维普资讯 http://www.cqvip.com 基于准均匀Ｂ样条曲线的隧道断面测量粗糙度分析评价方法：韩艳张献州 张瑞 ３ １ 基于准均匀Ｂ样条曲线的隧道断面 测量粗糙度分析评价方法 韩 艳 张献州 张 瑞 （西南交通大学，四川成都６１００３１） Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ Ａｎａｌｙｚｉｎｇ ａｎｄ Ｅｖａｌｕａｔｉｎｇ Ｒｏｕｇｈｎｅｓｓ ｏｆ Ｔｕｎｎｅｌ Ｃｒｏｓｓ Ｓｅｃｔｉｏｎ Ｂａｓｅ ｏｎ Ｑｕａｓｉ—ＵＩｌｉｏｆｒｍ Ｂ－Ｓｐｌｉｎｅ Ｃｕｒｖｅ Ｈａｎ Ｙａｎ Ｚｈａｎｇ Ｘｉａｎｚｈｏｕ Ｚｈａｎｇ Ｒｕｉ 摘要隧道开挖断面的粗糙度是评价隧道施工质量的重要指标。介绍了准均匀Ｂ样条曲线的 构造原理及其在隧道开挖断面粗糙度分析中的应用。以锦屏水电站枢纽工程辅助洞横断面测量数据为 例，说明了用准均匀Ｂ样条插值方法生成隧道断面曲线并分析其粗糙度的方法。 关键词 隧道断面测量 曲线构造理论准均匀Ｂ样条粗糙度分析评价 在锦屏辅助洞隧道断面测量的基础上，绘制出开 挖断面线及内外包络线，应用粗糙度方法对断面线进 ， （ ）＝ Ｂ泓一 （ ）＋ 行了评价。本次横断面测量仪器使用中纬ＺＴＳ６００型 全站仪，其标称测角精度为２”，测距精度为±（２ ｍｍ＋ Ｂ （ ），ｋ＞０（２） ５×１０ Ｄ）ｍｍ。在测量过程中，对当地的温度、气压 并约定０／０＝０。式中ｋ表示Ｂ样条的幂次，ｔ为 等仪器参数进行了现场改正。为了更好的反映目前辅 节点，下标ｉ为Ｂ样条的序号。 助洞的成形效果及超欠挖情况，断面图的绘制采用准 １．３ Ｂ样条曲线最重要的性质 均匀Ｂ样条的方法。 Ｂ样条方法是在保留贝齐尔方法的优点，同时克 １ 准均匀Ｂ样条曲线原理 服其由于整体表示带来不具有局部性质的缺点，及解 １．１ 内插的概念 决在描述复杂形状时带来的连接问题下提出来的。 给定一组有序的数据点Ｐ （ｉ＝０，１，…，ｎ），要求构 Ｂ样条方法具有统一、通用、有效的标准算法及强 有力的配套技术。Ｂ样条方法兼具了贝齐尔方法的一 造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点 切优点，具有表示与设计自由型曲线曲面的强大功能， 进行插值（ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ），所构造的曲线称为插值曲 是最广泛流行的形状数学描述的主流方法之一。 线。构造插值曲线所采用的数学方法称为曲线插值 法 Ｊ。本工程中所用的准均匀Ｂ样条法正是曲线插 由递推定义式（１）、式（２）可知 值法之一。插值法在ＣＡＧＤ（计算机辅助几何设计）的 实践中有着广泛的应用。 港誊 ㈩ １．２ Ｂ样条的递推定义 Ｊ 上式表明，第 条ｋ次Ｂ样条仅在节点ｔ 至ｔⅢ＋ 由ｄｅ ＢｏｏｒＬ３ 和Ｃｏｘｌ４ 分别导出的Ｂ样条的递推 的ｋ＋１个区间内不为０，而其余区间内均为０。这个 定义，Ｂ样条可表示为 性质称为局部支柱性质。 局部支柱性质是Ｂ样条曲线最重要的性质之一。 ） （１） 也正是本次工程中采用准均匀Ｂ样条曲线来插值隧 道断面的主要原因之一。