2019-2020学年四川省成都市龙泉驿区九年级(上)第一次诊断数学试卷(解析版)

诊断数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为( ) A．ax2bxc0

B．x21x1 C．2x3y50 D．x2102．在下图中，反比例函数y

2

x

的图象大致是( ) A． B．

C． D．

3．抛物线y4(x3)212的顶点坐标是( ) A．(3,12)

B．(4,12)

C．(3,12)

D．(3,12)4．一元二次方程x26x100的根的情况是( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

5．抛物线y(x2)21可以由抛物线yx2平移得到，下列平移方法中正确的是(A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 6．在同一坐标系中，函数y

k

x

和ykx1的图象大致是( ) )

A． B．

C． D．

4的图象上，则( ) x7．已知点A(3,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)都在反比例函数yA．y1y2y3

B．y3y2y1

C．y3y1y2 D．y2y1y3

8．若x1是关于x的一元二次方程x23xm10的一个解．则m的值是( ) A．1

2B．2 C．1 D．2

9．关于抛物线yx2x1，下列说法错误的是( ) A．开口向上

C．对称轴是直线x1 10．如图，直线ymx与双曲线y

B．与x轴有一个交点

D．当x1时，y随x的增大而减小

k

交于A、B两点，过点A作AMx轴，垂足为M，x

连接BM，若SABM2，则k的值是( )

A．2

B．m2

C．m

D．4

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．已知x1，x2是方程2x23x10的两根，则x1x2 ． 12．抛物线yx26x2的对称轴为直线 ． 13．点A，B为反比例函数y则m ．

k图象上两点，其中点A坐标为(1,2)，B点坐标为(2,m)，x14．若二次函数y(a1)x23xa21的图象经过原点，则a的值必为 ． 三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15．解方程 （1）4(x2)29 （2）2x25x70

16．已知关于x的一元二次方程x2mx40．

（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；

212时，求m的值． （2）设方程的两个实根分别为x1，x2，当x12x217．一次函数yx3与反比例函数y求：（1）点A和点B的坐标； （2）ABO的面积．

4有两个交点A和B． x

18．如图，二次函数的图象与x轴交于A(3,0)和B(1,0)两点，交y轴于点C(0,3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D，交y轴为E． （1）求二次函数的解析式； （2）求

BE的值． BD

19．冬天即将到来，龙泉某中学的初三学生到某蔬菜生产基地作数学实验．在气温较低时，

蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜，经收集数据，该班同学将大棚内温度和时间的关系拟合为一个分段函数，如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(C)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题：

（1）求这天的温度y与时间x(0剟x24)的函数关系式；

（2）若大棚栽种某种蔬菜，温度低于10C时会受到伤害．问若栽种这种蔬菜，恒温系统最多可以关闭多少小时就必须再次启动，才能使蔬菜避免受到伤害？

20．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示1的直角坐标系，抛物线可以用yx2bxc表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离

6为3m，到地面OA的距离为

17m． 2（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．关于x的一元二次方程2x22x(a1)0没有实数根，整数a的最小值为 ． 22．抛物线yax2bxc经过点A(5,0)，对称轴是直线x2，则abc ． 23．如图，矩形OABC的对角线OB，CA交于点D，OA1，ODA60．双曲线y

kx

经过点B，则k ．

24．若关于x的方程(x4)(x26xm)0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为 ．

25．如图， 在平面直角坐标系中， 反比例函数y1k1k(x0)的图象与y22(x0)的xxkk图象关于x轴对称，RtAOB的顶点A，B分别在y11(x0)和y22(x0)的

xx图象上 ． 若OBAB，点B的纵坐标为2，则点A的坐标为 ．

五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

26．四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件． （1）求每天的销售量y（件)与销售单价x（元)之间的函数关系式；

（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？

（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围．

27．如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的横纵坐标之比为3:4，反比例函数y点F．

k(k0)在第一象限内的图象经过点A，且与BC交于x（1）若OA10，求反比例函数解析式；

（2）若点F为BC的中点，且AOF的面积S12，求OA的长和点C的坐标．

28．已知，ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为(6,0)，B点坐标为(4,0)，点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点

的抛物线的解析式为yax2bx8． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，将BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；

（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线yax2bx8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2019-2020学年四川省成都市龙泉驿区九年级（上）第一次诊断

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为( ) A．ax2bxc0

B．x211 xC．2x3y50 D．x210

【解答】解：A、a0，b0时，是一元一次方程，故A错误； B、是分式方程，故B错误； C、是二元一次方程，故C错误；

D、是一元二次方程，故D正确．

故选：D．

2．在下图中，反比例函数y

2

的图象大致是( ) x

A． B．

C．【解答】解：

D．

k2，可根据k0，反比例函数图象在第一、三象限；

在每个象限内，y随x的增大而减小．

故选：D．

3．抛物线y4(x3)212的顶点坐标是( ) A．(3,12)

