热学物理竞赛讲义(二)

【例1】一定量的理想气体分别由初态a经①过程ab和由初态a经②过程acb到达相同的终态b，如pT图所示，则两个过程中气体

从外界吸收的热量Q1，Q2的关系为( ) A. Q10,Q1Q2 B . Q10,Q1Q2 C . Q10,Q1Q2 D . Q10,Q1Q2

【例2】压强为1.010Pa，体积为0.0082m的氮气，从初始温度300K加热到400K，如加热时

（1）体积不变

（2）压强不变，问各需热量多少？哪一个过程所需热量大？为什么？

【例3】一气缸内盛有一定量的刚性双原子分子理想气体，气缸活塞的面积S0.05m，活塞与气缸壁之间不漏气，摩擦忽略不计．活塞右侧通大气，大气压强p01.0105Pa。劲度系数k510N/m的一根弹簧的两端分别固定于活塞和一固定板上(如图)。开始时气缸内气体处于压强、体积分别为p1p01.010Pa，V10.015m的初态。今缓慢加

热气缸，缸内气体缓慢地膨胀到V20.02m。求：在此过程中气体从外界吸收的热量。

3534253

【例4】如图所示，两个截面相同的圆柱形容器，右边容器高为H，上端封闭，左边容器

上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。两容器由装有阀门的极细管道相连通，

容器、活塞和细管都是绝热的。开始时，阀门关闭，左边容器中装有热力学温度为T0的单原子理想气体，平衡时活塞到容器底的距离为H，右边容器内为真空。现将阀门缓慢打开，活塞便缓慢下降，直至系统达到平衡。求此时左边容器中活塞的高度和缸内气体的温度。（一摩尔单原子理想气体的内能为为气体的热力学温度。）

3RT，其中R为摩尔气体常量，T2中学物理竞赛讲义第1页

【例5】绝热容器A经一阀门与另一容积比A的容积大得很多的绝热容器B相连。开始时阀门关闭，两容器中盛有同种理想气体，温度均为30C，B中气体的压强为A中的两倍。现将阀门缓慢打开，直至压强相等时关闭。问此时容器A中气体的温度为多少？假设在打开到关闭阀门的过程中处在A中的气体与处在B中的气体之间无热交换．已知每摩尔该气体的内能为U

【例6】 如图，器壁与活塞均绝热的容器中间被一隔板等分为两部分，其中左边贮有1摩尔处于标准状态的氦气(可视为理想气体)，另一边为真空．现先把隔板拉开，待气体平衡后，再缓慢向左推动活塞，把气体压缩到原来的体积．求氦气的温度改变多少？

5RT，式中R为普适气体恒量，T是绝对温度． 2

【例7】如图所示，有两个底面积为1dm的圆筒，左方筒装有一种气体，质量为4g，体积为20L，压强1atm，温度27C，左方圆筒筒壁绝热，右方圆筒靠一大热库维持温度为27C，右方中装有同种气体，质量12g，体积也是20L，整个系统在真空中。放开活塞，通过连杆，移动了0.5m后达到平衡并静止。试问右方圆筒中的气体吸收了多少热量？气体的定容比热为4J/gK。

（说明：此题数据编的不符合绝热方程，仅为计算方便）

2

【例8】一定量的理想气体经历如图所示的循环过程，A→B和C→D是等压过程，B→C和D→A是绝热过程．已知：TC300K，TB400K。试求：此循环的效率。(提示：循环效率的定义式1Q2，Q1为循环中气体吸收的热量，Q2为循环中气体放出的热量） Q1中学物理竞赛讲义第2页

【例9】定容摩尔热容量CV为常量的某理想气体，经历如图所示的pV平面上的两个循环过程A1B1C1A1和A2B2C2A2，相应的效率分别为1和2，试比较1和2的大小．

中学物理竞赛讲义第3页

热学复赛真题

（32届复赛）七、（22分）如图，1mol单原子理想气体构成的系统分别经历循环过程abcda和abca。已知理想气体在任一缓慢变化过程中，压强p和体积V满足函数关系pfV。

