习 题 课
一、填空题
1．设函数
f(x)=x
2
，0≤x≤π，若S(x)=
n=1
∑bnsinnx
∞
，其中
π2π5π
bn=∫f(x)sinnxdx (n=1, 2, \")，则S(−)+S()= 。
π033
2．设f(x)=⎨于 。
3．在(−π, π)内将函数f(x)=π2−x2展开为傅里叶级数，则aD= 。 4．将函数f(x)=1−x在[−1,1]上展开成以2为周期的余弦级数
⎧ −1, −π≤x≤0
，则其以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛2
⎩1+x, 0aD∞+∑ancosnπx, 则其中系数 a3 的值为 。 2n=1
⎧0, −2≤x≤0,
5．函数f(x)以2l 为周期，且在[−2,2]上有f(x)=⎨ 将f(x)展开
<<1, 02.x⎩
成傅里叶级数时，b1= 。
⎧1+x, −π≤x<0,
6．设以2π为周期的函数，在一个周期内的表达式为f(x)=⎨它
⎩2−x, 0≤x<π.
的傅里叶级数的和函数为S(x)，则S(x)在[−π,π]上的表达式为 。
二、选择题
π⎧
sinx, 0≤x<⎪2，f(x) 以 2π为周期的正弦 1．设f(x)=⎨
π
⎪1, ≤x<π⎩2级数的和函数为 S(x)，则S(3π) 等于（ ）
1
（A）1； （B）-1； （C）
1
； （D）0. 2
1⎧
⎪x, 0≤x≤2,aD∞
2．设f(x)=⎨ S(x)=+∑ancosnπx, −∞12n=1⎪2−2x, ⎩2其中an=2
∫0
1
5
f(x)cosnπxdx(n=0,1,2,\")，则S(−)=（ ）。
2
三、解答题
π⎧
1, 0≤x<⎪2展开成正弦级数，并写出该级数的和函数S(x)的表达1．将f(x)=⎨π
⎪0, ≤x≤π⎩2
式。
π⎧
1, 0≤x<,⎪4把f(x)展开成以2π为周期的余弦函数，并写出2．设函数f(x)=⎨π
⎪0, ≤x≤π.⎩4
该级数和函数S(x)的表达式。
3． 将f(x)=π−x在[0, π]上展开成余弦级数。
4. 将f(x)=
∞
π−x
(0≤x≤π)展开成正弦级数，并求 2
n=1
∑(−1)n+1
1
的和。 2n−1
5．将f(x)=2+x(−1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶 级数，并求
2
n=1
∑n2的和。
∞
1