B．(4,12)

C．(3,12)

D．(3,12)

【解答】解：抛物线y4(x3)212，

顶点坐标为(3,12)．

故选：A．

4．一元二次方程x26x100的根的情况是( ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

【解答】解：△624110364040， 此方程无实数根，

故选：D．

5．抛物线y(x2)21可以由抛物线yx2平移得到，下列平移方法中正确的是(A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

【解答】解：函数yx2的图象沿沿x轴向左平移2个单位长度， 得，y(x2)2；

然后y轴向下平移1个单位长度， 得，y(x2)21；

故可以得到函数y(x2)21的图象． 故选：B．

6．在同一坐标系中，函数y

k

x

和ykx1的图象大致是( ) A． B．

C． D．

) 【解答】解：当k0时，

反比例函数的图象分布于一、三象限， 一次函数的图象经过一、二、三象限， 当k0时，

反比例函数的图象分布于二、四象限， 一次函数的图象经过一、二、四象限，

ky联立 xykx1可得：kx2xk0， △14k20，

所以此时反比例函数与一次函数的有两个交点． 故选：A．

7．已知点A(3,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)都在反比例函数yA．y1y2y3

B．y3y2y1

4的图象上，则( ) xC．y3y1y2 D．y2y1y3 44的图象上，y1；x3【解答】:点A(3,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)都在反比例函数yy22；y34， 3442， 33y3y1y2．

故选：D．

8．若x1是关于x的一元二次方程x23xm10的一个解．则m的值是( ) A．1 【解答】解：

B．2

C．1

D．2

x1是关于x的一元二次方程x23xm10的一个解，

(1)23(1)m10，

解得，m1， 故选：C．

9．关于抛物线yx2x1，下列说法错误的是( ) A．开口向上

C．对称轴是直线x1 【解答】解：

B．与x轴有一个交点

2D．当x1时，y随x的增大而减小

yx22x1(x1)2，

抛物线开口向上，对称轴为x1，当x1时，y随x的增大而增大，

A、C正确，D不正确；

令y0可得(x1)0，该方程有两个相等的实数根，

2抛物线与x轴有一个交点，

B正确；

故选：D．

10．如图，直线ymx与双曲线y

k

交于A、B两点，过点A作AMx轴，垂足为M，x

连接BM，若SABM2，则k的值是( )

A．2

B．m2

C．m

D．4

【解答】解：设A(x,y)， 直线ymx与双曲线yB(x,y)， SBOM11|xy|，SAOM|xy|， 22k交于A、B两点， xSBOMSAOM，

SABMSAOMSBOM2SAOM2，SAOM1|k|1，则k2． 2又由于反比例函数位于一三象限，k0，故k2． 故选：A．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．已知x1，x2是方程2x23x10的两根，则x1x2 【解答】解：x1x2故答案为

3． 233． 223 ． 212．抛物线yx26x2的对称轴为直线 x3 ． 【解答】解：

yx26x2(x3)27，

对称轴是直线x3，

故答案为：x3．

13．点A，B为反比例函数y则m 1 ．

【解答】解：把点A坐标为(1,2)代入yk2，

反比例函数的解析式为yk图象上两点，其中点A坐标为(1,2)，B点坐标为(2,m)，xkk中得，2， x12， x2得，m1， x把B点坐标为(2,m)代入y故答案为：1．

14．若二次函数y(a1)x23xa21的图象经过原点，则a的值必为 1 ． 【解答】解：把(0,0)代入y(a1)x23xa21得a210，解得a1或a1， 而a10， 所以a的值为1． 故答案为1．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15．解方程 （1）4(x2)29 （2）2x25x70

【解答】解：（1）方程两边除以4得：(x2)29， 43开方得：x2，

2x171，x2； 22

（2）2x25x70， (2x7)(x1)0， 2x70，x10，

x17，x21． 216．已知关于x的一元二次方程x2mx40．

（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；

212时，求m的值． （2）设方程的两个实根分别为x1，x2，当x12x2【解答】（1）证明：△m24(4)m2160， 所以对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）根据题意得x1x2m，x1x24，

