高二数学解三角形全章教案 人教版 教案

正弦定理 【教学目的】

1.理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；

2.理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性。 【教学重点】 正弦定理的证明和理解 【教学难点】 正弦定理的证明 【教学过程】 一．新课引入：

初中学习了全等三角形只要根据已知条件就能判断三角形是否全等。能否根据给定条件算出三角形的未知边与未知角？这就是解三角形。解三角形有几个重要定理，今天学习其中之一----正弦定理 问题1.在直角三角形ABC中，对应边依次为a,b,c，求证：abcsinA=sinB=sinC

【猜想与推广】

正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即

asinA=bsinB=csinC =2R（R为△ABC外接圆半径） 证明： 2．斜三角形中

C证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中 aS1bO△ABC=absinC1B22acsinB12bcsinA 两边同除以1a2abc即得：=b=c AcsinAsinBsinC证明二：（外接圆法） D如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴

aabcsinAsinDCD2R同理 sinB=2R，sinC＝2R

证明三：（向量法）

过A作单位向量j垂直于AC 由 AC+CB=AB

两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB 则j•AC+j•CB=j•AB

∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|AB|cos(90A) ∴asinCcsinA ∴

acsinA=sinC 同理，若过C作j垂直于CB得： csinC=bsinB ∴abcsinA=sinB=sinC 二．正弦定理的应用 定理剖析，加深理解

⑴正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即：

asinAbcsinBsinC ⑵从表达式的结构看，正弦定理所表达的边与对角的正弦的比是严格的对边与对角的正弦比。这种对应关系是严谨的，也是和谐的，它体现了数学的一种和谐美。

⑶从方程的观点看，表达式中每一个等号所形成的等式中，含有四个量，显然可“知三求一”。于是，正弦定理可解决两类有关解三角形的问题： ①已知两边与任一边，求其他两边和一角；

②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求出其他的边和角。

例1 已知在ABC中，c10,A450,C300,求a,b和B 解：c10,A450,C300 ∴B1800(AC)1050

由asinAcsinC得 acsinA10sinCsin450sin300102 由bcsinBsinC得bcsinBsinC10sin1050sin30020sin750206245652 例2 在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

解：∵

bsinBcsinC,sinCcsinB1sin6001b32 bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900∴ab2c22

【比较例1，例2】体会： 例3 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C 解：ac6sin450sinAsinC,sinCcsinAa232

csinAac,C600或1200

当C600时，B750,bcsinB6sin750sinCsin60031，

当C1200时，B150,bcsinBsinC6sin150sin60031 b31,B750,C600或b31,B150,C1200

【变式】ABC中，a2,A1350,b3,求B

【探索】

(*)例4 已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC

四、课堂练习：

1在△ABC中，asinAbsinBcsinCk,则k为( )

A2R BR C14R D2R(R为△ABC外接圆半径)

2△222

ABC中，sinA=sinB+sinC，则△ABC为( )

A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形

(*)3在△ABCcos2A中，求证：

a2cos2Bb21a21b2 五、小结 正弦定理，两种应用 六、课后作业： 1在ABC中，已知b3，A45，B60，求a 2在ABC中，已知c3，A45，B60，求b

3sinAsin(AB)在△ABC中，已知

sinCsin(BC)，求证：2b2＝a2＋c2

4．在△ABC中，已知bcosAacosB试判断△ABC的形状。

(**)5.在ABC中,内角A、B、C的对应三边分别为a,b,c,已知f(B)4sinBsin2(4

B2)cos2B,若满足f(B)m2对任意三角形都成立,求实数m的取值范围 利用正弦定理解三角形时，解的问题的探讨： 已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:

absinA 无解⑴若A为锐角时:absinA 一解(直角)bsinAab 二解(一锐, 一钝)

ab 一解(锐角)已知边a,b和ACCCCbabbbaaAaaAAAHBB1HB2Ha⑵若A为直角或钝角时:ab 无解ab 一解(锐角)

【变式练习】

1根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数： ⑴a5，b4，A120，求B⑵a5，b4，A90，求B ⑶a5，b1033，A60，求B⑷a20，b28，A40，求B ⑸a60，b50，A38，求B⑹a4，b1033，A60，求B (⑴A120,B只能为锐角,因此仅有一解.图示