（1）试证明：理想气体在任一缓慢变化过程的摩尔热容可表示为

CCVpRdppVdV

式中，CV和R分别为定容摩尔热容和理想气体常数； （1） 根据热力学第一定律，有：

dUQW （1）

这里，对于1mol理想气体经历的任一缓慢变化过程中，Q，W和dU可分别表示为

QCdT,WpdV,dUCVdT （2）

将理想气体状态方程：pVRT 两边对T求导，可得：

dVdPdVpVR （3） dTdVdTdpdpdV式中利用了 dTdVdT根据（3）式有：

dVR （4） dTpVdpdV联立（1）（2）（4）式得：

pR （5） CCVdppVdV（2） 计算系统经bc直线变化过程中的摩尔热容；

设bc过程方程为：pV， （6）

根据

CCV可得直线过程的摩尔热容为：

CCVpRdppVdV

VR （7）

2V3R，对bc过程初态(3p1,V1)和终态2式中，CV是单原子理想气体的定容摩尔热容，CV(p1,5V1)有：

中学物理竞赛讲义第4页

3p1V1p15V17p由（8）式可得：p1，1 （9）

22V1由(6)(7)(8)(9)式得

（8）

C8V35V1R （10）

4V14V1

（3） 分别计算系统经bc直线过程中升降温的转折点在p-V图中的坐标A和吸放热的转折点在p-V图中的坐标B； 根据过程热容的定义有：

QC （11）

T式中，Q是气体在此直线过程中，温度升高T时从外界吸收的热量，由(10)(11)式可得：

4V14V1TRQ （12）

8V35V18V35V1T （13） Q4V14V1R由(12)式可知，bc过程中的升降温的转折点A在pV图上的坐标为

77AV1,p1 （14） 24由(10)式可知，bc过程中吸放热的转折点B在pV图上的坐标为

35V121p1B, （15）

816

（4）定量比较系统在两种循环过程的循环效率。

对于abcda循环过程，ab和bc过程吸热，cd和da过程放热

QabnCVTbTa1.5RTbRTa3p1V1QbcnCpTbTa2.5RTcRTb15p1V1 （16）

式中，已利用已知条件n1mol，单原子理想气体定容摩尔热容CV3R，定压摩尔热容2Cp5R。气体在abcda循环过程的效率可表示为循环过程中对外做的功除以总吸热，即 2abcdaWabcda4p1V10.22 （17）

QabQbc18p1V1对于abca循环过程，ab和bB过程吸热，Bc和ca过程放热。由热力学第一定律可得，

bB过程吸热为：

QbcUbBWbBnCVTBTb1pB3p1VBV111.39p1V1 （18） 2中学物理竞赛讲义第5页

所以循环过程abca的效率为：

abcaWabca4pV110.278 （19）

QabQbc14.39pV11所以abcaabcda

（31届复赛）二、(16分) 一种测量理想气体的摩尔热容比Cp/CV的方法（Clement-Desormes方法）如图所示：大瓶G内装满某种理想气体，瓶盖上通有一个灌气（放气）开关H，另接出一根U形管作为压强计M。瓶内外的压强差通过U形管右、左两管液面的高度差来确定。 初始时，瓶内外的温度相等，瓶内气体的压强比外面的大气压强稍高，记录此时U形管液面的高度差hi。然后打开H，放出少量气体，当瓶内外压强相等时，即刻关闭H。 等待瓶内外温度又相等时，记录此时

U形管液面的高度差hf。试由这两次记录的实验数据hi和hf，导出

瓶内气体的摩尔热容比的表达式．（提示：放气过程时间很短，可视为无热量交换；且U形管很细，可忽略由高差变化引起的瓶内气体在状态变化前后的体积变化） 瓶内的理想气体经历如下两个气体过程：

放气(绝热膨胀)等容升温(pi,V0,T0,Ni)(p0,V0,T,Nf)(pf,V0,T0,Nf)