由于局部支柱性质，使得Ｂ 收稿日期：２００７—０８—０１ 第一作者简介：韩艳（１９８０一），女，２００４年毕业于华北水利水电学院 样条曲线具有良好的局部性，从而为曲线、曲面设计奠 机械制造与自动化专业，西南交通大学测量工程系在读硕士研究生。 定了良好的基础。 维普资讯 http://www.cqvip.com ３２ 铁道勘察 ２００７年第５期 Ｂ样条的局部支柱性对曲线、曲面设计有两方面 的影响 ： ①第 段ｋ次Ｂ样条曲线仅由 ， 小…， ＋ 共 ｋ＋１个顶点所控制，而与其他顶点无关。为此，为修改 该段曲线，仅需修改有关的ｋ＋１个顶点即可。 ②反之，修改一个顶点，对Ｂ样条曲线的影响也是 局部的。对于均匀的ｋ次Ｂ样条曲线，调整一个顶点的 位置仅影响与该顶点有关的ｋ＋１段曲线，但对于非均 匀Ｂ样条曲线，由于顶点的变化会导致节点矢量的变化 而影响基函数，对Ｂ样条曲线的影响范围将扩大。 １．４ 准均匀Ｂ样条曲线 （１）准均匀Ｂ样条曲线定义 准均匀Ｂ样条曲线（ｑｕａｓｉ—ｕｎｉｆｏｒｍ Ｂ ｓｐｌｉｎｅ ｃｕｒｖｅ） 』：其节点矢量中两端节点具有重复度ｋ＋１，即 “ｏ＝“１＝…＝“ ，“ ＋１＝“ ＋２＝…＝“ ＋ ＋１，所有内节点 均匀分布，具有重复度１。定义域“∈［“ ，“川］内节 点区间长度Ａ ＝常数＞０（ｉ＝ｋ，ｋ＋１，…，ｎ），与均匀Ｂ 样条曲线定义域内节点分布相同，差别仅在于两端节 点。这样的节点矢量定义了准均匀Ｂ样条基。 （２）准均匀Ｂ样条曲线原理 本文采用的是三次准均匀Ｂ样条基，故以三次为 例，讲述三次准均匀Ｂ样条曲线的构造原理。 采用三次准均匀Ｂ样条，则两端为四重节点，使 得曲线通过多边形的首、末顶点，并与首、末边相切，能 保证Ｂ样条曲线满足两端的插值条件。 应用重节点后，由于基函数的变化，致使各段Ｂ 样条曲线表现为如下诸种情况 』。 第一段曲线 Ｐ１（“）＝［“ “ １】× ， ７ １１ ｌ 一 一 ６ １ 。 ９ ３ ｊ 一 ０ （４） 一３ ３ ０ ０ ・ｌ ０ ０ ０ 第二段曲线 １】× （５） 第三至ｎ一３段（ｎ为型值点数）曲线 Ｐ （“）＝ １３２“““ｌ】× ｒ一１ ３ —３ １．１ ｌｌ ３ —６ ３ ０ Ｉ ｌ ｌ＋１ ｌ一３ ｌ ０ ３ ０ ｌ ｌ＋ １ ４ １ ０ ＋３ ｉ＝３，４，…，ｎ一３（６） 第ｎ一２段（倒数第二段）曲线 一２ Ｌ ＝Ｌ １】× ｌ ｌ ７ ｌ ６ ２ ｌ２ ４ 一 丢 一 ０ 一１ （７） 一 ０ 丢 ０ ＋１ ６ ３ ６ ０ Ｖ 第ｎ一１段（最后一段）曲线 Ｐ （“）＝［Ｕ３“２ ｌ ｌｌ ７ ６ ｌ２ ４ ｌ ５ ３ ２ ４ ４ ｌ ｌ ３ （８） ２ １ Ｏ ．．．．．．４ ４ Ｏ １ ７ １ ０ ＿Ｊ ６ × ｌ２ ４ “ 让 为简便，记Ｐｊ（０）为 ，则由式（４）至式（８），可得 以下方程组 Ｐ ＝÷ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋： （ｉ＝３，４，…，ｎ一３） （９） ＝一 吉 一：＋ 一 ＋ ＝ ＋ ＋一 一 ｛ ＋ 式（９）为根据给定型值点点列 求解插值Ｂ样条 曲线控制顶点的基本方程组。 方程组（９）中的方程数为ｎ，欲求控制顶点数为ｎ ＋２，故尚缺少两个条件。