数列题型分类归纳(第一版)

等差数列

题型、等差数列的性质

1、（整体求解思想）一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，求a7

2、在等差数列an中，若a4a612，Sn是数列an前n项的和，则S9等于（ ） A.48 B.54 C.60 D.66

3、已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且为整数的正整数n的个数是（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5

An7n45a，则使得nBnn3bn高考题

1、（2012求公差、等差中项）.福建2等差数列{an}中，a1a510,a47，则数列{an}的公差为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 2、（2012江西 12）（等差中项、整体代换）.设数列{an},{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________ 3、(2009安徽卷文）已知于

A. -1 B. 1 C. 3 D.7

4、（2009湖南卷文）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于( )

A．13 B．35 C．49 D． 63

为等差数列，

，则

等

a1=4，5、（求公差、待定系数法）（2009福建卷理）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，

则公差d等于 A．1 B

5 C.- 2 D 3 36、（求公差）（2009辽宁卷文）已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝

A.－2 B.－

11 C. D.2 2227、（2009宁夏海南卷文）等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am0，

S2m138,则m

A.38 B.20 C.10 D.9

8、（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9= 9、（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列an的前n项和为Sn，若a55a3则

10、（2009辽宁卷理）等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35,则a4

S9 S5题型、等差数列的通项公式

21、（2012）.广东11. 已知递增的等差数列{an}满足a11,a3a24，则an_____

题型、等差数列的求和

1、（2012数列、三角函数的周期性）.福建14.数列{an}的通项公式anncosn1，前2n项和为Sn，则S2012 ___________。【3018】

2、（2012全国卷大纲版5．）（裂项求和）已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515，则数列A．

1的前100项和为

anan11009910199 B． C． D． 1011001001013、（等比中项、等差数列的求和）（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S832,则S10等于

A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

4、（等比中项、等差数列求和）（2009四川卷文）等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是

A. 90 B. 100 C. 145 D. 190

a125、（求公差、求和公式的直接运用）（2009重庆卷文）设an是公差不为0的等差数列，

且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=（ ）

n25nn23nn27n C． A． B．

332444D．nn

2题型、等差数列的通项公式和求和

1、（2012求和、通项公式）.北京10．已知{an}等差数列Sn为其前n项和。若a1则a2=_______。

2、（本题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式，是简单题）（2012江西16.）（本小

题满分12分）

已知数列{an}的前n项和Sn（1）确定常数k，求an； （2）求数列{

1S2a3，，212nkn(kN),且Sn的最大值为8. 292an}的前n项和Tn。 2n等差数列的综合题

1、（2012等差数列、通项公式、不等式）.广东19.(本小题满分14分)

n1*设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Snan121(nN)，且a1,a25,a3成等

差数列。

（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式。 （3）证明：对一切正整数n，有

1113L a1a2an22、（等差数列、等比数列、证明等差数列、命题）已知等比数列{an}的前n项和为Sn.

(Ⅰ)若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，证明am，am＋2，am＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 3、（求通项、最值）已知数列{an}满足a1=1，a2=－13，an22an1an2n6 （Ⅰ）设bnan1an,求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求n为何值时，an最小（不需要求an的最小值）

等比数列

题型、等比数列的性质

1、（忽视公比的符号）已知一个等比数列an前四项之积为求这个等比数列的公比．

1，第二、三项的和为2，162、（求公比）等比数列{an}中，若a39，a71，则a5的值

（A）是3或－3 （B） 是3 （C） 是－3 （D）不存在

3、（求公比1996年全国高考文史类数学试题第（21）题）设等比数列

an的全n项和为Sn.若

S3S62S9，求数列的公比q.

高考题

1（. 2012安徽 4.）公比为2等比数列{an}的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10（ ）

(A)4 (B)5 (C) (D)

2、（本题考察等比数列性质及函数计算）.（2012）.湖北7．定义在(,0)U(0,)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}， {f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)U(0,)上的如下函数：

①f(x)x2； ②f(x)2x； ③f(x)|x|； ④f(x)ln|x|. 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为

A．① ②

B．③ ④

C．① ③ D．② ④

3.（等比数列、概率）（2012江苏6．）（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．

4、(2009年广东卷文)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1= A.

