解线性方程组直解法

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2

第２章 解线性方程组的直接解法

§0 引言

a11x1a12x2La1nxnb1axaxLaxb2112222nn2

Lan1x1an2x2Lannxnbna11a12aa22A21Lan1an2LLLLa1na2n,x(x,x,L,x)T,b(bLb)T

12n1nannAxb

若A非奇异，即det(A)0，方程组Axb有唯一解。由 Cramer法则，其解

xidet(Ai),det(A)i1,2,L,n

其中Ai为用b代替A中第i列所得的矩阵。当n大时，

n1个行列式计算量相当大，实际计算不现实。 det(A)(1)(i1,i2Lin)ai11ai22Lainn

i1i2Lin§1 Gauss消去法

（I）Gauss消去法的例子

(E1)x1x2x36（1）12x3x3x15(E2) 12318x3xx15(E)1233(E2)12(E1),(E3)(18)(E1)

（2）

(E1)x1x2x3615x29x357(E4) 21x217x393(E5) 22

方程组(E1)(E3)与方程组(E1),(E4),(E5)同解

(E5)21(1)(E4)得 15x1x2x3615x29x357（3）x33由（3）得x3(E1)(E4) (E6)3,x22,x11

(x1,x2,x3)T(1,2,3)T

111（3）的系数矩阵为0159，上三角 100矩阵。

（II）Gauss消去法，矩阵三角分解

Axb

a11a12a21a22AbLan1an2(1)LLLLa1nMa1,n1a2nMa2,n1annMMMan,n1  令aijaij,i1,2,L,n;j1,2,L,n,n1

A(1)b(1) Ab第1次消去

(1)a110,

令

ai(1)1li1(1),a11i2,3,L,n

作运算：(li1E1Ei)(Ei) Ei表示第i个方程（第i行）

i2,3,L,n

(1)(1)ai(2)ala1i1i1110i2,3,L,n

23

(2)(1)aijaijli1a1(1)j,j2,3,L,n,n1

(1)a12L(2)a22LL(2)anL2A(2)(1)a11b(2)a1(1)n(2)a2n(2)ann(1)a1,n1(2)a2,n1 L(2)an,n1 如果令

1l2111L1l3101OMln101(1)L1AA(2); 11A(1)b(1)A(2)b(2) L1令

1011L2l321MOln2

 1ai(2)2li2(2),i3,4,L,n.

a22(1)a11(1)a12(2)a22(1)a13L(2)a23L(3)a33LL(n)anL31(2)LA(3)2Aa1(1)n(2)a2n(3) a3n(3)ann1(2)(2)(3)(3) LAbAb2进行k-1步后，得 A(k)xb(k)

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A(k)(1)a11b(k)(1)a12(2)a22LLL(k)akkLLLa1(1)n(2)a2nL(k)aknL(k)ankLL(k)ann(1)a1,n1(2)a2,n1L (k)ak,n1(k)an,n11Lk1O1lk1,kMln,k1O 11(k)b(k)A(k1)b(k1) LkA M

1(n1)b(n1)A(n)b(n) Ln1A(1)a11(1)a12L(2)a22LLa1(1)n(2)a2n(n)ann(1)a1,n1(2)a2,n1 L(n)an,n1(n)以上完成了消去过程，A非奇异ann0；倒着求解

xn,xn1,L,x1这称为回代过程。消去过程和回代过程结合起

来称为（顺序）Gauss消去法，从消去过程可以得出。

111(1)LA(n) n1Ln2LL1A其中A(n)是一个上三角阵。

1111(n) A(1)A(Ln1Ln2LL1)AL1LLn2Ln1A(n)