⑵A90,B只能为锐角,因此仅有一解.图示 ⑶∵sinB1,即B90,∴仅有一解. 图示

⑷即例2，先让学生判断，然后回忆对照。再次理解本题有两解。 ⑸即例3，先让学生判断，然后回忆对照。再次理解本题仅有一解。 ⑹由⑶改编，∵a4bsin60，由图知，本题无解)

2．已知A,B,C是ABC的三个内角，求证：abcosCccosB 3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，求

abcsinAsinBsinC的值

tanAB（*）4. 在ABC中，求证abab2 tanAB2作业：

1. 在ABC中,已知c102,A45,在a分别为20, ,2033,和5的情况下,求相应的角C. 2．在ABC中，b=2a, B=A60,求A

3.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若bc2acos60C，求角A．(*)4..课本11页B组 1 1．1．2 余弦定理 【教学目的】

1.理解并掌握余弦定理及其证明； 2.能初步运用余弦定理解斜三角形；

3.理解用向量方法推导证明余弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性。 【教学重点】 余弦定理的证明和理解 【教学难点】 余弦定理的推导与证明 【教学过程】 一．复习与新课引入：

1．正弦定理及其推导、证明: 2．应用正弦定理可以解决：

① ②

3．两个三角形全等的判定定理有：

[问题]对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？ [推导] 如图在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b ∵ACABBC

C∴AC•AC(ABBC)•(ABBC)

baAB22AB•BCBC2

AcBAB22|AB|•|BC|cos(180B)BC2

c22accosBa2

即b2c2a22accosB

同理可证 a2b2c22bccosA，c2a2b22abcosC 二．新课：

1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

即 a2b2c22bccosA b2c2a22accosBc2a2b22abcosC 2．余弦定理可以解决的问题

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 （2）已知三边，求三个角；

【余弦定理变式】

b2c2a2c2a2b2a2b2c2cosA2bccosB2cacosC2ab

三、讲解范例：

例1在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C cosAb2c2a2解：∵2bc ＝0725， ∴ A≈44°

a2b2c2∵ cosC2ab＝08071， ∴ C≈36°,∴ B＝180°－(A＋C)≈100° 【变式1】：已知不变，结论换成判定ABC的形状。 【变式2】：已知不变，结论换成求ABC的面积。 例2在ΔABC中，①已知a20，b29，c21，求B； ②已知b28，c833，B60求a； ③已知b8，c3，sinA24716,求a,并判断三角形的形状。

例 3 ΔABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A 解法一：∵ |AB| ＝[6(2)]2(58)273

B8227|BC| ＝(24)(81)85 65A4|AC| ＝(64)2(51)225

321222CcosAABACBC2-4-224682ABAC=

365

∴ A≈84° 解法二：∵ AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4) ∴ cosA＝AB•AC(8)(2)ABAC=3(4)73252365,∴ A≈84° 四、课堂练习：

1在△ABC中，若a2

＞b2

+c2

，则△ABC为；若a2

=b2

+c2

，则△ABC为 ；若2

2

2

2

2

2

a＜b+c且b＜a+c且

c2＜a2+b2，则△ABC为

2在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为

3在△ABC中，BCsinCsinB51)，A= =3，AB=2，且

2(6

参考答案： 1钝角三角形，直角三角形，锐角三角形2等腰三角形 3 120°

五、小结 余弦定理及其应用 六、课后作业：

课本10－11页： 2，3

【补充】1在△ABC中，证明：（a2－b2－c2）tanA＋（a222

－b＋c）tanB＝0

2在△ABC中，已知sinB·2

AsinC＝cos

2，试判断此三角形的类型

课题 正弦定理、余弦定理4 【教学目的】

1.正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形； 2.会利用计算器解决斜三角形计算问题；

3.通过解斜三角形培养学生用方程的思想理解有关问题,并培养学生解题的优化意识. 【教学重点】正确运用正弦定理、余弦定理解斜三角形

【教学难点】正弦定理、余弦定理运用求解中的技巧的应用和准确的计算

【教学过程】

一．复习：

说出正弦定理、余弦定理的内容和它们各自的作用；

二知识应用

例1．在△ABC中，已知sin2

B－sin2

C－sin2

A＝3sinAsinC，求B的度数 例2．在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，试判定△ABC的形状 例3．在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形

例4．在ABC中，（1）若a2b2c2bc，求A

. （2）若

(abc)(bca) 3bc,求A

例5．声速为a米/秒,在相距10a的A,B两处,听到一爆炸声的时间差为6秒,且记录显示B处的声强是A处的

4倍.若声速a340,声强与距离的平方成反比,试确定爆炸点P到AB的中点M的距离.

