二项分布及超几何分布期望与方差

高中教材中对二项分布和超几何分布数学期望与方差公式没有给出推导公式，现笔者给出一推导过程仅供参考。

预备公式一

kk1kCnnCn，利用组合数计算公式即可证明。 1（n1）

预备公式二

2D()E(2)E()，证明过程可见教材。

预备公式三

kk2k(k1)Cnn(n1)Cn，利用组合数计算公式即可证明。 2（n2,k2）

预备公式四

0k1k12k2k0kCnCmCnCmCnCmCnCmCmn(m,n,kN,km,kn)，利用恒等

式(1x)mn(1x)n(1x)m的二项展开式中xk的系数相等可证。

一、二项分布

在n次重复试验中，每次试验中事件A发生的概率为p（0p1），事件A发生次数为，则的概率分布列为：

 P 0 1 2 o2Cnp(1p)n2… … k okCnp(1p)nk… … n onCnp(1p)0 o0o1Cnp(1p)nCnp(1p)n11.二项分布的数学期望 E()kCp(1p)knkk0nnnkkCp(1p)knkk1nnkk1knknCnp(1p)1k1n

k1k1npCn(1p)nknp(1pp)n1np1pk12.二项分布的方差

D()E()E()kCp(1p)222knkk0nnkkk(np)k2Cnp(1p)nkn2p22k1nk(k1)Cp(1p)knkk1nnnkkkkCnp(1p)nkn2p2k1k2knkE()npn(n1)Cnnpn2p22p(1p)22k2nnk(k1)Cp(1p)knkk2nkn(n1)pnp(1p)2Ck2nk2n2pk2(1p)nknpn2p2n(n1)p2(1pp)n2npn2p2—

二、超几何分布

一批产品共N件，其中有M件不合格品，N-M件合格品，从中随机取出n件产品中，不合格品数X的概率分布列为： X P 0 0nCMCNM nCN1 1n1CMCNM nCN2 2n2CMCNM nCN… … k knkCMCNM nCN… … m mnmCMCNM nCN其中 m=min（n，M）。

1.超几何分布的数学期望

m

E(X)kCknkmknkMCNMCMCNMk0CnknNk1CNmMCnCk1nkMCnC0n11n2Cm1nmM1CNMM1CNMCM1CNMM1CNMNk1NMCnCnN（利用预备公式四可得11）NMn!(Nn)!(N1)!nMN!(n1)!(Nn)!N2.超几何分布的方差

2D(X)E(X2)E(X)2mk2CknkMCNMnMk0CnNNmknk2kn2k2CmMCNMnMCkmknkMCNCMCNnMk1CnNNkk1MMnk2CknNk1CNN2M(M1)mk2CnCM2CnkNMnMnMNk2NN2M(M1)CnCn2nMnMN2NNNM(M1)nn12NN1nMNnMNnMNnNMNNN1nMN(1Mn1N)(1N1)

3.超几何分布的数学期望和方差与二项分布的数学期望和方差的关系 根据极限知识，很容易得到： 在超几何分布中，当N时，

MNp（二项分布中的p） 欢迎下载

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（1）当N时，超几何分布的数学期望E(X)nMnpE(X)（二项分布N的数学期望）

（2）当N时，超几何分布的方差

D(X)nMN1MNn11N1np(1p)（二项分布的方差） （3）当N时，超几何分布可近似为二项分布。

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