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1OLk记

1l21l31LL1L2LLn2Ln1Mln11l32M1lk1,kMln,k

1O11O1ln,n1ln2L 1此矩阵是对角线元素为1的下三角矩阵，称其为单位下三角 阵。

定义1.1 设 A(aij)nn 令

a11a12La21a22Lai1LLai2La1ia2iaiii1,2,L,n

i,1,2,L,n是1至n阶行列式，称为A的顺序主子式。

Gauss消去过程能进行下去的条件应为

(i)aii0,i1,2,L,n1，而此条件必在消去过程中才能知道。

定理1.2

(i)aii(i1,2,L,k)全不为零的充分必

要条件是A的顺序主子式

i0,i1,2,L,k，其中kn

证明“”（必要性）

(i)设aii0,i1,2,L,k，则可进行消去过程的k1步，每

步A(m)由A逐次实行(lijEjEi)(Ei)的运算得到，这

些运算不改变相应顺序主子式的值，所以有

26

(1)a11m(1)a12L(2)a22La1(1)m(2)a2m(m)ammL(1)(2)(m) a11a22Lammm0,m1,2,L,k

“充分性”设命题对于k-1成立，现设

10,L,k10,k0。由归纳假设有

(1)(k1)a110,Lak1,k10，Gauss消去可以进行k-1步。

AA(1)化为

A(k)(k)(k)A110(1)(k)A12 (k)A22(k1)其中A11为对角元为a11Lak1,k1的上三角阵。由于A(k)是 由A经“一行（方程）乘一数加至另一行（方程）”逐步得 到的，因此A的k阶顺序主子式等于A(k)的k阶顺序主子式， 即

kA11*(1)(2)(k1)(k) kdetaaLaa1122k1,k1k,k(k)0akk由 k0akk0。

(k) Gauss消去过程

ALA(n)

其中L为单位下三角阵，A么A=LU

定理1.3非奇异矩阵ARnn(n)为上三角阵。以后记为U，那

，若其顺序主子式

i0,i1,2,L,n1，那么存在唯一的单位下三角阵L

和上三角阵U，使得A=LU。

证明 Gauss消去过程已给出L，U。 下面证明唯一性

设A有两个分解，ALU11L2U2

其中L1,L2为单位下三角阵，U1,U2为上三角阵，因A

27

非奇异L1,L2,U1,U2都可逆。

11U1U2L1L2

11U21仍为上三角阵，U1U2也是上三角阵，L1L2为单位下

三角阵

11U1U2L1L2I

U1U2,L1L2

可以证明，当A为奇异阵时，定理仍成立，A的LU分解 ，L为单位下三角阵，U为上三角阵，此分解称Doolittle分

%%为单位 解。若将上三角阵UDU，其中D为对角阵，U%上三角阵，并记LLD 那么有

%% ALU%为单位上三角阵，此分解称为 %其中L为下三角阵，UCrout分解。

ALDU

其中L为单位下三角阵，D为对角阵，U为单位上三角阵，

此称为A的LDU分解。

定理1.4 非奇异阵ARnn有唯一的LDU分解（D为 对角阵，L为单位下三角阵，U为单位上三角阵）的充分必 要条件是A的顺序主子式1,2,L,n1皆是非零。 如果A奇异，上述定理也成立。

§2 列主元Gauss消去法

例2.1 用三位十进制浮点运算求解

1.00105x11.00x21.00 1.00x1.00x2.0012解 用（顺序）Gauss消去法

l21a211.00105 a11 28

(2)a22a22l21a121.001.00105 (2)a2,32.001.00105

在3位十进制运算的下，得

x2(2)a2,3(2)a221.00

代回第一个方程得x10，此解不对 求解不对的原因是 用小数a11作除数，使l21是个大数，在计算a22中a22的值完 全被掩盖了：如果对方程组先作变换(E1)(E2)， 再用Gauss消去法可以得

(2)x11.00,x21.00。

列主元消去法 进行第1步消去之前，在A的第1列 中选出绝对值最大的元素ai11, 即其中i11。

由于A非奇异，有ai110，这一步骤称为选主元。

如果i11， 则消去过程与顺序Gauss消去法一样 如果i11，则先进行换行(E1)(Ei1)，然后再 Gauss消去运算，得A(2)b(2)。

进行了k-1步选主元，换行和消去的步 骤，得A(k)b(k)，第k步先选主元aikk，

使

(k)ai(kkk)maxaik,kin(k)ai11maxai11in，

(k)

ikk

由于A非奇异，有aikk0

(k)若ikk，则进行顺序Gauss消去法的第k步

若ikk，则对A(k)b(k)先换行： (Ek)(Eik)，然

后再进行类似顺序Gauss消去法的运算。

如上进行n-1步选主元，换行与消去法运算，得

A(n)xb(n)，此方程组与Ax=b等价。A(n)为上三

29

角阵，再回代求解。

例2.2 用列主元法解方程组Ax=b，计算过 程取5位数字，其中

220.40.0020.7812501.3816Ab1 3.9965.562547.4178解 A(1)b(1)

(1)3.996，换行(E1)(E3) 1 选主元，a31l2110.25025 3.996l310.0020.00050050

3.996再作行变换

(E2l21E1)(E2);(E3l31E1)(E3)

