分期设计洪水频率与防洪标准关系研究_肖义

水科学进展

ADVANCESINWATERSCIENCE

Vol󰀁19,No󰀁1󰀁Jan.,2008󰀁

分期设计洪水频率与防洪标准关系研究

肖󰀁义,郭生练,刘󰀁攀,熊立华,方󰀁彬

1,2

1

1

1

1

(1󰀁武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,湖北武汉󰀁430072;2󰀁湖南省水利厅,湖南长沙󰀁410007)

摘要:现行分期设计洪水模式估算的分期设计洪水值均小于或等于年最大设计值,达不到规定的防洪标准。采用Gumbel󰀁HougaardCopula函数描述两个分期的分期最大洪水之间的相关性结构,并构造边缘分布为P󰀁󰀁分布的分期最大洪水联合分布,建立分期最大洪水与年最大洪水的关系式,讨论分期设计洪水频率与防洪标准应满足的关系,探讨能够满足防洪标准的新的分期设计洪水模式。应用示例表明,新模式主汛期设计值相对年最大设计值小幅度增加,而非主汛期设计值则小于年最大设计值,既满足不降低防洪标准的要求又能够起到优化设计洪水的作用,为分期设计洪水研究提供了一条新的思路。

关󰀁键󰀁词:分期设计洪水;防洪标准;联合分布;Copula函数

中图分类号:TV122󰀁󰀁󰀁文献标识码:A󰀁󰀁󰀁文章编号:1001󰀁6791(2008)01󰀁0054󰀁07

分期设计洪水是确定分期汛限水位的重要依据,利用分期汛限水位洪水资源已成为洪水资源化利用的重要技术手段[1]。现行的分期设计洪水模式是在分析流域洪水季节性规律的基础上,按照设计和管理要求,把整个年内划分为若干个分期,然后在分期的时段内进行分期最大值选样,对分期最大洪水采用单变量的P󰀁󰀁型分布进行描述,通过频率计算求得各设计频率的分期设计洪水,其中,分期设计洪水的频率通常假定为设计标准对应的重现期的倒数

[2,3]

。

国家防洪标准[4]规定的水库防洪标准以年为重现期单位,反映的是年最大设计值被超过的概率。现行的分期设计洪水模式假定分期设计洪水频率均等于防洪标准的倒数,其分期设计洪水值均小于等于年最大设计洪水值,不能保证分期设计洪水能够真正达到规定的防洪标准。分期设计洪水都较年最大值设计洪水小,会导致包括主汛期在内的各分期的分期汛限水位较原设计汛限水位抬高,必定降低水库的防洪标准。为避免这种现象的发生,很多规范与设计手册中都将主汛期设计洪水值强制等于年最大设计洪水值[2,3],但这种处理方法只能确保主分期设计洪水达到指定的防洪标准。叶秉如[5]指出:现行分期洪水的处理方法,带有一定的经验性,因为在洪水分期出现时,总的防洪破坏概率究竟为多少,是否恰好满足所需求的防洪设计标准,此法并未明确答复。丁晶等[6]指出:现行分期设计洪水方法采用分期最大洪水选样,根据这种洪水系列计算出的洪水频率本质上不同于全年最大洪水系列推求出的洪水频率,前者是指洪水事件在某一分期发生的可能性,后者是指洪水事件在一年内(包括所有分期)发生的可能性,两者从水库防洪安全来看存在本质区别。王善序[7]针对现行分期设计洪水方法,讨论了分期最大洪水频率与重现期关系。经论证分析和实际计算后得出:󰀁采用分期洪水频率等于防洪标准T的倒数的假定是错误的,由此计算得出的T年一遇分期设计洪水一般系统偏小,实际是T/(K+1)年一遇的(K为非负整数随机变量);󰀁真正的T年一遇分期设计洪水与T年一遇全年最大洪水是相等的。他指出:现时的分期设计洪水计算技术仍存在严重错误,通过它来提高水库兴利效益,是在冒降低水库防洪标准的风险。

分期最大洪水与年最大洪水的关系、分期设计洪水频率与防洪标准的关系研究对于研究分期设计洪水方法至关重要。󰀁水利水电工程设计洪水计算手册󰀁[3]指出当各分期最大洪水相互时,其频率曲线和全年最大洪