221 B. C. 2 D.2

22S1，前n项和为Sn，则4 a425、（2009浙江理）设等比数列{an}的公比q6、（2009北京文）若数列{an}满足：a11,an12an(nN)，则a5 ；前

的和S8 .（用数字作答）

7、（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{an}的前n项和为sn。若a11,s64s3，则a4= ×

题型、等比数列的通项公式

1、（本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题）（2012辽宁14）.已知等比数列an为递增数列，且a52=a10,2an+an+2=5an+1，则数列an的通项公式

an=____________

题型、等比数列的求和

1、（忽视等比数列的前n项和公式的使用条件）求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋…＋(an－n) .

等比数列的综合题 等差、等比数列的综合题

1、（2012）.湖北18．（本小题满分12分）

已知等差数列{an}前三项的和为3，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和.

2（等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证）（2012湖南19）（本小题满分12分）

已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，……

（1） 若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，

求数列{ an }的通项公式. （2） 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.

3、（证明等差数列、待定系数法、不等式、反证法）（2012.江苏20）．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an1anbnanbn22，nN*，

（1）设bn1bnb1，nN*，求证：数列naann2是等差数列； （2）设bn12•bn，nN*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值． an通项公式

最基本的方法：

1、公式法

例题： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比

2

数列，若函数f (x) = (x－1)，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

练1. 等差数列an是递减数列，且a2a3a4=48，a2a3a4=12，则数列的通项公式是（ ）

(A) an2n12 (B) an2n4 (C) an2n12 (D) an2n10

练2. 已知等比数列an的首项a11，公比0q1，设数列bn的通项为

bnan1an2，求数列

bn的通项公式。

点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

2、Sn法利用anSnSn1 (n≥2)

对于一般数列{an}，若已知条件为Snf(an)，求通项an的方法，除了用“尝试——猜想——探求——发现”（最后用数学归纳法严格证明）思维模式外，还有其他的处理方法，由

Snf(an)首先推出S1a1f(a1)，解除S1a1的大小，接着常有两个思考方向：

（1） 当n2时，Snf(SnSn1)，问题转化为Sn与Sn1（n2）的关系问题（前面

已求出S1），求出Sn后，可用a1S1，anSnSn1（n2）求出数列{an}的通项；

（2） 利用递推关系作差技巧，由Snf(an)得Sn1f(an1)（n2），而anSnSn1（n2），两式相减即得anf(an)f(an1)，于是我们就把问题转化为an与an1之间的问题了（一般情况下，转化到这一步问题就比较容易解决了）。

例题：已知下列两数列{an}的前n项和sn的公式，求{an}的通项公式。（1）Snn3n1。

2（2）snn1

注意：要先分n=1和n2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

1、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an：（1）Sn＝5n2＋3n；（2）Sn＝3－2； 2、（等差中项、等比中项）设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。 （1）写出数列{an}的前3项； （2）求数列{an}的通项公式

3、（等差数列、Sn法、不等式）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S11，

且6Sn(an1)(an2)，nN，

n（1）求{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足an(2n1)1，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：

b3Tn1log2(an3)，nN.

高考题

2*1、（2009浙江文）设Sn为数列{an}的前n项和，Snknn，nN，其中k是常数．

（I） 求a1及an；

（II）若对于任意的mN，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．

*利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

类型一.an1anf(n)型（累加法）

规律：已知a1a,an1anf(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an.

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例题1. （2003天津文） 已知数列｛an｝满足a11,an3n13n1an1(n2),证明an

2*练习1、已知数列an的首项为1，且an1an2n(nN)写出数列an的通项公式.