得到

A(2)47.41783.9965.56250 b(2)0.610771.00100.474712.00282.00200.403710(2)2.0028,i23，作换行 2对A(2)选列主元，a32(E2)(E3)，计算

0.61077l320.30496

2.0028再作行变换(E3l32E2)(E3)，得到

A(3)47.41783.9965.56250b(3)2.00282.00200.40371 00.390470.351590消去过程完。回代计算得解

x11.9273此题精确解为

x20.69850x30.90043

x11.92730x20.698496x30.900423

而不用列主元的顺序Gauss消去法有

30

x11.9300x20.68695x30.88888

§3 直接三角分解方法 （I）Doolittle分解法

ARnn,i0,ALU

i1,2,L,n1

根据A的元素aij来确定L.U中的元素

a11a12La21a22LALLan1an2La1n1l1a2n21MOannln1ln21ln,n1 1u11u12Lu22LOu1nu2n unnL，U的元素可由n步直接计算定出，其中第k步定出U的

第k行，L的第k列。

第1步 a1ju1j,j1,2,L,n，得出U的第1行 元素。

ak1lk1u11,lk1ak1u11k2,3,L,n

得出L的第1列的元素。 第k步：

假定已定出U的第1行到第k-1行的元素与L的第1列 到第k-1列的元素。利用矩阵乘法有

akjlkrurjlkrurjukj(jk)

r1r1nk1计算U的第k行

ukjakjlkrurj,r1k1jk,k1,L,n. （1）

31

对于

ik

k1r1aiklirurklikukk,ik1,L,n

计算L的第k列

likaiklirurkr1k1ukk,ik1,L,n （2）

由第1步，第2步，…，第n-1步就完成A=LU， 解方程组 Ax=b , LUX=b 分两步

其实，L为单位下三角阵， 1 Ly=b y=L-1b

逐次向前代入

2 Ux=y x=U-1y 其实，U为上三角阵，逐次向后 回代

定理3.1ARnn非奇异,1,2,L,n10， 那么Ax=b可用直接分解方法来求解。

例3.2求矩阵

223A477

245 的LU分解

22310 解 477l211245l31l32① 先求出U的第1行

0u11u120u221u13 u23u33u11a112;u12a122;u13a133

② 求出L的第1列：

a214l21u11l212

a312l31u11l311

③ U的第2行

a227l21u12u22;u227223

a237l21u13u23;u237231

④ L的第2列

32

a324l31u12l32u22;l322

⑤ U的第3行

a335l31u13l32u23u33;100223031A210

121006u336

定理3.3 非奇异阵ARnn，若其顺序主子式

i,i1,2,L,n1皆非零，则存在唯一的单位下三角阵L

和上三角阵U，使得

A=LU

同样地有A有唯一的分解，A=LDU；A非奇异条件不加， 定理还真，L为单位下三角阵，D为对角阵，U为单位上三 角阵。

ALUu11u12Lu22LUO1u12u111u13u11u23u221u1nu2n unnLLu1nu11u2n u221u11u22UOunnO%%单位上三角阵A=LU（L单位下三角阵，U上 DU,U三角阵），此分解称为Doolittle分解。如果把

A=LDU（LD）U=LU（L下三角阵，U单位上三角阵）， 此分解称crout分解

（II）直接三角分解法解线性代数方程组

Axb

A非奇异，1,L,n10令 Uxy;ALU

Lyb

33

求解 Axb等价于求解 Lyb;Uxy

1l121LyLOln1ln2L1y1b1yb22MM ynbny1b1;l21y1y2b2y2b2l21y1

L

ln1y1ln2y2Lynbn;ynbn[ln1y1ln2y2Lln,n1yn1]