收稿日期:2007󰀁05󰀁14

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50679063;50609017);霍英东青年教师基金资助项目(101077)作者简介:肖󰀁义(1980-),男,湖南岳阳人,博士,主要从事水文学及水资源开发利用研究。E󰀁mail:daro-xy@sohu󰀁com󰀁第1期肖󰀁义等:分期设计洪水频率与防洪标准关系研究

55

水的频率曲线之间存在一定的频率组合关系,分期最大洪水与年最大洪水的关系可采用全概率公式描述[8]。王善序

[9]

提出采用分期年最大值取样(即该分期发生的年最大洪水)估算分期设计洪水。该方法首先在假定发生各

分期的年最大洪水相互的情况下,建立了一个年最大洪水与分期年最大洪水的关系式,然后基于该关系式提出一种新的分期设计洪水估计方法。这种方法仍然是基于年最大值系列,能够满足防洪标准的要求;又因为是对各分期分别进行取样,各分期的采用的样本不同,因此亦能够反映洪水的季节性规律。Singh等[10]指出分期的年最大样本具有同分布特征,因而比年最大值法更好。但是,该法在抽样中(包括分期抽样)仅取年最大值,可能导致非主汛期的分期抽取到的样本容量很少,最终导致该分期频率分析结果不可靠;且与我国现行的分期设计洪水抽样方法(分期最大值法)有所区别,难于直接移用。

现行分期设计洪水方法中,每个分期的分期最大洪水均可看作是同分布的随机变量,不同分期的分期最大洪水通常假定为相互的,而事实上,不同分期的分期最大洪水之间通常存在一定的弱相关性,并不是完全的。Copula函数理论是构建多元联合分布的一种有效方法,适合于构建边缘分布为任意分布的联合分布,既可以描述相互的变量,也可以描述存在相关性的变量[11~

13]

。本文采用Gumbel󰀁HougaardCopula[13,14]

描述不同分期的分期最大洪水之间的相关性结构,并建立边缘分布为P󰀁󰀁型分布的两变量联合分布,用以描述不同分期的分期最大洪水。基于联合分布讨论分期最大洪水与年最大洪水之间的关系以及分期设计洪水的频率与防洪标准之间的关系,并对能够满足防洪标准的新的分期设计洪水模式进行初步探讨。

1󰀁水文变量之间的相关性结构

从变量联合分布,可以通过分析得到变量的相关结构。设变量X,Y的理论联合分布为F(x,y),X和Y各自的分布函数分别为FX(x)和FY(y),即边缘分布分别为FX(x)和FY(y)。令u=FX(x),v=FY(y),可以求得:

x=FX

(-式中󰀁FX

1)

(-1)

(u)󰀁󰀁󰀁󰀁y=FY

(-1)

(v)(1)(2)

和FY(-

1)

分别为FX(x)和FY(y)的逆函数。将式(1)代入F(x,y)得

(-1)(-1)C(u,v)=F(F(u),F(v))XY

式中󰀁二元函数C(u,v)为变量X和Y之间的相关性结构。从联合分布F(x,y)及边缘分布FX(x)和FY(y),可以得到变量的相关性结构C(u,v);那么,反过来根据相关性结构C(u,v)及边缘分布FX(x)和FY(y)亦可以得到联合分布F(x,y)。

2󰀁分期最大洪水的联合分布

以汛期分为两期为例,分别为主汛期和非主汛期:主汛期的分期最大洪水X的概率分布为FX(x);非主汛期的分期最大洪水Y的概率分布为FY(y);FX(x)和FY(y)均假定为P󰀁󰀁型分布[2]。随机变量X和Y之间的相关性结构可以用一个二元函数描述,该二元函数的定义域和值域均属于[0,1]区间。Copula函数是一种具有该

性质的二元函数,可以能够用来描述X和Y之间的相关性结构。Gumbel󰀁HougaardCopula是在水文领域研究和应用最多的Copula函数[11,14~

16]

,本文采用该Copula描述不同分期之间分期最大洪水的相关性结构:

