平面解析几何知识点总结归纳

直线与方程 1.直线的倾斜角

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角的取值范围为[0,) 2.斜率：ktan(a2)，kR

斜率公式：经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为kP1P2倾斜角 斜率 方向向量

y2y1

x2x1  d(cos,sin)   ktan2或d(1,k) arctank,k0v k  d(u,v)(u0)

uarctank,k0

3.直线方程的几种形式 名称 方程 方向向量 点方向式 点法向式 斜截式 点斜式 截距式 一般式 法向量 斜率 适用条件 xx0yy0 uvu,v v,u vub,a 与坐标轴不垂直的直线 a(xx0)b(yy0)0 ykxb b,a 所有直线 yy0k(xx0) xy1 abAxByC0(A2B20) 1,k k,1 k 1,k k,1 k 与x轴不垂直的直线 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 所有直线 例1．已知直线斜率k2，则倾斜角 ，一个方向向量是 ，一个法向量是 。

2．过A(1,4)、B(3,1)的直线的一个方向向量是 ，斜率是 ，倾斜角是 。 3．直线axbyab(a0,b0)的倾斜角是 ，且不经过第 象限。 两直线位置关系 两条直线的位置关系

位置关系 l1:yk1xb1 l2:yk2xb2l1:A1xB1yC10 l2:A2xB2yC20

平行 重合 相交 垂直     k1k2，且b1b2 k1k2，且b1b2 k1k2 A1B2-A2B1=0（验证） D=Dx=Dy=0 A1B2-A2B1≠0 k1k21 A1A2B1B20 设两直线的方程分别为：

l1:yk1xb1或l1:A1xB1yC10；当kk或ABAB时它们

121221l2:yk2xb2l2:A2xB2yC20yk1xb1或A1xB1yC10

yk2xb2A2xB2yC20相交，交点坐标为方程组直线间的夹角：

d1d2n1n2a1a2b1b2①若为l1到l2的夹角，

cos2222d1d2n1n2a1b1a2b2k2k1tan②若为l1和l2的夹角，则（斜率都存在且k1k21）；

1k2k1o ③当1k1k20或a1a2b1b20时，90；

例1.过点P(2,2)且与3x4y10平行的直线方程是 。 2．过点P(2,3)且与4x3y20垂直的直线的方程是 ，

3．过定点(2,1)且倾斜角与直线x2y10的倾斜角互余的直线方程是 4.“a3”是“l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0重合”的 条件。

5.已知直线l1：6x(t1)y80与直线l2：(t4)x(t6)y160有交点，则t的取值范围是 ，特别地，当t 时，l1与l2垂直。

x2y1与直线3x4y10的夹角是 。 23距离问题

6．直线

1.平面上两点间的距离公式P1(x1,y1),P2(x2,y2) 则 P1P2(x2x1)(y2y1) 2.点到直线距离公式

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：d3.两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，

Ax0By0CAB22

l2：AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C2AB22

4.同侧异侧问题：直线l:axbyc0，点Ax1,y1、Bx2,y2则 若ax1by1cax2by2c0，则A、B在直线同侧； 若ax1by1cax2by2c0，则A、B在直线异侧。

例1．点P为直线3x4y20上任意一个动点，则P到点(3,1)的距离的最小值为 。 2．两平行直线xy10与2x2y10的距离是 。

3.已知直线l:ykx1与两点A(1,5)、B(4,2)，若直线l与线段AB相交，则k的取值范围是______

对称问题

x1x2x21.中点坐标公式：已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，则A,B中点H(x,y)的坐标公式为

yy2y12点P(x0,y0)关于A(a,b)的对称点为Q(2ax0,2by0)，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。

2.轴对称：

（1）点P(a,b)关于直线l:AxByc0(B0)的对称点为P'(m,n)，则有①直线PP'与直线l垂直；②PP'中点在直线l上。

（2）直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问题。 3.中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a,b)关于C(c,d)的对称点(2ca,2db) ②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出

直线方程； Ⅱ、求出一个对称点，在利用l1//l2由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

例1.求与已知直线l1:2x3y60关于点P(1,1)对称的直线l2的方程。

2.求点A(3,5)关于直线l:3x4y40对称的坐标。

3.求直线a:2xy40关于l:3x4y10对称的直线b的方程。

4.点P(2,1)到直线mxy30(mR)的最大距离为

5.已知点A(3,1)，在直线yx和y0上各找一点M和N，使AMN的周长最短，并求出周长。

线性规划问题：

（1）设点P(x0,y0)和直线l:AxByC0，

注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线AxByC中，根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。

（2）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。 例1.已知非负变量x,y满足约束条件2xy1，则xy的最大值为________．

x2y7y02.若x,y满足x2y3，则xy的取值范围为________． 2xy8

曲线与方程

1.曲线方程的定义：一般地，如果曲线C与方程F(x,y)0之间有以下两个关系： ①曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)0的解； ②以方程F(x,y)0的解为坐标的点都是曲线C上的点.