练习2已知数列{an}满足a13，anan11(n2)，求此数列的通项公式.

n(n1)练习3、已知数列{an}中, an0且Sn1n(an),求数列{an}的通项公式. 2an（注：此题也可以用数学归纳法来求解.）

练习4：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 练习5 若在数列an中，a13，an1ann，求通项an。

1、（迁移能力、累加法、等比数列、求通项）在数列an中a12,an1ancn（c是常数，n1,2,3L），且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列，（1）求c的值，（2）求an的通项an.

类型二.

an1f(n)型 （累乘法） an22例题1.设an是首项为1的正项数列，且n1an1nanan1an0（n=1，2， 3，…），

则它的通项公式是an=________.

(注：本题是关于an和an1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an1的更为明显的关系式，从而求出an.)

练习1.已知an1nann1,a11,求数列{an}的通项公式.

（注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an1nann1,转化为

an11n(an1),若令bnan1,则问题进一步转化为bn1nbn形式，进而应用累乘

法求出数列的通项公式.）

练习2、在数列｛an｝中，a1 =1, (n+1)·an1=n·an，求an的表达式。

练习3、 已知数列an中，a1求通项公式an。

（点评：一般地，对于型如an1=f(n)·an类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。）

1，前n项和Sn与an的关系是 Snn(2n1)an ，试3类型三.an1anf(n)型

（1）若an1and（d为常数），则数列{an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an1anf(n)型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得an1an1f(n)f(n1)，，分奇偶项来分求通项.

例题1. 数列{an}满足a10,an1an2n,求数列{an}的通项公式. 分析：构造 转化为an1anf(n)型，结果要还原成n的表达式.

练习1.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn－Sn－2=3()n1(n3),且S11,S2

123,求数列{an}的通项公式. 2f(n)型

类型四.an1an（1）若an1anp(p为常数)，则数列{an}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得anan1f(n1)，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

例题1. 已知数列{an}满足a13,anan1(),(nN),求此数列的通项公式.

12n*类型五．an1cand,(c0,其中a1a)型

（1）若c=1时，数列{an}为等差数列; （2）若d=0时，数列{an}为等比数列;

（3）若c1且d0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设an1c(an),

例1．已知数列{an}中，a12,an1分析：两边直接加上

11an,求通项an. 22d,构造新的等比数列。可用迭代法或归纳法。用三种方法来解题，c1体会并比较它们的不同.

1、知数列{an}满足a15，an12an6，求数列{an}的通项an.

类型六.an1panf(n)型

(1)若f(n)knb(其中k,b是常数，且k0)

方法：相减法

例题1、在数列{an}中，a11,an13an2n,求通项an. 练习1. 在数列{an}中，a1

3,2anan16n3,求通项an. 2(2)若f(n)qn(其中q是常数，且n0,1)

n①若p=1时，即：an1anq，累加即可. n②若p1时，即：an1panq，

求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以pii.两边同除以qn1.

.转化为类型5来解，

n1iii.待定系数法：

例1.（2003天津理）设a0为常数，且an3n12an1(nN)． 证明对任意n≥1，an[3n(1)n12n](1)n2na0；

(评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求

一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.也可用待定系数法或数学归纳法)

n15

规律：an1panf(n) 类型共同的规律为：两边同除以p方法不同.

n1，累加求和，只是求和的

类型七.an1（1）p,r,s0,q0即anpanq型 ranspan1 (倒数法)

ran1san1(n2)，求通项公式an。

2an11例题1. 已知数列an中，a12，an

练习1.（湖北卷）已知不等式

1111[log2n][log2n],其中n为大于2的整数，

23n2表示不超过log2n的最大整数. 设数列{an}的各项为正，且满足

a1b(b0),annan1,n2,3,4,

nan1（Ⅰ）证明an2b,n3,4,5,

2b[log2n]分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题.

评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得.