2x12x212，

(x1x2)22x1x212，

即m22(4)12， m2或m2．

17．一次函数yx3与反比例函数y求：（1）点A和点B的坐标； （2）ABO的面积．

4有两个交点A和B． x

yx3x1x4【解答】解：（1）解或， 4得，y4y1yxA(1,4)，B(4,1)；

（2）在yx3中，令x0，则y3， C(0,3)， ABO的面积11153134． 22218．如图，二次函数的图象与x轴交于A(3,0)和B(1,0)两点，交y轴于点C(0,3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D，交y轴为E． （1）求二次函数的解析式； （2）求

BE的值． BD

【解答】解：（1）设该函数的解析式为ya(x3)(x1) 则3a(03)(01)， 解得，a1，

y(x3)(x1)x22x3，

即二次函数的解析式；是yx22x3； （2）

yx22x3(x1)24，

该函数的对称轴是直线x1，

点C(0,3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点， 点D的坐标为(2,3)，

设过点B(1,0)、点D(2,3)的直线的函数解析式为ykxb， kb0k1，得， 2kb3b1即直线BD的解析式为yx1， 当x0时，y010， 即点E的坐标为(0,1)， 作DFAB于点F，

DFAB，EOAB于点O， BEO∽BDF， 

BEBO， BDBF点B(1,0)，点F(2,0)， BO1，BF3， 

BO1， BF3BE1． BD3

19．冬天即将到来，龙泉某中学的初三学生到某蔬菜生产基地作数学实验．在气温较低时，蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜，经收集数据，该班同学将大棚内温度和时间的关系拟合为一个分段函数，如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(C)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题：

（1）求这天的温度y与时间x(0剟x24)的函数关系式；

（2）若大棚栽种某种蔬菜，温度低于10C时会受到伤害．问若栽种这种蔬菜，恒温系统最多可以关闭多少小时就必须再次启动，才能使蔬菜避免受到伤害？

【解答】解：（1）设线段AB解析式为yk1xb(k0) 线段AB过点(0,10)，(2,14) b10代入得，

2kb141k2得1，

b10AB解析式为：y2x10(0„x5) B在线段AB上当x5时，y20 B坐标为(5,20)

线段BC的解析式为：y20(5„x10)

设双曲线CD解析式为：yC(10,20) k2200

双曲线CD解析式为：yk2(k20) x200(10剟x24) xy关于x的函数解析式为：

2x10(0剟x5)y20(5„x10) 200(10剟x24)x（2）把y10代入y201010

200中，解得，x20 x答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．

20．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示1的直角坐标系，抛物线可以用yx2bxc表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离

6为3m，到地面OA的距离为

17m． 2（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

【解答】解：（1）根据题意得B(0,4)，C(3,把B(0,4)，C(3,17)， 2171)代入yx2bxc得 26c417 1233bc26b2解得．

c41所以抛物线解析式为yx22x4，

61则y(x6)210，

6所以D(6,10)，

所以拱顶D到地面OA的距离为10m；

（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0)， 当x2或x10时，y226， 3所以这辆货车能安全通过．

四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．关于x的一元二次方程2x22x(a1)0没有实数根，整数a的最小值为 0 ． 【解答】解：根据题意知△(2)242(a1)0， 则a0.5，

整数a的最小值为0，

故答案为：0．

22．抛物线yax2bxc经过点A(5,0)，对称轴是直线x2，则abc 0 ． 【解答】解：抛物线yax2bxc经过点A(5,0)，对称轴是直线x2， 点A关于x2对称点的坐标为：(1,0) 当x1时，yabc0，

故答案为0．

23．如图，矩形OABC的对角线OB，CA交于点D，OA1，ODA60．双曲线y经过点B，则k 3 ．

kx

【解答】解：四边形OABC是矩形， 11ACBO，ODOB，ADAC，

22ODAD， ODA60， ADO是等边三角形，

AOB60，

AB3OA3， k3，

故答案为：3．

24．若关于x的方程(x4)(x26xm)0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为 65 ． 9【解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c， 依题意可得

x40或x26xm0， x4，x26xm0，

设x26xm0的两根为a、b，

(6)24m0，m9，

根据根与系数关系，得ab6，abm，则c4， ①c为斜边时，a2b2c2，(ab)22abc2 ； 622m42，m10（不符合题意，舍去）②a为斜边时，c2b2a2，