(3)(4)(5)

C(u,v)=exp{-[(-lnu)󰀁+(-lnv)󰀁]1/󰀁},󰀁󰀁󰀁󰀁1

由相关性结构(式(3))以及边缘分布FX(x)和FY(y),可得到分期最大洪水的联合分布F(x,y)

F(x,y)=C(u,v)=exp{-[(-lnu)󰀁+(-lnv)󰀁]1/󰀁}󰀁󰀁󰀁󰀁󰀁1

u=FX(x)󰀁󰀁󰀁v=FY(y)

式中󰀁󰀁为表达相关性的参数。分期最大洪水之间的相关性越强,则变量之间的Kendall相关系数󰀁[17]越大,󰀁值也越大,󰀁与󰀁之间关系式为󰀁=1/(1-󰀁)[13]。当󰀁=0或󰀁=1时,为变量之间相互的情形,此时C(u,v)=uv,F(x,y)=FX(x)󰀁FY(y);当󰀁趋于1或趋于󰀁时,变量完全相关,󰀁limC(u,v)=min(u,v)󰀁󰀂

[13]

,此时

56

水科学进展第19卷

联合分布FX(x)=min(FX(x),FY(y)),或者说,可以退化为一维分布FX(x)或FY(y)。

3󰀁分期最大洪水与年最大洪水关系

年最大洪水Q的分布为FQ(q),假定年最大洪水Q均发生在汛期,即有Q=max(X,Y),由于Q=max(X,Y)不大于q等价于X和Y都不大于q[18],故有

FQ(q)=P(Q󰀁q)=P(max(X,Y)󰀁q)=P(X󰀁q󰀁Y󰀁q)=F(q,q)

Q、X和Y都是连续型随机变量,因此式(6)可写为

FQ(q)=P(Q当分期最大洪水X和Y相互时(即当󰀁=0或󰀁=1时),式(7)可表达为[18]

FQ(q)=F(q,q)=FX(q)󰀁FY(q)

定义事件Eor:

Eor(x,y)=[X󰀁x󰀁Y󰀁y]󰀁󰀁

(9)

式中󰀁Eor(x,y)表示年内分期洪水值x和分期洪水值y中至少有一个被超过,当x和y分别表示分期最大洪水设计值时,该事件发生即意味着设计值被破坏,该事件发生的重现期应等于防洪标准。X和Y分别为分期最大洪水,分别每年仅取一个值,因此事件Eor(x,y)的对应的重现期Tor(x,y)可定义为[13~15]

Tor(x,y)=1/(1-F(x,y))

式中󰀁Tor(x,y)称为x和y的联合重现期,以年为单位。由式(7)和式(10)可得

TQ(q)=1/(1-FQ(q))=1/(1-F(q,q))=Tor(q,q)

洪水X和Y至少有一个大于等于q的联合重现期。

(11)

式中󰀁TQ(q)为年最大洪水q对应的重现期。式(11)表明年最大洪水Q大于等于q的重现期应等于当分期最大

(10)(8)(7)(6)

4󰀁年最大设计洪水和现行分期设计洪水模式的分析

分期设计洪水应满足两个条件:󰀁分期设计洪水要符合防洪标准;󰀁分期设计洪水能反映洪水的季节性规律[3]。采用年最大洪水设计相当于各分期均采用年最大设计值,因此没有反映洪水的季节性规律。基于年最大洪水Q的分布FQ(q)估计的设计标准T对应的年最大洪水设计值为qT。采用年最大值设计即意味着两个分期的设计值均等于qT,根据式(11)可得

TQ(qT)=Tor(qT,qT)=T

(12)

防洪标准反映的是年内设计值被超过的允许概率;对于分期设计洪水,若有一个分期的设计值被超过,即认为该年的设计值被超过,Tor(qT,qT)即为设计值组合qT和qT被破坏的重现期(以年为单位的重现期)。由式(12)可以看出,年最大洪水设计即意味着各分期都采用年最大洪水设计值,该模式能够满足防洪标准的要求,但是不能反映洪水的季节性规律,不能起到优化设计洪水的作用。

