15．已知函数y=x2﹣4x+3，则函数值y随x的增大而减小的x的取值范围是 x＜2 ． 【考点】二次函数的性质．

【分析】根据a＞0，对称轴的左侧，y随x的增大而减小，对称轴的右侧，y随x的增大而增大，可得答案．【解答】解：a=1，x＜﹣故答案为：x＜2．

【点评】本题考查了二次函数的性质，利用了a＞0，对称轴的左侧，y随x的增大而减小，对称轴的右侧，y随x的增大而增大，确定对称轴是解题关键．

16．DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：3，如图，矩形ABCD中，且AC=12，则DE的长度是 3果用根号表示）．

（结，即x＜2时函数值y随x的增大而减小．

【考点】矩形的性质．

【分析】根据∠EDC：∠EDA=1：3，可得△CDE∽△ADE，再由AC=10，求得DE． 【解答】解：连接BD交AC于O，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，AC=BD=12，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=6， ∴OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD，

∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°， ∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90°，

∴∠DCE=90°﹣∠EDC=67.5°， ∴∠ODC=∠OCD=67.5°， ∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°， ∴∠COD=45°， ∴OE=DE， ∵OE2+DE2=OD2， ∴2（DE）2=OD2=36， ∴DE=3

，

．

故答案为：3

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和矩形的性质，根据已知得出OE2+DE2=OD2是解题关键．

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解方程组：

．

【考点】解二元一次方程组．

2消去y，再解答即可． 【分析】①+②×【解答】解：①+②×2得：x=2， 把x=2代入②得：y=1， 所以方程组的解是：

． ，

【点评】本题主要考查对解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

18．已知，如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠DCB，交AD于点F．求证：△ABE≌△CDF．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定． 【专题】证明题．

【分析】首先根据平行四边形的性质可得到AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠DCB，再利用角平分线的性质证明∠BAE=∠DCF，即可得到△ABE≌△CDF的条件，利用ASA即可证明其全等． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠DCB， ∵AE平分∠A，CF平分∠C，

∴∠BAE=∠BAD，∠DCF=∠DCB， ∴∠BAE=∠DCF， 在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（ASA）．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，解题的关键是证明∠BAE=∠DCF．

19．已知a=3﹣

，b=3+

，试求﹣的值．

【考点】二次根式的化简求值． 【分析】将a，b的值代入化简即可． 【解答】解：∵a=3﹣∴﹣=

，b=3+=

，

﹣

=

．

【点评】本题主要考查了二次根式的化简，将二次根式分母有理化是解答此题的关键．

20．某完全中学（含初、高中）篮球队12名队员的年龄情况如下： 年龄（单位：岁） 14 人 数

1

15 4

16 3

17 2

18 2

（1）这个队队员年龄的众数是 15 ，中位数是 16 ； （2）求这个队队员的平均年龄；

（3）若把这个队队员年龄绘成扇形统计图，请求出年龄为15岁对应的圆心角的度数． 【考点】众数；扇形统计图；加权平均数；中位数．

【分析】（1）众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解； （2）利用求平均数公式计算即可；

（3）年龄为15岁所占的百分比，乘以360即可得到结果． 【解答】解：（1）15岁出现了4次，次数最多，因而众数是：15； 12个数，处于中间位置的都是16，因而中位数是：16． 故答案为15、16；

（2）这个队队员的平均年龄=（3）年龄为15岁对应的圆心角的度=

×360°=120°．

=16（岁）；

【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

21．在一个不透明的袋子中，放有四张质地完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4．第一次从袋中随机地抽出一张卡片，把其上的数字记为横坐标x，然后把卡片放回袋中，搅匀后第二次再随机地从中抽出一张，把其上的数字记为纵坐标y．

（1）用树状图或列表法把所有可能的点表示出来； （2）求所得的点在直线y=﹣x+5的点的概率．

【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】（1）此题需要两步完成，属于放回实验，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单，注意做到不重不漏；