此时，把方程F(x,y)0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程F(x,y)0的曲线. 2.求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、证明。

3.求曲线方程的一般方法：直接法、相关点代入法、待定系数法、定义法、消参法

4.曲线交点：曲线C1:f1x,y0和曲线C2:f2x,y0，求两条曲线的交点，就是求方程组

f１x,y0， 的实数解。 fx,y02

例1.已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。

2.已知定点A(4,0)和曲线x2y21上的动点B，求线段AB的中点P的轨迹方程.

3.已知方程ykx2和2x23y26。当k为何值时，两方程表示的曲线有两个交点？只有一个交点？没有交点？

4.求直线yx1被曲线y1x21截得的线段AB的长。

22

圆与方程

1.圆的标准方程：(xa)(yb)r圆心C(a,b)，半径r 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2.圆的一般方程：x2y2DxEyF0 .

DE当DE4F0时，方程表示一个圆，其中圆心C,，半径r22222222y2r2.

D2E24F.

2DE当D2E24F0时，方程表示一个点,.

22当D2E24F0时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0且AC0且D2E24AF0. 3.点与圆的位置关系：

1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外

d＞r；(3)点在圆内 d＜r．

2.给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

（x0a)2(y0b)2r2 ①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2 ②M在圆C上 ③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r2

4.直线与圆的位置关系： 直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，(dAaBbCAB22

（1）d（3）dr相交0 r相离0；(2)dr相切0；

5.两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d。

（1）dr1r2外离4条公切线；（2）dr1r2外切3条公切线； （3）r1r2dr1r2相交2条公切线；（4）dr1r2内切1条公切线； （5）0dr1r2内含无公切线；

外离 外切 相交 内切 内含

圆的切线方程：

1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数） 2.一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R. 特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.

2

a(xx0)byy00若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(x1,y1)则a(x1x0)by1y0，联立求出切线方程. Ra2b2LL3.圆的弦长问题：1.半弦、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：R2d2

22 椭圆

1、椭圆的标准方程：

2x2y2y2x2① 焦点在x轴上的方程：221（a>b>0）； ②焦点在y轴上的方程：221 （a>b>0）；

abab③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)；

xacos④、参数方程：(φ是参数)

ybsin2、椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的点的轨迹。 注意： 2a|F1F2|表示椭圆；2a|F1F2|表示线段F1F2；2a|F1F2|没有轨迹；

x2y23、点与椭圆的位置关系：点 Px0,y0与椭圆221（焦点F1,F2）

abxy（1）P在椭圆内02021PF1PF22a；

aa

22xy（2）P在椭圆上02021PF1PF22a；

aaxy（3）P在椭圆外02021PF1PF22a；

aa4、弦长公式：|AB|=(1k)[(x1x2)4x1x2]； 椭圆图象及几何性质：

中心在原点，焦点在x轴上 标准方程 参数方程 x2y21(ab0)22abxacos为参数) (ybsin222222中心在原点，焦点在y轴上 y2x2 1(ab0)22abxbcos为参数) (yasin P 图 形 A1 y B2 B2 O F2 B1 A2 x P y F2 A1 x A2 F1 O F1 B1 顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 A1(a,0),A2(a,0)B1(0,b),B2(0,b) A1(b,0),A2(b,0)B1(0,a),B2(0,a) x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a F1(c,0),F2(c,0) F1(0,c),F2(0,c) |F1F2|2c(c0) c2a2b2 cx0a c|PF2|ax0a|PF1|acy0a c|PF2|ay0a|PF1|a 焦点三角形

SPF1F2b2tan2ypc SPF1F2b2tan2xpc （其中∠F1PF2=） （其中∠F1PF2=） 双曲线

1.双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a（0＜2a＜|F1F2|）的点的轨迹。

注意：（1） |（2）2aPF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a（02a|F1F2|）表示双曲线的一支。

|F1F2|表示两条射线；（3）2a|F1F2|没有轨迹；（4）a0，轨迹是线段F1F2的垂直平分线

2、曲线的标准方程

x2y2y2x2①焦点在x轴上的方程：221（a>0，b>0）； ②焦点在y轴上的方程：221 （a>0，b>0）；

abab③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx2-ny2=1(m·n<0)； ④双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程.