(2）.an1manp(m,p,q为定值)型 （不动点法）

anqmanpmxp,由方程f(x)x求得二根x,y,由an1有

anqxq我们设f(x)an1xmanpmxpmqpanx

anqxqxqanqmanpmypmqpany,两式相除有

anqyqyqanq同理an1yan1xan1xyqanxyqn1a1x(),从而得,再解出an即可. ayxqayan1yxqanyn11

例1. 设数列｛an｝满足a12,an15an4,求｛an｝的通项公式.

2an7分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.

类型八.an1panqan1(其中p,q为常数)型

（1）当p+q=1时 用转化法

例题.数列{an}中，若a18,a22,且满足an24an13an0,求an.

1、（求通项、最值）已知数列{an}满足a1=1，a2=－13，an22an1an2n6 （Ⅰ）设bnan1an,求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求n为何值时，an最小（不需要求an的最小值）

（2）当p4q0时 用待定系数法.

例2. 已知数列{an}满足an25an16an0，且a11,a25,且满足,求an. (评注：形如an2aan1ban的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程(xa)xb的二根为,,设

2anpnqn,再利用a1,a2的值求得p,q的值即可.)

类型九 an1panr(其中p,r为常数)型

（1）p>0，an0 (对数法)

2例1. 设正项数列an满足a11，an2an1（n≥2）.求数列an的通项公式.

222n练习1 数列an中，a11，an2an1（n≥2），求数列an的通项公式. 答案：an2

（2）p<0时 （迭代法） 练习2、（2005江西卷）

已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a01,an11an(4an),nN， 2（1）证明anan12,nN; （2）求数列{an}的通项公式an.

（方法1、归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.方法2、设cnbn，则cn化为上面类型（1）来解.）

12cn1,转2 求前n项和

一、利用常用的求和公式求和 n(a1an)n(n1)1、等差数列求和公式：Snna1d

22(q1)na1n 2、等比数列求和公式：Sna1(1q)a1anq

(q1)1q1q3、 Sn1kn(n1) 2k112kn(n1)(2n1) 6k1nn4、 Sn5、 Snkk1n31[n(n1)]2 2123n，求xxxx的前n项和. log23Sn的最大值.

(n32)Sn1 [例1] 已知log3x练习1、设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)练习2、Sn111111111

n个练习3、Sn(x)2(x21x1212n)(x) 2nxx练习4、求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和Sn

2222ｎ

练习5、等比数列{an}的前n项和Sｎ＝2－１，则a1a2a3an＝_____ ；

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

23n1例题1、求和：Sn13x5x7x(2n1)x

练习1、求数列

2462n,2,3,,n,前n项的和 2222练习2、（2008年全国Ⅰ第19题第（2）小题，满分6分）

n1已知 ann•2，求数列｛an｝的前n项和Sn.

练习3、已知数列1,3a,5a,,(2n1)a2n1(a0)，求前n项和。

练习4、设{an}为等比数列，Tnna1(n1)a2L2an1an，已知T11，T24，①求数列{an}的首项和公比；②求数列{Tn}的通项公式.；

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).

例题1、求sin1sin2sin3sin88sin的值

012nn练习1、求证：Cn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2

222222x练习2、已知函数fxx

22（1）证明：fxf1x1； （2）求f

11028fLf10109f的值. 10四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例题1、 求数列的前n项和：11,1114,27,,n13n2，… aaa23n练习1、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. 练习2、求和：Sn2351435635L2n35

五、裂项法求和

n练习3、求和：Sn1357L(1)(2n1)

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

通项分解（裂项）如：

sin1（1）anf(n1)f(n) （2） tan(n1)tanncosncos(n1)(2n)21111111() （3）an （4）an(2n1)(2n1)22n12n1n(n1)nn1（5）an1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)an(6)

n212(n1)n1111nn,则S1 nn(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2n11(11)； n(nk)knnk1111111111112；(7)22 ()，(k1)kk1kkk12k1k1kk1(k1)kk(8)

n11

(n1)!n!(n1)!(9)2(n1n)212(nn1).

nn1nnn1123,,1nn1,的前n项和.

2

例题1、 求数列

112,练习1、在数列{an}中，ann项的和.

