《数学分析》中辅助函数的应用

Bl学科探素Disciplines Exploration《数学分析》中辅助函数的应用胡云学(黔南民族师范学院贵州•都匀558000)摘 要 本文主要研究了构造辅助函数的常用方法，以及辅助函数在《数学分析》中的应用.关键词构造法辅助函数应用中图分类号：O17 文献标识码:A DOI: 10.100/j.cnki.kjdks.2019.10.014Application of Auxiliary Functions in Mathematical AnalysisHU Yunxue(Qiannan Normal University for Nationalities, Duyun, Guizhou 558000)Abstract This paper mainly studies the common methods of constructing auxiliary functions, and the application of auxiliary functions in mathematical analysis is discussed.Keywords construction method; auxiliary functions; application0引言(1) 建立函数/'(X),通常把所含常数项移到等号的一端，即

经典数学是数学分析的另一个称谓，是以极限为工具，衍 可以构造出想要的辅助函数；生出微分学、积分学及级数理论的一门基础学科，内容丰富，概

(2) 求厂(x),令厂(x)=0,求出驻点,计算出最值；念、命题相对抽象复杂，特别是一些命题的证明则是它的一个

(3) 根据最值写出要证的不等式。难点。若能合理的构造出辅助函数，则往往能使这些命题得到

例 2：若x>0,证明x-21nxl2-21n2。简捷明了的证明。如何构造辅助函数就是本文的主题。通过 证明：令辅助函数/'(x)=x-21\"x,贝”'(x) =乞2当x>0

以下的讨论可以看到，辅助函数在数学分析中的应用之广、作

时，/'(x)变号不能用单调性证明。令辅助函数在;'(x)=0,可

用之大。得到驻点x = 2。当0 < x < 2,f'(x)2,/(x)>0,所以x = 2

1利用拉格朗日中值定理构造辅助函数是/(x)的极小值点，又x = 2是/(x)在(0,砂)内存在唯一的驻 拉格朗日定理：点，并且是极小值点，所以X = 2也是/(X)的最小值点,其最小值

若函数/满足下列的条件：为 /(2) = 2-21n2,所以 x>0 时 /(x)>2-21n2,因此得证

⑴函数/在闭区间［a,可上连续；(2)x-21nx>2—21n2o函数/在开区间S0)上可导;则函数/在(aQ上至少存在

3恒等式的证明-点m，使得佝>气兽。若需要证明恒等式/(1) 在给定的区间内构造辅助函数/\"(X)；做法如下：(2) 证明在该区间上满足厂(x)=0；(1) 选定恰当的函数及相应的区间；⑶推出/{x)=C；(2) 验证此函数在给定的区间上满足拉格朗日中值定理的条

(4)代入区间内特殊的值，确定常数C。件;推论:若/3在区间/上可导,且/'C沪0,x&I,贝W(x)为区间 (3)由满足拉格朗日中值公式的不等式，对/G)进行放大/上的一个常量函数。(或缩小)，消去H即得到要证明的不等式。例 3：证明arctanx+丄arcsin—^^ = Z, (x>l)例 1：证明 arcsinb-arcsina>b—a,其中 02

1 + x 2证明：当x=l时，左端=右端;当Q1时，构造辅助函数：证明：构造辅助函数/'(x)=arcsinx,在［a,b］上应用拉格朗日中值定理得g(x) = arctan x + ~ arcsin-j==(b-a),a+

I ( 1 2“ • 2(1 (+1 +x 2b)-4 x-2 = °证：arcsin/>-arcsina> b—a„2旷估)2利用极值(或最值)构造辅助函数所以g(x) = c,基于某些函数不等式，若/''(X)在(a,b)内变号时，用单调性

又因 g(\\/3) = arctanarcsin=证明不方便，则可考虑借助函数的最值概念进行证明。其通常

做法如下:所以c =丰,从而arctan x + \\ arcsin =专,(xt 1)得证。2 2 1+x 22019年/第28期/10刀(上)29学科採素Disciplines Exploration4利用曲线的凸凹性构造辅助函数证明不等式若要利用曲线的凸凹性证明不等式，只需构造一个具有凸

(凹)性的函数即可。归纳、猜想、分析和化归等数学思想都在构造中起到了很大 的作用。通过辅助函数法解决问题，必须要确保辅助函数不能与已

x x例4：证明：当0-X X证明：构造辅助函数/« = sin---,则知的条件相矛盾。对于辅助函数的构造并不一定和数学语言

定义中顺序一样，从已知推得辅助函数；实际应用中可以从求

证出发，反推出辅助函数的具体形式。使用辅助函数既能熟悉

1 x/\" = -才 sin 寸 <0,(00,(0掌握有关定理，提高数学解题能力，开阔思路，推动数学领域更

好的发展。参考文献[1] 华东师范大学数学系编.数学分析(上下册)[M].北京:高等教育出版社,2010.[2]

sm — > —25利用常数锯法构造辅助函数同济大学数学系编.高等数学(上下册)[M].北京:高等教育出版社,2007.此种方法常用于常数己分离出来的命题。一般步骤是：[3] 苏忍锁.利用行列式构造辅助函数证明微分中值命题[J].高等教学研允2003(3).(1)常数的部分定作庇作恒等变换；⑵通常使等式或不等式的一端为a、ftd)、b及g的代数式；(3) 把端点b改成x,相应的/U)改成/3；(4) 所需的辅助函数就是变换后的端点表达式。例5：设Ax)在[a,6]上连续，在(a劝内可导，又/U)不是线性

函数，且/©)>/(a),证明:北e (a,b),使得/瓷) > 単2丄@。b-ab-a即F(x) = /(x)-/(a)-理巳凹(x-a), F(x)不恒为零，且

b — aF(a) = F(Z)) = 0,贝lj3x0(a,Z>),有F(x°)h 0,不妨设Fg)〉0,则在

上对甩)应用拉格朗日中值定理得,F(x°)-F⑷事⑷仇-町即

证明:令尸(x) = /(x) - / ⑷- £(x - a),其中取有F'$)= /'(§)-理二将代入上式即得证明。b-a,6在根的存在性问题中的应用通过构造合适的辅助函数，然后运用根的存在性定理或罗

尔中值定理，可以很便捷地证明根的存在性。例6：设/&)在[a,可上连续，在(a,b)内可导,0ln(-)/'(x),两边同时积分得:[/(/>)-/(a)]lnx = ln(-)/(x) + co 令 F(x) = [/(b)-/(a)]lnx-ln£)/(x),其中 c=0取，则尺0在闭区间上

a

a[a,6]是连续的，在开区间(必)内可导，且F(b) = F(a) = /(b)lna-/⑷lnb,再由罗尔定理知，存在一点\"(a,b),使得 F(\") = 0,即得证/¢) - /(a) = 7 ln(£)广(”)。7在求解值域中的应用2x + 3例7：求函数》= jW的值域解:原式变形+3yx+2y = 2x + 3,即yx2 +Qy-2)x+2y-3=0,

要使卅+(3尸2)x+2y-3=0有根，则引进判别式A = (3^-2)2-

4j(2y-3)>0为辅助函数，即/+4>0,所以yeR为值域。8结束语通过以上例题可以清晰地看到，辅助函数在解题过程中 所起的纽带作用。很好的应用辅助函数的方法能够起到事

半功倍的效果。构造辅助函数的方法多种多样，没有一成不

的模式，构造过程中突出了数学的奥秘，类比、逆向思维以及

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