正弦定理的几种证明方法

1.利用三角形的高证明正弦定理

（1）当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角b

a B

C

三角函数的定义，有CDasinB,CDbsinA。

A

由此，得 a故有 asinAbsinB，

同理可得 csinCbsinB，

D

bsinBsinAcsinC.从而这个结论在锐角三角形中成立.

（2）当ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有

aCDasinCBDasinABC，CDbsinA 。由此，得

sinAbC 同理可得 c故有 asinAsinCbsinABCsinABCb a

，

A B D

bsinABCcsinC.

sinA由(1)(2)可知，在ABC中，absinBcsinC 成立.

从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即asinAbsinBcsinC.

1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题：

已知点A，点B之间的距｜AB|，可丈量角A与角B， 需要定位点C，即：

在如图△ABC中，已知角A，角B，｜AB｜＝c，

求边AC的长b

解：过C作CD^AB交AB于D，则 推论：

bc sinBsinCabc sinAsinBsinC

同理可证：

2.利用三角形面积证明正弦定理

已知△ABC,设BC＝a, CA＝b,AB＝c,作AD⊥BC,垂足为D.则Rt

AD ,∴AD=AB·sinB=csinB.

AB1111∴S△ABC=a•ADacsinB.同理,可证 S△ABC=absinCbcsinA.2222C

111absinCbcsinAacsinB∴ S.△ABC=

222A

△ADB中,sinB

∴

D

B

absinc=bcsinA=acsinB,

sinCsinAsinBcab在等式两端同除以ABC,可得

abc. sinAsinBsinC.即

3.向量法证明正弦定理

(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于AC,则j与

AB的夹角为90°-A,j与CB的夹角为90°-C.由向量的加法

原则可得

ACCBAB,

为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到j•(ACCB)j•AB 由

分

配

律

可

得

ACj•CBj•AB.

B

∴|j|ACCos90°+|j|CBCos(90°-C)=|j|ABCos(90°-A). C

j ∴asinC=csinA.

∴

acsinAsinC. A 另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB的夹角为90°+B,可得

cb.sinCsinB

(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与AC的夹角为90°-C,j与AB的夹角为90°-B)

abc.sinAsinBsinC∴

(2)△ABC为钝角三角形,无妨设A＞90°,过点A作与AC垂直的C 单位向量j,则j与AB的夹角为A-90°,j与CB的夹角为90°-

C.

A

由ACCBAB,得j 即

j·AC+j·CB=j·AB, a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),

∴asinC=csinA.A ∴

B

ac sinAsinC另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90°+C,j与AB夹角为

abc simAsinBsinC90°+B.同理,可得

bcsinBsinC.

∴

4.外接圆证明正弦定理

在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接

圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径

所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′=sinCsinBc2R. sinCab2R,2R.同理,可得sinAsinBc2R.

∴

∴

abc2R.sinAsinBsinC

这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式

abc.sinAsinBsinC