第十六章 结构动力学
【例16-1】不计杆件分布质量和轴向变形 ，确定图16-6 所示刚架的动力自由度 。
图16-6
【解】各刚架的自由度确定如图中所示。这里要注意以下两点：
1． 在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以刚架上所有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。
2． 集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的定义及问题的具体情形确定。
【例16-2】 试用柔度法建立图16-7a所示单自由度体系，受均布动荷载q(t)作用的运动方程。
【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。对于非质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。
设图a质量任一时刻沿自由度方向的位移为y（向下为正）。把惯性力I、阻尼力R及动荷载P(t)，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y，由叠加原理（见图b、c、d及e），则
，得
，q(t)，
式中，
。将它们代入上式，并注意到
384EI48EI 图16-7
经整理后可得
式中，，
PE(t)称为等效动荷载或等效干扰力。其含义为：PE(t)直接作用于质量上所产生的位移和实际动荷载引起的位移相等。图a的相当体系如图f所示。
【例16-3】 图16-8a为刚性外伸梁，C处为弹性支座,其刚度系数为k，梁端点A、D处分别有m和m质量，端点D处装有阻尼器c，同时梁BD段受有均布动荷载q(t)作用，试3
建立刚性梁的运动方程。
【解】 因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。
这个单自由度体系可能产生的位移形式如图b所示，可以用铰B的运动基本
量，而其它一切位移均可利用它来表示。
作为
图16-8
；D点有位移
速度由
及速度，有
；C点约束反力为
。 加速度
将惯性力、阻尼力及约束反力代入上式，得
222322224
经整理，运动方程为 小结：
和
以顺时针向为正。则A点有位移
和加
例16-2及例16-3讨论的是单自由度的一般情况下的运动方程的建立。建立方程的思路是通过分析动力平衡或考虑变形协调。一般来说，对于单自由度体系,求
和k11的难易程度是相同的，因为它们互为倒数，都可用同一方法求得。对于多自由度体系，若是静定结构，一般情况下求柔度系数容易些，但对超静定结构就要根据情况而定。
刚度法和柔度法。它们都是根据达朗贝尔原理和所采用的阻尼理论在体系上加惯性力和阻尼力。刚度法是考虑质量自由度方向的平衡；柔度法是建立沿自由度方向位移的协调条件。
所谓结构振动自由度是指：确定体系全部质点位置所需的位移分量的个数。 在例16-3中我们选取为位移分量，由此得两质点处的位移、加速度及惯性力的表达式。
体系的振动自由度数目既和体系的质点数目有关，又不完全取决于质点数目，自由度还和体系的可能位移状态有关（如例题16-3），因此要根据具体问题，按自由度定义分析确定。另一方面，自由度是确定质点空间位置的坐标（位移分量）个数，它和结构超静定次数或位移个数没有关系。
任何单自由度的振动问题，本质上都可抽象为质点、弹簧、阻尼器体系。从实际结构到抽象模型的关键是求m和k（或）。
【例16-4】试 写 出 图 16-9a 质 点 m 的 运 动 微 分 方 程 ， 并 计 算 各 系 数 。
图16-9 【解】
列位移方程
3
(2) 计算系数项(图b) ， (3) 计算自由项(图c,d )
同理，
4a3
(4) 将 系 数 代 入 位 移 方 程 ，
或
16Q(t)
【例16-5】 试 按刚度法列 出 图 16-10a所示 刚 架 在 给 定 荷 载 作 用 下 的 动 力 平 衡 方 程 。
图16-10 【解】
( 1 ) 考 虑 质 点 m 平 衡 (图b) 有
(2) 确 定 弹 性 力 恢 复 力 S ,
弹 性 力 恢 复 力S 可 以 认 为 由 两 部 分 叠 加 而 成 。 第 一 部分 为 使 m 产 生 位 移 施 加 的 力R11； 第 二 部 分 为 m 不 动 在 荷 载 作 用 下 产 生 的 反 力 R1P , 即
代 回 动 力 平 衡 方 程 得 ，
【例16-6】 图 16-11a所示梁不计自重 ，
求 自 振 频 率 。
图16-11 【解】由M图（图b），求得柔 度 为：。 所以，
【例16-7】 图 16-12a所示 单 跨 梁 不 计自重 ，杆 无 弯 曲 变 形 ，弹 性 支 座 刚 度 为 k ，求 自 振 频 率 。
图16-12
【解】在 W处 加
。
42【例16- 8】 图 16-13a所示梁不计自 重 ，振 圆频 率 。
【解】由于对称跨中无转角 ，求刚度k。
，则l32kkg
，求 自
。
图16- 13
【例16-9】 试求图16-14a所示结构的自振频率。略去杆件自重及阻尼影响。
图16-14
【解】图a为一次超静定结构，用力矩分配法作出单位弯矩图（图b）。计算质点处的柔度系数（即位移计算），由图b（或图c）与图d（虚拟状态），得
则，