现行分期洪水模式假定分期频率为防洪标准T的倒数,即1/T,然后根据分期洪水分布FX(x)和FY(y)分别估计的分期设计洪水为xT和yT,xT和yT均应小于(或等于)年最大设计值qT[2],所以有

Tor(xT,yT)=1/(1-F(xT,yT))󰀁1/(1-F(qT,qT))=Tor(qT,qT)=T

(13)

5󰀁分期设计洪水频率与防洪标准的关系

假定分期设计洪水频率等于防洪标准的倒数,使得现行的分期设计洪水模式达不到防洪标准的要求。研究分期设计洪水与水库防洪标准的关系就是为了合理协调这两者之间的矛盾,以保证分期设计洪水成果既满足水库防洪标准又能反映洪水的季节性规律。

假定分期最大洪水值x和y的联合重现期Tor(x,y)等于防洪标准T,由式(11)可得󰀁第1期肖󰀁义等:分期设计洪水频率与防洪标准关系研究

57(14)

T=TQ(qT)=Tor(qT,qT)=Tor(x,y)

分期均采用年最大设计值)。借助于Copula函数,式(14)可表达成下列形式:

T=Tor(x,y)=1/(1-F(x,y))=1/(1-C(u,v))

将形成对应重现期T的等值线。根据式(4)和式(15),可求得该等值线的解析表达式:

v=exp{-[(-ln(1-1/T))󰀁-(-lnu)󰀁]1/󰀁}󰀁󰀁󰀁u󰀁1-1/T

令PX和PY分别表示分期最大洪水x和分期最大洪水y的分期频率,即有

PX=1-FX(x)=1-u󰀁󰀁󰀁PY=1-FY(y)=1-v

由式(16)和式(17)可以得到分期洪水频率PX和PY的对应防洪标准T的等值线:

PY=1-exp{-[(-ln(1-1/T))󰀁-(-ln(1-PX))󰀁]1/󰀁}󰀁󰀁󰀁PX󰀁1/T

式(18)时,能够达到防洪标准T。当不同分期的分期最大洪水相互时,即󰀁=1时,有:

PY=1-(1-1/T)/(1-PX)󰀁󰀁󰀁PX󰀁1/T

对任一给定的T,满足式(14)的分期设计洪水值x和y的组合有无数种,其中qT和qT只是特殊一组(即各

(15)

式中󰀁对于任一给定防洪标准T,存在无数种u和v的组合满足上式,若在平面上以u为横坐标、v为纵坐标,

(16)(17)(18)

式(18)即为分期设计洪水频率与防洪标准应该满足的关系。当分期洪水设计值x和y的频率PX和PY满足

(19)

6󰀁分期洪水设计频率和分期设计洪水推求

满足式(18)分期设计洪水的频率有无数种。现行分期设计洪水模式通常假定主汛期和非主汛期为同一个设计频率,即PX=PY。当采用这一规定时,直线PX=PY与式(18)所示的等值线有唯一的交点,交点的横、纵坐标值分别为px和py:

px=py=1-1-1T

2

-1󰀁=1-1-

1T

0󰀁5󰀁1(20)

式中󰀁px和py分别为分期设计洪水的频率值,由该式可以看出分期设计洪水的频率与防洪标准T和参数󰀁有关。分期最大洪水X和Y之间的相关系数󰀁与参数󰀁之间存在一一对应的关系,󰀁=1/(1-󰀁),根据󰀁可以估计参数󰀁;对于任一重现期T,根据式(20)可以计算分期设计洪水的频率px和py。表1给出了不同相关程度󰀁下参数󰀁值以及各防洪标准T对应的分期洪水频率值px(或py)。

表1󰀁不同相关程度󰀁情况下各防洪标准对应的分期洪水频率值px(或py)

Table1Seasonalfloodfrequencypx(orpy)fordifferentfloodpreventionstandardsandassociationmeasures󰀁