因此，需要补充两个端点条 件。当两端取自由端条件时，补充方程如下所示 维普资讯 http://www.cqvip.com 基于准均匀Ｂ样条曲线的隧道断面测量粗糙度分析评价方法：韩艳张献州 张瑞 ３３ ｆ首端一３ ＋９ｖｏ ６Ｐ． 【末端一３ｖｏ＋９１１．＋ｌ＝６Ｐ （１０） 将式（９）和式（１０）合并求解，得到所有控制点的 坐标。把控制点坐标代人式（４）至式（８）中，便可画出 三次准均匀Ｂ样条曲线。式中 ∈［０，１］为参数， 为控制顶点。 ２准均匀Ｂ样条曲线的具体实现方法 文中主要实现方法是以准均匀Ｂ样条曲线原理 为基础，在ＭＡＴＬＡＢ￣ ， 中建立Ｍ文件予以实现。程 序流程图如图１所示。 图１算法流程 ３锦屏水电站枢纽工程辅助洞横断面粗糙度 分析试验结果 锦屏辅助洞工程位于四川省凉山彝族自治州木 里、盐源、冕宁县交界处的雅砻江干流锦屏大河湾上， 由两条平行的长约１７．５ ｋｍ的单车道隧道组成。两孔 隧道位于锦屏二级水电站４条引水隧洞的南侧，中心 距３５ ｍ。洞线平行于引水隧洞，洞轴线方向为Ｎ５８。 ｗ，距离引水隧洞轴线的最小距离为６０ ｍ。辅助洞纵 坡采用“人”字坡布置，最大纵坡为２５‰，最小纵坡为 ２‰，平均纵坡约为５．４％ｏ。 首先经过所有测点用准均匀Ｂ样条的方法绘制 实测断面曲线图，再通过人工参与将测点分为两部分， 并分别通过这些点画出内、外包络线。每隔１０。取一 个内、外包络线的距离作为其粗糙度，并以平均粗糙度 为依据来评价隧道初期开挖情况。 在本次工程绘制了５个断面图，以其中比较 有特点的两个断面（如图２所示）来证明准均匀Ｂ样 条的可行性。 由图３的平均粗糙度分析判断，断面Ｋ１６＋５００ 图２用准均匀Ｂ样条绘制的实测曲线 比Ｋ１６＋４００的开挖情况要好很多，与实际情况相符， 可见该隧道开挖情况的评价方法是可行的。从而论证 了用准均匀Ｂ样条插值隧道断面曲线更为合理，更能 反映曲线的真实情况。 雹 雹 ５ ４ ３ ２ １ ６ ５ ４ ３ ２ 一３ —２ —１ ０ １ ２ ３ ４ ５ ｙ 断面里程：Ｋ１６＋４００ ｍ 一３ —２ —１ ０ １ ２ ３ ４ ５ 】， 断面里程：Ｋ１６＋５００ ｍ 图３ 内外包络线及其粗糙度 ４ 结论 局部支柱性质是Ｂ样条曲线的最重要的性质之 一。由于其局部支柱性质，使得即使测点数据中含有 少量粗差也不影响整体曲线形状，而只影响与粗差数 据有关的ｋ＋１段曲线。在修改过程中也只需重新编 辑这个粗差点即可，无需再重画整条曲线。经试验证 明，准均匀Ｂ样条用于绘制隧道断面图非常合理可 靠，为隧道断面轮廓的周长、面积、超欠挖方量和通风 效果计算打下了良好的基础，也为优化隧道设计和施 ６１ 维普资讯 http://www.cqvip.com 铁道勘察 ２００７年第５期 地形复杂段路基边桩测设一种新的解析算法 厉旭东 （丽水市城建测量队，浙江丽水３２３０００） Ａ Ｓｏｒｔ ｏｆ Ｎｅｗ Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ Ｓｅｔ ｕｐ Ｓｉｄｅ Ｓｔａｋｅｓ ｉｎ Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｔｅｒｒａｉｎ Ｒｏａｄｂｅｄ Ｌｉ Ｘｕｄｏｎｇ 摘要采用常规解析法，地形变化地段（含倾斜地段）路基边桩的测设，需要采用逐渐趋近法，多 次才可完成测设。