212n，又bn，求数列{bn}的前anan1n1n1n1练习2、 计算：

2242(2n)2练习3、求和Sn

1335(2n1)(2n1)练习4、求和：

111L ； 1447(3n2)(3n1)练习5、在数列{an}中，an1nn1，且Sｎ＝９，则n＝_____ ；

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的

和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例题1、 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 练习1、 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.

练习2、 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值。

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

例题1、 求1111111111之和.解：由于1111n个1k个1119999(10k1) 99k个18,求(n1)(anan1)的值. 练习1、 已知数列{an}：an(n1)(n3)n1

数列与不等式

1、（2012等差数列、通项公式、不等式）.广东19.(本小题满分14分)

n1*设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Snan121(nN)，且a1,a25,a3成等

差数列。

（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式。 （3）证明：对一切正整数n，有

1113L a1a2an22、（本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.）（2009北京文）设数

列{an}的通项公式为anpnq(nN,P0). 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值. （Ⅰ）若p11,q，求b3； 23（Ⅱ）若p2,q1，求数列{bm}的前2m项和公式；

（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm3m2(mN)？如果存在，求p和q的取值范围；如

果不存在，请说明理由.

数列与函数

题型、数列与单调性

1、（2012安徽21）（本小题满分13分）

2* 数列{xn}满足：x10,xn1xnxnc(nN)

（I）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c0 （II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列。

2、（数列、导数、函数）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0． （Ⅰ)求函数f(x)的表达式；

（Ⅱ)设数列{an}满足条件：a1∈(1,2)，an+1=f (an)求证：(a1－ a2)·(a3－1)+(a2－ a3)·(a4－1)+…+(an－ an+1)·(an+2－1)＜1

归纳与证明

题型、数列与反证法

1、（反证法、数列）（2012.北京20）．（本小题共13分）

设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零. 记Sm,n为所有这样的数表组成的集合. 对于ASm,n，记ri(A)为A的第i行各数之和（1剟im），cj(A)为A的第j列各数之和（1剟j；记k(A)为n）

r1(A)，r2(A)，…，rm(A)，c1(A)，c2(A)，…，cn(A)中的最小值.

（1）对如下数表A，求k(A)的值； 1 0.1 1 0.3 0.8 1 （2）设数表AS2,3形如 1 a 求k(A)的最大值；

（3）给定正整数t，对于所有的AS2,2t1，求k(A)的最大值.

1 b c 1

专题：数列在解题中的应用

某些数学问题初看好像与数列性质毫不相干，但如果我们能仔细观察已知条件与结论的结构特征，或挖掘题目的隐含因素，经过恰当的变形处理，可发现它们与数列仍有密切关系。通过构造等差（比）数列，然后利用等差（比）数列的有关性质可巧妙简捷地求解，下面通过具体的例子来说明。

一、巧设公差（比）求解方程（组）

例1. 解方程：

分析：本题若两边平方直接解方程很繁，如能分析方程结构特征，变形巧设等差数列，则很简洁。

成等差数列

例2. 解方程组：

（

成等比数列）

二、巧用等差（比）知识解（证）不等式

例3. （第19届莫斯科奥林匹克数学竞赛题）设

，且

，求证：

分析：如能联想到无穷递增等比数列的求和公式：

则解法就简洁多了。

例4. （第25届IMO）设x，y，z为非负实数，且

，求证：

三、巧用等差（比）数列知识求最值

例5. 已知，求使

成立的z的最大、小值。

四、巧用等差（比）数列知识解有关应用问题

例6. 从n个数中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明：这两部分之和不可能相等。

例7. 桌面上有个杯子，杯子口全部向上，按如下规则对杯子进行操作：第一次任意翻动其中1个杯子，第2次任意翻动其中2个杯子，……，第n次任意翻动其中的n（n＜p）个杯子，每次操作都是把杯口的方向由原来的向上（或向下）改为向下（或向上），求证：翻动100次以后杯口向下的杯子必有偶数个。