相关系数󰀁

0

0󰀁30󰀁60󰀁9

参数󰀁1

1󰀁42󰀁510

100001/199961/162421/131931/10716

50001/100011/81231/65981/5360

10001/20001/16241/13191/1072

设计标准T/年

5001/10001/8121/6601/536

1001/2001/1621/1321/107

501/1001/811/661/54

201/401/321/261/21

由表1可以看出,当不同分期的分期最大洪水X和Y之间相互时(󰀁=0),分期设计频率px(或py)与防洪标准T的关系接近于1/2T;当󰀁越大时,即相关性越强时,则px(或py)越接近于1/T。当分期洪水的设计频率px(或py)确定以后,即可估计出分期设计洪水值:

(-1)

XT0=F(1-px)X(-1)YT0=F(1-py)Y

(21)(22)

式中󰀁XT0和YT0为两个分期的分期设计洪水值,该设计值组合xT0和yT0被破坏的联合重现期Tor(xT0,yT0)等于防洪标准T。58

水科学进展第19卷

7󰀁应用示例

以清江流域隔河岩水库为例,采用建立的联合分布分析年最大洪水与分期最大洪水之间的关系以及分期设计洪水频率与防洪标准的关系,并计算能够满足防洪标准的分期设计洪水的组合。

隔河岩水库为年调节水库,该水库有54年实测坝址洪水资料(1951-2004年),其年最大洪峰Q系列的统

Q

计特征值󰀁=7400m3/s,CvQ=0󰀁42,CsQ=1󰀁26,采用分期最大取样方法,每年从主汛期和非主汛期取出一对

分期最大洪峰,主汛期最大洪峰X和非主汛期最大洪峰Y

X

系列统计特征值分别为[19]󰀁=6580m3/s,CvX=0󰀁49,CsX

Y=1󰀁23,以及󰀁=4450m3/s,CvY=0󰀁,CsY=1󰀁60。由

统计特征值可以估计P󰀁󰀁型边缘分布的参数[20]。估计得到x和y的Kendall秩相关系数为󰀁=0󰀁126,Gumbel󰀁HougaardCopula函数的参数󰀁=1/(1-󰀁)󰀁1󰀁14。参数估计以后,由式(4)和式(5)即可得到主汛期分期最大洪水X和非主汛期分期最大洪水Y的联合分布F(x,y)。

由于分期洪水与年最大洪水所存在的关系(式(7)),合理的分期设计洪水联合分布应使得各年最大洪水q对应的联合分布F(q,q)等于FQ(q)。对54个年最大洪峰q分别计算频率(1-F(q,q))和(1-FQ(q)),根据计算结果可以点绘得到图1,图1表明所建立的联合分布基本上

图1󰀁比较检验F(q,q)和FQ(q)频率曲线拟合情况󰀁Fig󰀁1ComparisonandverificationofF(q,q)andFQ(q)

frequencycurves

是合理的。

图2给出了根据式(18)得出的隔河岩水库设计标准T

(T=Tor=10000,5000,1000,500,100,50,20年)的等值线图,其横、纵坐标分别为达到防洪标准要求的主汛期分期

洪水设计频率PX和非主汛期分期洪水设计频率PY。图2中斜实线上所有的PX与PY值均相等,称为同频率线。当采用两个分期设计频率相等的假定时,同频率线与各等值线的交点坐标即为该设计标准T下分期洪水的

设计频率px和py。当设计标准T=1000年时,根据式(18)计算得到px=py=1/1833。

由图2亦可得到主汛期洪水X和非主汛期洪水Y对应的设计标准T等值线图(图3)。图3中斜实线表示满足分期频率相等(PX=PY)的X、Y值,该线与各等值线的交点即为设计标准对应的设计值点,坐标值即为分期

图2󰀁PX和PY对应的设计标准T等值线图

Fig󰀁2ContoursoffloodfrequencyPXandPYfordifferentflood

preventionstandards

图3󰀁X和Y对应的设计标准T等值线图

Fig󰀁3ContoursofdesignfloodXandYfordifferentfloodpreven󰀁

tionstandards

󰀁第1期肖󰀁义等:分期设计洪水频率与防洪标准关系研究

59

设计洪水值xT0和yT0(见式(21)和式(22))。各设计标准T对应的X和Y的设计值组合xT0和yT0见表2。表2亦给出了根据现行分期设计洪水模式推求的设计重现期T的主汛期设计值xT和非主汛期设计值yT以及年最大洪水的设计值qT。

