2016~2018年全国高中数赛平面几何部分二试试题分类汇编(7页)

1、平面几何部分

2018A二、（本题满分40分）

如图所示， ABC为锐角三角形，ABAC，M为边BC的中点，点D和E分别为ABC的外接圆弧BAC和BC的中点，F为ABC内切圆在AB边上的切点，

G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NBAB.

证明：若BNEM,则DFFG。（答题时请将图画在答卷纸上）

★证明：由条件知，DE为ABC外接圆的直径，DEBC于M，AEAD。记I为ABC的内心，则I在AE上，IFAB。由NBAB可知，

NBEABEABN(1800ADE)900900ADEMEI

又根据内心性质，有EBIEBCCBIEACABIEABABIEIB 从而BEEI。结合BNEM，所以NBEMEI，

于是EMIBNE900BFE1800EFI，故E,F,I,M四点共圆。 进而可知AFM900IFM900IEMAGM,故A,F,G,M四点共圆。

再由DAGDMG900知，A,G,M,D四点共圆，所以A,F,G,M,D五点共圆，从而DFGDAG900，即DFFG。

2018B二、（本题满分40分）如图所示， 在等腰ABC中，ABAC，边AC上一点D及BC延长线上一点E满足

DE交于一点F。

ADBC，以AB为直径的圆与线段DC2CE证明：B,C,F,D四点共圆。（答题时请将图画在答卷纸上）

★证明:取BC中点H，则由ABAC知AHBC，故H在圆上.延长FD至G，使得AG//BC，结合已知条件得，

AGADBC1，故AGBCBHCH， CEDC2CE2从而AGBH为矩形，AGHC为平行四边形。 由AGBH为矩形知，G在圆上，故HGFHBF, 又AGHC为平行四边形，由AC//GH，得CDFHGF, 所以CBFHBFCDF，所以B,C,F,D四点共圆。

2017A一、（本题满分40分）如图所示，在ABC中，ABAC，I为ABC的

内心，以A为圆心，AB为半径作圆1，以I为圆心，IB为半径作圆2，过

2分别交于点P、点B,I的圆3与1、（不同于点B）。设IP与BQ交于点R。Q证明：BRCR（答题时请将图画在答卷纸上）

★证明：连接IB,IC,IQ,PB,PC，由于点点Q在圆2上，故IBIQ，所以

IBQIQB。

又B,I,P,Q四点共圆，所以IPBIQB，于是IBQIPB， 故IBP~IRB，从而IRBIBP，且

IBIP, IRIBICIP IRIC又ABAC，且I为ABC的内心，故IBIC，所以所以ICP~IRC，则IRCICP

又点P在圆1的弧BC上，故BPC1800A， 因此，BRCIRBIRCIBPICP

3600BICBPC

12113600900A1800A900，即BRCR

22

2017B三、（本题满分50分）如图，点D是锐角ABC的外接圆上弧BC的中点，直线DA与圆过点B,C的切线分别相交于点P,Q,BQ与AC的交点为求证：AT平分线段XY． （答BQ与CP的交点为T．CP与AB的交点为Y，X，

题时请将图画在答卷纸上） ★证明：首先证明YX//BC，即证AXXCAYYB 连接BD,CD，因为

SACQSABCSACQSABCS， ABPSABP1所以2ACCQsinACQ1ACBCsinACB1ACAQsinCAQ122， ① 2ABBCsinABC12ABBPsinABP12ABAPsinBAP由题设，BP,CQ是圆的切线，所以ACQABC，ACBABP，又CAQDBCDCBBAP（注意D是弧BC的中点）

，于是由①知ABAQACAPCQBP ② 因为CAQBAP，所以BAQCAP，

于是S1ABQ2ABAQsinBAQABAQS ③ ACP1ACAPsinCAPACAP2而S1BCQ2BCCQsinBCQCQS ④ BCP12BCBPsinCBPBP由②，③，④得

SABQSCBQSACPS，

BCP即又故

SABQSCBQSABQSCBQSACP SBCPSAYAX，ACP SYBXCBCPAXAY XCYBAXCMBY1， XCMBYA设边BC的中点为M，因为

所以由塞瓦定理知，AM,BX,CY三线共点，交点即为T，故由YX//BC可得AT平分线段XY

2016A二、（本题满分40分）如图所示，在ABC中，X,Y是直线BC上两点（X,B,C,Y顺序排列），使得BXACCYAB,设ACX，ABY的外心分别为O1,

O2，直线O1O2与AB，AC分别交于点U,V.证明：AUV是等腰三角形。

★证明：作BAC的内角平分线交BC于点P.设ACX ，ABY的外接圆分别为1和2，由角平分线定理知，可得

BPAB，又又条件CPACBXAB, CYACPXBXBPABBP从而，即CPPXBPPY，故P对圆1和2的幂相PYCYCPACCP等，

所以P在圆1和2的根轴上。

于是APO1O2，这表明点U,V关于直线AP对称，从而AUV是等腰三角形。

2016B三、（本题满分50分）如图所示， ABCD是平行四边形，G是ABD的重心，点P,Q在直线BD上，使得GPPC,GQQC证明：AG平分PAQ

★解析：连接AC，与BD交于点M.由平行四边形的性质，点M是AC,BD的中点．因此，

点G在线段AC上．由于GPCGQC90，所以P,G,Q,C四点共圆，并且其外接圆是以GC为直径的圆．由相交弦定理知PMMQGMMC. 取GC的中点O.注意到AG:GM:MC2:1:3,故有OC12GCAG,

因此G,O关于点M对称．于是GMMCAMMO. ② 结合①、②，有PMMQAMMO，因此A,P,O,Q四点共圆． 又OPOQ12GC,所以PAOQAO，即AG平分PAQ.

①