【例16-10】作图16-15a所示 结构的动 力 弯 矩 幅 值 图 。已 知 质 点 重 W = 11536EIEI。
2.1kN，扰 力 幅 值 P = 0.75kN，扰 力 频 率 -1，梁 的 抗 弯 刚 度 EI = 4490kN·m。 2
图16-15
【解】由图b列 幅 方 程 ，即
，
由图c求柔度系数11m3
由图d求柔度系数
0102m , 3
将动荷载P和惯性力加于结构上，得动力弯矩幅值图如图e所示。 【例16-11】 图16-16a所 示 体 系 中 ，电 机 重 置 于 刚 性 横 梁 上 ，电 机 转 速 ，水 平 方 向 强 迫 力 为 ，已 知 柱
，即
，
，即
， 3EI ，因为
顶 侧 移 刚 度
及 最 大 动 力 弯 矩 图 。
，自 振 频 率
。求 稳 态 振 动 的 振 幅
8 4-12 图16-16
【解】只有水平振动。干扰力频率，动力系数 静位移 -
振 幅 动 力 弯 矩 图 （图c）。
【例16-12】 图 16-17a所示 体 系 各 柱 EI = 常 数 ，柱 高 均 为 l，
。求 最 大 动 力 弯 矩 。
图16-17
【解】由图b可知，，则自 振 频 率
。
动力系数
，最 大 动 力 弯 矩
（见图c、d）。
【例16-13】 求 图 16-18a所示 体 系 的 自 振 频 率 和 主 振 型 ，并 作 出 振 型 图 。已 知 ：，EI = 常 数 。
图16-18
【解】用柔度法作。
1．为求柔度系数，首先绘出单位弯矩图(图b和c)。由位移计算公式，
，
2．求频率
将它们代入频率方程，即
展开上式并令1
得
得 10
两个根为
，
，
2
从而可得两个自振频率为
3．求主振型
下面确定相应的两个主振型。求第一振型时，将代入上式，由于系数行列式为零，所以两个方程线性相关，只有一个是的，可由其中任何一式求得A1值，比如由第一式可得 (1)与A2(1)的比
EI
同理可求得第二振型为
(2)A1
两振型的规准化矩阵表达式为
，
如图d、e所示。
【例16-14】 求 图16-19a所 示 体 系 的 频 率 方 程 。 图16-19
【解】本题为两个动力自由度（图b）。另外注意的是，水平向的振动的质点是2m。于是由图b列 幅 值 方 程 ：
，
由图c、d求柔度系数，其结果如下。
，
12EI 。
l3 【例16-15】 求 图 16-20a所示 两 个 自 由 度 体 系 的 自 振 频 率 ，
图16-20
【解】用柔度法解。首先根据图c、d计算柔度系数，其位移计算公式为
，这里 支座反力为弹支座处位移。 EIk
l319l3l3113l3
。
，解得 将它们代入频率方程， ，2。 ml3ml3
【例16-16】求 图 16-21a所示 体 系 的 自 振 频 率 、振 型 及 广 义 质 量 。
，
图16-21
【解】由图b幅 值 方 程 为 ：
整理后得，
令上的系数行列为零，得频率方程，由该方程的两频率如下
振 型 1：
，见图c。 22
广 义 质 量 为：
，振 型 2：
，
【例16-17】 求 图16-22a 示 桁 架 的 自 振 频 率 。各 杆 EA 为 常 数。
图16-22
【解】 将 振 动 分 为 竖 向 、水 平 分 量 ，求 1，2
； ；
【例16-18】 试求图16-23a所示刚架的自振频率和主振型。EI=常数。
图16-23
【解】图a在不计轴向变形情况下，则与图b的振动是相同的。因此图a可分成反对称（图c）和正对称（图d）的振动。 第一频率由单自由度频率计算公式 移计算公式，得柔度系数为 可知，则为反对称情况。由单跨梁的位m 7l3
则第一频率为
同理第二频率为
振型：第一振为反对称振动，如图e所示；第二振为对称振动，如图f所示；
【例16-19 】 图16-24所示梁的质量重频率，已知梁的，向位移。梁自重不计。
【解】用柔度法解。由图b、c、d计算系数及自由项如下：
， ， ， 。 EI3EI8EI24EI 并乘以代入，稳态振动
位移幅值方程 有
解得
，
，振动力最大值，干扰
。试求两质点处的最大竖
图16-24
【例16-20】 图16-25a所示刚架各横梁刚度无穷大，试求各横梁处的位移幅值和柱端
52弯矩幅值。已知，。；简谐荷载幅值，每
分钟振动240次。
图16-25
【解】用刚度法解。稳态振动位移幅值方程
有
，
。
，
。
（单位t，即103kg）
代入稳态振动位移幅值方程，有
解得 y3
，
惯性力幅值为
，即
，
本题横梁刚度为无穷大，每层只有两根柱且截面及高度相等，故每根柱的弯矩为
Qi为该层的总剪力，等于该层以上水平外力（包括惯性力）的代数和；h为该层柱高。于是各层柱端弯矩为
中层：
。如图b所示。对于横梁的杆端第层：
顶层： 弯矩可由刚结点力矩平衡推求。
【例16-21】 用振型分解法重作例16-20。 【解】已知 频率为：，
，
。
，
得广义质量
广义荷载
因系简谐荷载，又不计阻尼，由下式比较可得
，则其解为
，这里所以
2222M2
而
，
，
， TT
振型为：
，
计算几何坐标
即
以下计算同例题16-18，略。
【例16-22】 试用能量法求图16-26a所示梁具有均布质量以梁在自重下的弹性曲线为其振动形式。
的最低频率，设
图16-26
【解】均布自重（图b）下的弯矩方程（图c）为 ql25qlxqx2
有图乘法（图c、d）求挠度曲线方程：
mq2
65l
l
，