42(6a)2a2，

a135，b6a， 3313565， 339mab故答案为

65． 925．如图， 在平面直角坐标系中， 反比例函数y1k1k(x0)的图象与y22(x0)的xxkk图象关于x轴对称，RtAOB的顶点A，B分别在y11(x0)和y22(x0)的

xx图象上 ． 若OBAB，点B的纵坐标为2，则点A的坐标为 (35， 15) ．

【解答】解： 如图，

作正方形ABOC，过点C作CDy轴于D，过点E作BEy轴于E，

ODCBEO90，OBOC，CODBOE90， CODOCD90， OCDBOE， CODOBE，

CDOE2，ODBE，SCODSOBE，

反比例函数y1k1k(x0)的图象与y22(x0)的图象关于x轴对称， xxk1k20，

点C在双曲线y1k1上， x设B(m，2)(m0)，

C(2,m)，

k12m

连接BC交OA于H，

则CHBH，OHAH，

H(m2m2，)， 22A(m2,m2)，

k1(m2)(m2)

(m2)(m2)2m，

m15或m15（舍)， m235，m215，

A(35，15)，

故答案为：(35，15)．

五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

26．四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊猫纪念品．已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，售价每上涨1元，销量下降10件． （1）求每天的销售量y（件)与销售单价x（元)之间的函数关系式；

（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？

（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围． 【解答】解：（1）根据题意，得 y25010(x45)10x700．

答：每天的销售量y（件)与销售单价x（元)之间的函数关系式为y10x700．

240 （2）销售量不低于240件，得10x700…解得x„46，

30x„46．

设销售单价为x元时，每天获取的利润是w元，根据题意，得 w(x30)(10x700) 10x21000x21000

10(x50)24000

100，

所以x50时，w随x的增大而增大， 所以当x46时，w有最大值，

w的最大值为10(4650)240003840．

答：销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． （3）根据题意，得

w15010x21000x210001503600

即10(x50)2250 解得x155，x245，

x55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元． 根据图象得，当45剟

27．如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，点A的横纵坐标之比为3:4，反比例函数y点F．

（1）若OA10，求反比例函数解析式；

（2）若点F为BC的中点，且AOF的面积S12，求OA的长和点C的坐标．

k(k0)在第一象限内的图象经过点A，且与BC交于x

【解答】解：（1）过点A作AHOB于H，

点A的横纵坐标之比为3:4， sinAOB4，OA10， 5AH8，OH6，

A点坐标为(6,8)，根据题意得： 8k，可得：k48， 648(x0)； x反比例函数解析式：y

（2）设OAa(a0)，过点F作FMx轴于M，过点C作CNx轴于点N， 由平行四边形性质可证得OHBN， 点A的横纵坐标之比为3:4， sinAOBAH4， 543a，OHa， 5514362aaa， 25525SAOHSAOF12，

S平行四边形AOBC24，

F为BC的中点， SOBF6，

BFFM1a，FBMAOB， 223a，BMa， 51011233BMFMaaa2， 225105032a， 50SBMFSFOMSOBFSBMF6点A，F都在ySAOHSFOM

k

的图象上， x

1k， 2623a6a2， 2550a103， 3103， 383，OH23， 3OAAHS平行四边形AOBCOBAH24，

OBAC33， ONOBOH53，

C(53，83)． 3

28．已知，ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为(6,0)，B点坐标为(4,0)，点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点

的抛物线的解析式为yax2bx8． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，将BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；

（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线yax2bx8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）抛物线yax2bx8经过点A(6,0)，B(4,0)， 36a6b80 16a4b801a3 解得b2312抛物线的解析式是：yx2x8．

33

（2）如图①，作DM抛物线的对称轴于点M，， 设G点的坐标为(1,n)， 由翻折的性质，可得BDDG， B(4,0)，C(0,8)，点D为BC的中点， 点D的坐标是(2,4)，

点M的坐标是(1,4)，DM2(1)3，

B(4,0)，C(0,8)，

BC428245，

BD25，

在RtGDM中，

32(4n)220，

解得n411，

G点的坐标为(1,411)或(1,411)．

（3）抛物线yax2bx8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形．

①当CD//EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②， 由（2），可得点D的坐标是(2,4)，

设点E的坐标是(c,0)，点F的坐标是(1,d)， 0c1222 则80d422c1解得

d4点F的坐标是(1,4)，点E的坐标是(1,0)．

②当CD//EF，且点E在x轴的负半轴时，如图③， 由（2），可得点D的坐标是(2,4)，

设点E的坐标是(c,0)，点F的坐标是(1,d)， 0(1)c222 则8d0422c3解得

d4点F的坐标是(1,4)，点E的坐标是(3,0)．

③当CE//DF时，如图④，， 由（2），可得点D的坐标是(2,4)，

设点E的坐标是(c,0)，点F的坐标是(1,d)， 02c(1)22则 84d022c3解得

d12点F的坐标是(1,12)，点E的坐标是(3,0)．

综上，可得

抛物线yax2bx8的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，

点F的坐标是(1,4)、(1,4)或(1,12)．