三．小结

（1）内角和定理及变换有:ABC.A(BC)ABC

222（2）边角转换的常用定理有:正弦定理、余弦定理、射影定理（abcosCccosB）. 四．作业

1．课本24页 14， 2．课本24页 15

3．ABC中,已知sin2Asin2Bsin2C2,判断ABC的形状.

4．在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA13.求sin2BC2cos2A的值； 1．2 应用举例（一） 教学目的：

1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；

2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；

3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；

4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力

教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法 教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法：启发式

在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理 教学过程： 一、复习引入： 1．正弦定理：

asinAbsinBcsinC2R 22b2c22bccosA,cosAbc2a22．余弦定理：a2bc

2c2a22cacosB,cosBc2a2b2b2ca

c2a2b22abcosC，cosCa2b2c22ab

3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用 二、讲解范例： 例1课本12页例1 例2课本12页例2

例3 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，

油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40ｍ，计算

BC的长(保留三个有效数字)

(油泵顶杆BC约长1．89 ｍ)

例4某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10海里的C处，并测

得渔船正沿

方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间

一、复习引入：

上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决 二、讲解范例：

2例1课本15页例3 (舰艇方位角为66°47′，

3小时即40分钟)

例5．课本17页例6

三、小结 通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问

题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力 四、作业

1. 课本14页练习 1

2. 课本22页 1、2

(*)3课本22页3 1．2 应用举例（二）

教学目的：

1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；

2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；

3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法

教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学方法：自学辅导法

在上一节学习的基础上，引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型，自己尝试求解应用题在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力得到锻炼 教学过程：

例2．课本15页例4 例3课本16页例5

例3 据气象台预报，距S岛300 ｋｍ的A处有一台风中心形成，并以每小时30 ｋｍ的速度向北偏西30°的

方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响

问：S岛是否受其影响?

若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由 例4：海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，

望见岛B在北6O°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?

三．课堂练习

1直线AB外有一点C，∠ABC＝6O°，AB＝2OO ｋｍ，汽车以8O ｋｍ／ｈ速度由A向B行驶，同时摩托车以

5O公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小

（答案：约13小时）

2．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，

半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度 四小结

五．作业

1． 课本17页 3

2． 课本22页4

3． 课本23页 5、7，

应用举例（三）

教学目的：

1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；

所以从现在起，经过5－6小时S岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束－

持续时间：(5＋

6)－（5

2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；

6）＝26小时

3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法

答：S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－

6）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为26小时 教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 授课类型：新授课

一． 正、余弦定理的应用回顾：

（1）解三角形 （2）证明三角恒等式 （3）解决实际问题 二应用举例 1． 2．

课本23页10 课本23页11

3．据气象台预报，距S岛300 ｋｍ的正东方向的A处有一台风中心形成，并以每小时30ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响（1）S岛是否受其影响?

（2）若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由 问：

分析：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化S岛是否受台风影响可转化为SB≤27O这一

不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过△ABS中，由余弦定理可求SBｔ小时到达B点，则在

解：设台风中心经过ｔ小时到达B点，

由题意，∠SAB＝9O°－3O°＝6O°

在△SAB中，SA＝3OO，AB＝3Oｔ，∠SAB＝6O°， 由余弦定理得：

SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cosSAB＝3OO2＋（3Oｔ）2－2·3OO·3Otcos6O°

若S岛受到台风影响，则应满足条件｜SB｜≤27O 即SB≤27O化简整理得 ｔ－1Oｔ＋19≤O解之得 5－

2

2

2

6≤ｔ≤5＋6