（2）根据（1）求得所有的可情况，再求出符合条件的情况，即可求得答案． 【解答】解：（1）树形图如下：

列表如下：

（1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）

（2）按题意，在直线y=﹣x+5的点有：（1，4），（4，1），（2，3）（3，2）共4个， 故P（所得的点在直线y=﹣x+5上）=

=．

【点评】此题考查了树状图与列表法求概率．列表法适合两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．

22．如图，抛物线y=ax2﹣bx﹣4a交x轴于点A、B，交y轴于点C，其中点B、C的坐标分别为B（1，0）、C（0，4）．

（1）求抛物线的解析式，并用配方法把其化为y=a（x﹣h）2+k的形式，写出顶点坐标；

（2）已知点D（m，1﹣m）在第二象限的抛物线上，求出m的值，并直接写出点D关于直线AC的对称点E的坐标．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）由点D（m，1﹣m）在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，即可求得点D的坐标，则可求得∠CBO的度数，然后过点D作DF⊥BC于F，延长DE交y轴于E，又由点E即为点D关于直线BC的对称点，即可求得点E的坐标．

【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（1，0）、C（0，4）两点， ∴

，

解得．

∴此抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x+4．

（2）∵点D（m，1﹣m）在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上， ∴﹣m2﹣3m+4=1﹣m， 解得m1=﹣3，m2=1． ∵点D在第二象限， ∴D（﹣3，4）． 令y=﹣x2﹣3x+4=0， 解得x1=1，x2=﹣4．

∴B（﹣4，0）． ∴∠CBO=45°． 连接DC，

易知DC∥BA，DC⊥CO，DC=3． ∴∠DCA=∠CAO=45°． ∴∠ACD=45°．

过点D作DF⊥BC于F，延长DE交y轴于E， ∴∠D=45°． ∴∠CFE=45°． ∴DF=CF=EF．

∴点E即为点D关于直线BC的对称点． ∴CD=CE=3， ∴OE=1 ∴E（0，1）．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线解析式的求法、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和解析式的求法是解决问题的关键．

23．已知，如图，△ABC中，∠C=90°，E为BC边中点．

（1）尺规作图：以AC边为直径，作⊙O，交AB于点D（保留作图痕迹，标上相应的字母，可不写作法）；（2）连结DE，求证：DE为⊙O的切线； （3）若AD=4，BD=，求DE的长．

【考点】作图—复杂作图；切线的判定．

【专题】作图题．

【分析】（1）作AC的垂直平分线，垂足为O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可；

（2）如图2，连结OD，CD，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，再根据斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=EC=BE，则利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，加上∠3=∠4，则∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是可根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线；

（3）证明Rt△BDC∽Rt△BCA，利用相似比计算出BC=得到DE的长．

【解答】（1）解：如图1，

，然后利用斜边上的中线等于斜边的一半即可

（2）证明：如图2，连结OD，CD，

∵AC边为直径， ∴∠ADC=90°， 而E为BC边中点，

∴DE为Rt△BDC斜边BC上的中线， ∴DE=EC=BE， ∴∠1=∠2， ∵OC=OD， ∴∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=90°，

∴OD⊥DE， ∴DE为⊙O的切线； （3）解：∵∠DBC=∠CBA， ∴Rt△BDC∽Rt△BCA，

∴BC：AB=BD：BC，即BC：（4+）=：BC， ∴BC=

，

．

∴DE=BC=

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．

24．如图，点A、B分别位于x轴负、正半轴上，OA、OB﹙OA＜OB﹚的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且S△ABC=6． （1）求线段AB的长； （2）求∠ABC的度数；

（3）过点C作CD⊥AC交x轴于点D，求点D的坐标；

（4）y轴上是否存在点P，使∠PBA=∠ACB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题． 【专题】综合题．

【分析】（1）由点C的坐标确定出OC的长，根据三角形ABC面积求出AB的长即可；

OB﹙OA＜OB﹚的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，（2）根据OA、表示出OA+OB，即为AB的长，进而求出m的值，确定出方程，求出解得到A与B坐标，得到三角形OBC为等腰直角三角形，即可求出∠ABC的度数；