提出一种新的解析算法，并给出模拟算例。该法野外工作量少，计算原理简单，易于 可编程计算器实现。 关键词路基边桩测设算法 Ｌ，路基边坡坡度均为１：ｍ。 Ｊ 路基边桩测设就是在地面上将每一个横断面的路 基边坡线与地面交点用木桩标定出来，边桩的位置由 两侧边桩至中桩的水平距离来确定 ｊ。对于平坦地 段，路基边桩的测设可一次完成；而对于起伏地段（含 倾斜地段）路基边桩的测设，常规解析方法要采用逐 渐趋近法才能完成，这显然不太方便 ｊ。提出一种新 的解析算法，先由路基设计边坡线的直线方程与起伏 地面在横断面内的多个直线方程求解，再通过简单判 断，就可求出边桩的位置，野外工作量少，计算原理简 单，易于可编程计算器实现。 ０ Ｃ ， ＼ ， ／１、、 ／＜ ｌ图１路堤边桩测设 １．１ 建立路堤路基边坡线的直线方程 （１）ｍ＝０的边坡线直线方程 Ｘ＝Ｔ－Ｌ／２ （１） １ 路基边桩测设的新解析算法 如图１所示，Ａ，、Ａ 、Ａ 、Ａ 、Ａ 和Ａ， 为某设计断 当边坡线在ｙ轴左侧时，上式“Ｔ－”取“一”；在右 侧时，上式“－Ｔ－”取“＋”。 （２）ｍ≠０的边坡线直线方程 Ｙ＝（Ｌ±２ ）／（２ｍ） （２） 面的地形特征点（起伏点），相邻点间为直线。Ａ为断 面中心点，ＢＢ。和ＣＣ。是设计断面的两个边坡线， Ｃ。 为设计断面的水平顶面，Ａ。为 ｃ０的中点。待求点 边坡线在ｙ轴左侧时，上式“±”取“＋”；在右侧 时，上式“±”取“一”。 为 和ｃ。现以Ａ。为原点，Ａ。ｃ。为 轴正向， 。为 ｙ轴正向，建立直角坐标系。令设计路宽 Ｃ。为 收稿日期：２００７—０５—０８ １．２ 建立起伏地段的分段直线方程 在图１中，若Ａ，、Ａ２、Ａ 、Ａ、Ａ 、Ａ２ 和Ａ３ 在一条直 线上，则只须建立一个方程；若Ａ，、Ａ 、Ａ 和Ａ在一条 直线上，而Ａ、Ａ 、Ａ 和Ａ， 在另一条直线上，则须建立 ６，１９７２ 作者简介：厉旭东（１９６９一），男，１９９０年毕业于西安地质学院工程测量 专业，高级工程师。 工提供了重要依据。 参等教育出版社，２００１ 【２】 朱心雄．自由曲线曲面造型技术【Ｍ】．北京：科学出版社，２０００ 【３】ｄｅＢｏｏｒ，Ｃ．，Ｏｎ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｗｉｔｈ Ｂ—Ｓｐｌｉｎｅ，Ｊ．Ａｐｐｒｏｘ．Ｔｈｅｏｒｙ，Ｖｏ１． 考文献 【４】 Ｃｏｘ，Ｍ．Ｇ．，Ｔｈｅ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎ ｏｆ Ｂ—Ｓｐｌｉｎｅｓ，Ｒｅｐｏ￣Ｎｏ． ＮＰＬ—ＤＮＡＣＳ－４，Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ，１９７１ 【１】 施法中．计算机辅助几何设计与非均匀有理Ｂ样条【Ｍ】．北京：高 【５】王沫然．ＭＡＴＬＡＢ与科学计算【Ｍ】．北京：电子工业出版社，２００３ 【６］ 闻新等．ＭＡＴＬＡＢ科学图形构建基础与应用（６．ｘ）【Ｍ】．北京：科学 出版社，２００２