表2󰀁隔河岩水库不同分期设计洪水模式估算的洪峰设计值

Table2EstimatedpeakdischargesbydifferentseasonaldesignfloodmodelsfortheGeheyanreservoir

重现期T/a10000500010005001005020

年最大设计洪水qT/(m3󰀁s-1)

277542622622627210511730415638133

xT/(m󰀁s

3

-1

)

现行分期设计洪水模式(xT-qT)yT

3

/qT(%)/(m󰀁s-1)-------1󰀁0

1󰀁21󰀁72󰀁02󰀁93󰀁54󰀁6

25292236311974618060140991236610038

(yT-qT)/qT(%)-8󰀁9-9󰀁9-12󰀁7-14󰀁2-18󰀁5-20󰀁9-24󰀁9

满足防洪标准的分期设计洪水模式

xT0(xT0-qT)yT0(yT0-qT)3-13-1/(m󰀁s)/qT(%)/(m󰀁s)/qT(%)28829272802363322038182511657114279

3󰀁94󰀁04󰀁44󰀁75󰀁56󰀁06󰀁8

26740250842121319534155931387111554

-3󰀁7-4󰀁4-6󰀁3-7󰀁2-9󰀁9-11󰀁3-13󰀁5

27475

259162224120629167941508712753

由表2可以看出,现行分期模式的设计值xT和yT均小于年最大洪水设计值qT;新的分期设计洪水模式的主汛期的设计值xT0略大于年最大洪水设计值qT,相对增加幅度4%~7%,而非主汛期yT0的设计值则小于qT,相对减小幅度4%~14%。

8󰀁结󰀁󰀁论

本文建立了分期设计洪水频率与防洪标准应满足的关系式,该关系式既适用于不同分期的分期最大洪水相互的情形,又适用于存在相关性的情形。基于该关系式提出了一种能够满足防洪标准的新的分期设计洪水模式。与年最大值设计相比,新的分期设计洪水模式通过小幅度提高的主汛期设计值,使得在非主汛期设计值低于年最大值的情况下,能保证分期设计洪水达到防洪标准,为分期设计洪水研究提供了新思路。参考文献:

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水科学进展第19卷

[15]ShiauJT󰀁Returnperiodofbivariatedistributedextremehydrologicalevents[J]󰀁StochasticEnvironmentandRiskAssessment,2003(7):42

-57󰀁

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Seasonalfloodfrequencyanalysisandfloodpreventionstandard

XIAOYi,GUOSheng󰀁lian,LIUPan,XIONGLi󰀁hua,FANGBin

1,2

1

1

1

1

󰀁

(1󰀁StateKeyLaboratoryofWaterResourcesandHydropowerEngineeringScience,WuhanUniversity,Wuhan430072,China;

2󰀁WaterResourcesDepartmentofHunanprovince,Changsha410007,China)

Abstract:Thefloodquantileestimatedbyconventionalseasonalfloodfrequencyislessthanorequaltoannualmaximumesti󰀁mator,andcannotsatisfyagivenfloodpreventionstandard󰀁AbivariatejointdistributionwithPearsonTypeIIIdistributionmarginsisdevelopedbasedonGumbel󰀁HougaardCopulaandusedtodescribetwoseasonalmaximumfloodseries󰀁Arelationalequationbetweenannualmaximumfloodandseasonalmaximumfloodsisdeveloped,andtherelationshipbetweenthefrequen󰀁ciesofseasonalfloodquantilesanddesignfloodpreventionstandardisalsogiven󰀁Ultimatelyanewseasonalfloodfrequencyanalysismethodisproposedanddeveloped󰀁Comparedwiththeconventionalannualmaximummethod,theseasonaldesignfloodsestimatedwiththeproposedmethodareslightlygreaterinthemainfloodseasonandlessinotherfloodseasons󰀁Itisshownthattheproposedmethodcouldsatisfyfloodpreventionstandardandprovideanewwayfordeterminingseasonaldesignfloods󰀁

Keywords:seasonalflood;floodpreventionstandard;jointdistribution;Copulafunction

󰀁ThestudyisfinanciallysupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(No.50679063;50609017).