（3）如图1所示，作CD⊥AC，交x轴于点D，根据同角的余角相等及一对公共角，得到三角形AOC与三角形COD相似，由相似得比例求出OD的长，即可确定出点D的坐标；

（4）y轴上存在点P，使∠PBA=∠ACB，理由为：y轴上存在点P，使∠PBA=∠CAB，如图2所示，过点B作PB∥AC，设直线AC解析式为y=kx+b，把点A和点C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，进而求出直线PB解析式，求出点P坐标，再利用对称性求出点P′坐标即可． 【解答】解：（1）∵点C（0，3），

∴OC=3， ∵S△ABC=6， ∴×AB×OC=6， ∴AB=4；

（2）∵OA、OB﹙OA＜OB﹚的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根， ∵OA+OB=4m， ∴4m=4，即m=1，

∴方程可化为：x2﹣4x+3=0， 解得：x1=1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°；

（3）如图1所示，作CD⊥AC，交x轴于点D，

∵∠AOC=∠ACD=90°，

∴∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠DCO=90°， ∴∠CAO=∠DCO， ∴△AOC∽△COD， ∴

=

， =9，

∴OD=

∴D（9，0）；

（4）y轴上存在点P，使∠PBA=∠CAB，如图2所示，

过点B作PB∥AC，

设直线AC解析式为y=kx+b， 把A（﹣1，0），C（0，3）代入得：解得：

，

，

∴直线AC的解析式为：y=3x+3， 设直线PB解析式为y=3x+b，

把B（3，0）代入得：0=9+b，即b=﹣9， ∴直线PB的解析式为：y=3x﹣9，

∴P点的坐标为（0，﹣9），根据对称性得P′（0，9），

则y轴上存在点P，使∠PBA=∠ACB，此时P坐标为（0，﹣9）或（0，9）．

【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，解一元二次方程﹣因式分解法，相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

25．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠A=2∠C． （1）若∠C=38°，则∠ABD= 33° ； （2）求证：BC=AB+AD； （3）求证：BC2=AB2+AB•AC．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】（1）在BC上截取BE=AB，利用“边角边”证明△ABD和△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=AD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠A，然后求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，然后结合图形整理即可得证；

（2）由（1）知：△ABD≌△BED，根据全等三角形对应边相等可得DE=AD，全等三角形对应角相等可得∠AED=∠A，然后求出∠C=∠CDE，根据等角对等边可得CE=DE，等量代换得到EC=AD，即得答案BC=BE+EC=AB+AD；

（3）为了把∠A=2∠C转化成两个角相等的条件，可以构造辅助线：在AC上取BF=BA，连接AE，根据线段的垂直平分线的性质以及三角形的内角和定理的推论能够证明AB=F．再根据勾股定理表示出BC2，AB2．再运用代数中的公式进行计算就可证明． 【解答】解：（1）在BC上截取BE=BA，如图1， 在△ABD和△BED中，

，

∴△ABD≌△BED， ∴∠BED=∠A， ∵∠C=38°，∠A=2∠C， ∴∠A=76°，

∴∠ABC=180°﹣∠C﹣∠A=66°， BD平分∠ABC， ∴∠ABD=33°；

（2）由（1）知：△ABD≌△BED， ∴BE=AB，DE=AD，∠BED=∠A， 又∵∠A=2∠C，

∴∠BED=∠C+∠EDC=2∠C， ∴∠EDC=∠C， ∴ED=EC， ∴EC=AD

∴BC=BE+EC=AB+AD；t

（3）如图2，过B作BG⊥AC于G， 以B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于F， 则BF=BA，

在Rt△ABG和Rt△GBG中，

，

∴Rt△ABG≌Rt△GBG， ∴AG=FG， ∴∠BFA=∠A， ∵∠A=2∠C，

∴∠BFA=∠FBC+∠C=2∠C， ∴∠FBC=∠C， ∴FB=FC， FC=AB，

在Rt△ABG和Rt△BCG中， BC2=BG2+CG2， AB2=BG2+AG2

∴BC2﹣AB2=CG2﹣AG2=（CG+AG）（CG﹣AG） =AC（CG﹣GF）=AC•FC =AC•AB．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．