1-8空间向量与立体几何

秒杀秘籍：第一讲求平面法向量坐标的特殊方法

1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量．2．空间向量基本定理：

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得

pxaybzc．若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．3．向量的数量积：已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b．a1b1a2b2a3b3ab向量a,b的夹角公式cosa,b=．222222|a||b|a1a2a3b1b2b34．平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量．几点注意：（1）法向量一定是非零向量；（2）一个平面的所有法向量都互相平行；（3）向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有mn0．•第一步：写出平面内两个不平行的向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，•第二步：那么平面法向量ijky1z1z1x1x1y1nx1y1z1=，，y1z2z1y2,z1x2x1z2,x1y2y1x2yzzxxy222222xyz2225．判定直线、平面间的位置关系（1）直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a，b．①若a∥b，即a=λb，则a∥b．②若a⊥b，即a·b=0，则a⊥b（2）直线与平面的位置关系：直线L的方向向量为a，平面α的法向量为n，且L⊥α．①若a∥n，即a=λn，则L⊥α②若a⊥n，即a·n=0，则a∥α．（3）平面与平面的位置关系：平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2．①若n1∥n2，即n1=λn2，则α∥β②若n1⊥n2，即n1·n2=0，则α⊥β51学习数学领悟数学秒杀数学第一章立体几何【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证:平面AED⊥平面A1FD．【证明】以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz，设：正方体的棱长为2，那么E(2,0,1)，A1(0,0,2)，F(1,2,0)，D(0,2,0)，于是AE(2,0,1)，AD(0,2,0)12xz0xz设平面AED的法向量为n1(x,y,z)得解得：22y0y0取z2得n1(1,0,2)同理可得平面A1FD的法向量为n2(2,0,1)n1n22020平面AED平面A1FD．6．空间角的计算（1）两条异面直线所成角的求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝|ab||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．（2）直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝（3）二面角的求法①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角．②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图所示，二面角α－l－β，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α－l－β的大小为θ或π－θ．【例2】如图所示，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°．（1）求DP与CC′所成角的大小；（2）求DP与平面AA′D′D所成角的大小．【解析】如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz．则DA(1,0,0)，CC'(0,0,1)．连接BD，B'D'．在平面BB'DD'中，延长DP交B'D'于H．设DH(m,m,1)(m0)，由已知DH,DA60，由DADHDADHcosDA,DH，52|en||e||n|，或者sinφ＝cosθ．学习数学领悟数学秒杀数学第一章立体几何可得2m2m21，解得m（1）因为cosDH,CC'222，所以DH(,,1)．222220011222212所以DH,CC'45，即DP与CC'所成的角为45．（2）平面AA'D'D的一个法向量DC(0,1,0)．22011012因为cosDH,DC2212所以DH,DC60，可得DP与平面AA'D'D所成的角为30．【例3】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥平面PAB；（2）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成角的大小．【证明】（1）以D为原点，DC，DA，DP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．设PD1，ABa，则C(a,0,0)，A(0,1,0)，aa11P(0,0,1)，E(,0,0)，B(a,1,0)，F(,,)．2222EF(0,11,)，AB(a,0,0)，PA(0,1,1)．EFAB0，EFPA0．EFAB，22211,1,0)，EF(0,,)．222EFPAEF平面PAB．【解析】（2）AB2BC，a2，从而AC(2,1,0)，AE(设平面AEF的法向量为n(x,y,z)，则nAE0即211xy0；nEF0即yz0222令x2，则y1，z1，平面AEF的一个法向量为n(2,1,-1)．设AC与平面AEF所成角为，则sincosAC,nACnACn1323．6【例4】如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N．（1）求证:EM∥平面A1B1C1D1；（2）求二面角BA1NB1的正切值．1AB，点E，M分别图为A1B，C1C的中点，过A1，2【证明】（1）建立图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA1=a(a＞0)，则A1(2a，0，a)，B(2a，2a，0)，C(0，2a，0)，C1(0，2a，a)．∵E为A1B的中点，M为CC1的中点，∴E（2a，a，a），M（0，2a，a）．∴EM=(-2a，a，0)．∴EM∥平面A1B1C1D1．2253学习数学领悟数学秒杀数学第一章立体几何【解析】（2）设平面A1BM的法向量为n(x,y,z)．∵A1B=(0，2a，-a)，BM=（-2a，0，a），∴由nA1B，nBM，2ay-az=0，x=2z，4azzaa=0．y=，∴令z=a，则n=（，，a）而平面A1B1C1D1的法向4222|nn1|4421量为n(0,0,1)，设二面角为θ，则cosθ=,又∵二面角为锐二面角，21|n||n1|21-2ax+∴cosθ=42154215,从而tanθ=即二面角B—A1N—B1的正切值为．21447．求解空间中的距离（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n，这时分别在a、b上任取A、B两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离．n|ABn|即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点∴d|AB|,

|n|

|n|





的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．【例5】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线AC1与BD间的距离．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C1(1，1，1)，设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n(x,y,z)，则由AC1(1,1,1)，BD(1,1,0)得zxxyz02,解得,取z2zxy0y2得：n(1,1,2),AB(1,0,0)|ABn|1006∴异面直线AC1与BD间的距离d．=6|n|114（2）点到平面的距离nA为平面α外一点(如图)，为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH．|ABn||ABn||ABn||AH||AB|sin|AB||cosAB,n|=|AB|d

|n|ABnn

【小结】点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值．【例6】在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ACBC1，∠ACB=90°，求B1到面A1BC的距离．【解析】以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz，则C(0，0，0)，A1(1，0，2)，B(0，1，0)，B1(0，1，2)．设面A1BC的法向量n(x,y,z)，由CA11，0，2,CB0，1，054学习数学领悟数学秒杀数学BB1nn第一章立体几何00221236．3得n(2,0,1)BB10，0，2dA1B1nn236．3或A1B11，1，0d20021【例7】在三棱锥SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SASC23，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离．【解析】取AC的中点O，连接OS，OB．∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO．∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO．如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz，则B（0，23，0），C（-2，0，0），S（0，0，23），M（1，3，0），N（0，3，2）∴CM=(3，3，0)，MN=(-1，0，2)，MB=(-1，3，0)．设n(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，CM·n=3x+3y=0，MNn=x2z0=0，取z1，则x=2，y=6，∴n(2,6,1)∴点B到平面CMN的距离dMBnn43．3【例8】如图示，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，AP=BP=AB，PC⊥AC．（1）求证：PC⊥AB；（2）求二面角B-AP-C的余弦值；（3）求点C到平面APB的距离．

【证明】（1）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．∵AC∩BC=C，∴PC⊥平面ABC．∵AB平面ABC，∴PC⊥AB．【解析】（2）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C—xyz．则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．设P（0，0，t），∵|PB|=|AB|=22，∴t=2，P（0，0，2）取AP中点E，连接BE，CE．∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，∴CE⊥AP，BE⊥AP．∴∠BEC是二面角B—AP—C的平面角．∵E（0，1，1），EC=(0，-1，-1)，EB=(2，-1，-1)，∴cosBECECEBECEB22633∴二面角B—AP—C的余弦值为．33（3）∵AC=BC=PC，∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长即为点C到平面APB的距离．如（2）中建立的空间直角坐标系C-xyz．∵BH=2HE，∴点H的坐标为（2323222，，）．∴|CH|=．∴点C到平面APB的距离为．3333355