3、双曲线的渐近线：

2222①求双曲线xy1的渐近线，可令其右边的1为0，即得xy0，因式分解得到。

2222abab22x2y2②与双曲线221共渐近线的双曲线系方程是xy

aba2b24、等轴双曲线： 为x2y2t2

5、共轭双曲线：渐近线相同、实轴长虚轴长互换。

x2y26、点与双曲线的位置关系：点 Px0,y0与椭圆221（焦点F1,F2）

abxy（1）P在双曲线两侧02021PF1PF22a；

aaxy（2）P在双曲线上02021PF1PF22a；

aaxy（3）P在双曲线之间02021PF1PF22a；

aa7、弦长公式：|AB|=(1k)[(x1x2)4x1x2]； 8、注意：椭圆中：c2=a2-b2,而在双曲线中:c2=a2+b2

22222222双曲线的图象及几何性质

标准方程 中心在原点，焦点在x轴上 x2y221(ab0) 2ab 中心在原点，焦点在y轴上 y2x221(ab0) 2aby P F2 B2 O B1 F1 x P 图 形 F1 A1 y x O A2 F2 顶 点 对称轴 焦 点 A1(a,0),A2(a,0) B1(0,a),B2(0,a) x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a F1(c,0),F2(c,0) F1(0,c),F2(0,c)

焦 距 渐近线 222|F1F2|2c(c0) cab ybx ayax b焦半径 ccx0|PF|ay01aa P在左支P在下支cc|PF2|ax0|PF2|ay0aa|PF1|acx0a P在右支c|PF2|ax0a|PF1|acy0a P在上支c|PF2|ay0a|PF1|a焦点三角形

SPF1F2b2cot2ypc SPF1F2b2cot2xpc （其中∠F1PF2=） （其中∠F1PF2=） 抛物线：

1、定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（定点F不在定直线l上）的距离相等的点的轨迹

注：定点F在定直线l上，轨迹是过F垂直于l的直线。 2、几个概念：

① p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数； 1

② 焦点的非零坐标是一次项系数的（化为标准方程后的）；

4

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 3、如：AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物

线的准线，MNl，N为垂足，BDl，AHl，D，H为垂足，求证： （1）HFDF； （2）ANBN； （3）FNAB；

N （4）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN； （5）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2p2，x1x2D l H Q O y A M x F B E 12p；ABx1x2p 4（6）112； （7）A,O,D三点在一条直线上

|FA||FB|p2（8）过M作MEAB，ME交x轴于E，求证：|EF|1|AB|，|ME||FA||FB|；

2抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0 焦点在x轴上， 开口向右 焦点在x轴上， 开口向左 焦点在y轴上， 开口向上 焦点在y轴上， 开口向下

标准方程 y22px y22px x22py x22py l 图 形 O y P x F P F y l x P y F O x l P y O F x O l 顶 点 对称轴 焦 点 准 线 焦半径 焦点弦 x1x2ppF(,0) 2xp 2 O(0,0) x轴 F(p ,0)2p2y轴 pF(0,) 2yp2pF(0,) 2yp2x |PF||y0|p 2 |PF||x0|p 2x1x2p2p（当时，最小） 22sin2p（当0时，最小） cos2

综合题型：

一、求曲线方程

1、待定系数法：判断出曲线形状，设出标准方程后求解系数。

2、定义法：列出等式后，根据圆锥曲线定义确定某种曲线再求解。 二、直线与圆锥曲线

1、直线与圆锥曲线的位置关系及其判定方法

（1）直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系可分为：相交、相切、相离． （2）这三种位置关系的条件是：

AxByC0设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C：f(x,y)=0 ; 由 消去y（或x）得：

F(x,y)0ax2+bx+c=0。（强调对a值即二次项系数的分类讨论）

当a0时，令Δ=b2-4ac, 则（1）Δ>0⇔相交； （2）Δ=0⇔相切 （3）Δ<0⇔相离 当a0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点， 此时若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；

若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴。

（3）综上所述：①要处理好直线与圆锥曲线的位置关系与△的正负和交点个数的关系。0是直线与圆锥曲线相切的 充要 条件；只有一个交点是直线与圆锥曲线相切的 必要不充分 条件。

②直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题实质上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数的问题。 2、直线与圆锥曲线的相交弦长

若直线l：Ax+By+C=0与圆锥曲线C：f(x，y)=0交于点Px1,y1和Qx2,y2，则弦长

PQ=1k2x1x2或11y1y2（其中k是直线l的斜率） k2