其中，pi,V0,T0,Ni，p0,V0,T,Nf和pf,V0,T0,Nf分别是瓶内气体在初态、中间态与末态的压强、体积、温度和摩尔数。根据理想气体方程pVNkT，考虑到由于气体初、末态的体积和温度相等，有

pfpiNfNi

另一方面，设V是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为p0时的体积，即：

绝热膨胀(pi,V0,T0,Ni)(p0,V,T,Ni)

Vp此绝热过程满足，00

V0pi由状态方程p0VNikT和p0V0NfkT，所以

1/NfNiV0 Vp0联立上述式子可得

pipipf1/

中学物理竞赛讲义第6页

pip0所以

pilnpfln由力学平衡条件可知pip0ghi，pfp0ghf

式中，p0gh0为瓶外大气压强，是U形管中液体的密度，g是重力加速度。可得：

ln(1hi)h0hhln(1i)ln(1f)h0h0

利用近似关系式：当x1，ln1xx，以及

hih01，

hfh01，有

hi/h0hi

hi/h0hf/h0hihf（30届复赛）六、（15分）温度开关用厚度均为0.20 mm的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20C时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片. 若钢和青铜的线膨胀系数分别为1.010/度和2.010/度. 当温度升高到120C时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示。试求双金属片弯曲的曲率半径. (忽略加热时金属片厚度的变化。)

设弯成的圆弧半径为r，金属片原长为l，圆弧所对的圆心角为，钢和青铜的线膨胀系数分别为1和2，钢片和青铜片由T120C升高到T2120C时伸长量分别为l1和l2，对于钢片有：

55drl1l1

2l1l1T2T1

式中，d0.20mm，对于青铜片有：

drl2l2

2l2l2T2T1

联立以上各式得

r2(12)(T2T1)d2.0102 mm

2(21)(T2T1)（29届复赛）六、（15分）如图所示，刚性绝热容器A和B水平放置，一根带有绝热阀门和多孔塞的绝热刚性细短管把容器A、B相互连通。初始时阀门是关闭的，A内装有某种

中学物理竞赛讲义第7页

理想气体，温度为T1；B内为真空。现将阀门打开，气体缓慢通过多孔塞后进入容器B中。当容器A中气体的压强降到与初始时A中气体压强之比为时，重新关闭阀门。设最后留在容器A内的那部分气体与进入容器B中的气体之间始终无热量交换，求容器B中气体质量与气体总质量之比。已知：1摩尔理想气体的内能为uCT，其中C是已知常量，T为绝对温度；一定质量的理想气体经历缓慢的绝热过程时，其压强p与体积V满足过程方程

pVCRC常量，其中R为普适气体常量。重力影响和连接管体积均忽略不计。

设重新关闭阀门后，容器A中的气体的摩尔数为n1，B中气体摩尔数为n2，则气体的总摩尔数为

nn1n2

把两容器中的气体当作整体来考虑，设重新关闭阀门后，容器A中的气体温度T1，B的温度为T2，重新关闭阀门之后与打开阀门之前气体内能的变化可表示为

Un1CT1T1n2CT2T1

由于容器是刚性绝热的，按热力学第一定律有：

U0

令V1表示容器A的体积，初始时A中气体的压强为p1，关闭阀门后A中气体压强为p1，由理想气体状态方程可知：

n由以上各式可解得

p1V1p1V1,n1 RT1RT1T21TT11 T1T1由于进入容器B中的气体与仍留在容器A中的气体之间没有热量交换，因而在阀门打开到重新关闭的过程中留在容器A中的那部分气体经历了一个绝热过程，设这部分气体初始时体积为V10（压强为p1时），则有

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pV利用状态方程可得：

CRC110p1VCRC1

p1V1 pV110T1T1综合上述式子，阀门重新关闭后容器B中的气体质量与气体总质量之比为

n22Rn2CRRCRCCR

中学物理竞赛讲义第9页