u11u12Lu22LUxOu1nx1y1xyu2n22 MMunnxnynxnyn/unn;xn1(yn1un1,n1xn)/un1,n1

L

x1(y1u1kxk)/u11

k2n例3.4 用Doolittle分解法解方程组 Ax=b, 其中

223,b(1,2,1)T

A477245解

100223031

ALU210121006100y11y2

210Lyb 2121y31y11;2y1y22,y20;y32

223x11x0

031Uxy 2006x32 34

11x3;x2,x11

39（III） 三对角方程组的追赶法

设方程组

Axd,ARnn,d(d1,d2,L,dn)TRn

b1c1ab22AO cn1bnA为三对角矩阵

c2OOan1bn1an如果A满足LU分解条件，那么可以进行Doolittle分解。 A是三对角阵，L，U有如下形式

1l12Ll31Oln,1u1c1u2c2UOO cn1un利用A=LU，及矩阵乘法有

u1b1liai/ui1,ublc,iii1ii2,3,L,ni2,3,L,n

依次计算 u1,l2,u2,l3,u3,L,ln,un

解原来方程组

Axb

可分成两步

Lyb;Uxy

计算公式为：

y1b1 ybly,i2,3,L,niii1ixnxiynun

yicixi1,in1,n2,L,1

ui 35

这个过程称为解三对角方程线的追赶法。

例 用追赶法解Axb

410A1410141b2 31Ll21l31u1U001u201u2001 u3利用矩阵乘法有

410100u1141l10200140l10301 u314u1;1l2u1;l2

41154l2u2,u24

4441l3u2,l3

154l3u3,456u341515

41U3.751

&3.7331L0.251&0.26661Axb LUxb

LybUxyy(1,3.25,2.8668)T

x(0.5179,1.0714,0.7679)T

追赶法在西方用Thomas算法的名称

36

定理3.5

nnAR,

b1c1abc222AOOOan cn1bn其元素满足

b1c1

biaici,aici0,i2,3,L,n1

bnan

 A非奇异，A分解中元素满足

ui0,i1,2,L,n

ci01,uii1,2,L,n1

biaiuibiai,i2,3,L,n

定理可以看出，ui0， 用追赶法可以进行计算。又有

ui的估计式，即追赶法中，中间变量有界，不会产生很大

变化，由此可以有效计算出结果，即计算是稳定的。定理条 件即为追赶法稳定计算的条件。

（IV）对称正定矩阵的cholesky分解解法

ARnn,(Ax,x)0,ATA

xRn 称A正定

A对称正定A的全部特征值为正A对称正定A的顺序 主子式

i0,i1,2,L,n;由于A对称正定

i0,i1,2,L,n，因此A有唯一的

LU分解，

ALU

37

定理3.6 ARnn，对称，且

A的顺序主子式 i0,i1,2,L,n，那么A可以唯一分 解为 ALDLT，其中D为对角阵，L为单位下三角阵

证

ALUuii0

1unnu12Lu111LOu1nu11u2n u221u11u12Lu22LUOu1nu11u2nu22Ounn%,Ddiag[u,u,L,u] DU1122nn

%%为单位 ALDU，L为单位下三角阵，UTTTT上三角阵,

%%)(U)(LD)ALU 由于 AA(LDU由LU分解的唯一性

%%LT，从而有 L(U)T,即UALDLT

定理3.7 设

ARnn 对称正定，则存在唯一的对

角元为正的下三角阵L使

ALLT

这种分解称为Cholesky分解

证 利用上一定理知A有唯一分解

T%%%ALDL，其中L为单位下三角

阵。

Ddiag[u11,u22,L,unn]

A对称正定，A的顺序主子式 k0。

而

ku11u22Lukk，从而有 ukk令

120

Ddiag[u11,u22,L,unn]，

38

那么有

%%LD%DL%LD%(LD%)LLT 。 ALDLT1212T1212T具体分解方法

ALLT

a11a12La21a22LLan1an2Lj1a1nl11la2n21l22Lannln1ln2Ll11l21Ll22LOlnnln1ln2 lnnaijlikljklijljj,ij,ij1,Lk1

当 ij时

2ajjl2ljkjj

k1j1ljj[ajjl2jk]k1j112

lijaijlikljkk1j1ljjij1,j2,L,n

ai1,i2,3,L,n l11j1,l11a11,li1由于求解过程中，需开方，因此称其为平方根法。 方程组求解

Axb

ALLTxLLTxb

Lyb;（1）

Lxy

TLyb

39

l11l21l22MMOln1ln2y1b1yb22MM lnnynbny1b1/l11y2(b2l21y1)/l22

l11y1b1l21y1l22y2b2i1

yi(bilikyi)/lii,i1,2,L,n

k1T（2） Lxy

l11l21Ll22LOln1x1y1xyln222MM lnnxnynl11x1l21x2Lln1xny1l22x2Lln2xny2Llnnxnyn

xnyn/lnnxn1(yn1ln,n1xn)/ln1,n1Lxi(yi

ki1ln

kikx)/lii,in,n1,L,1 40

例3.8 用Cholesky方法求解方程组

Axb

其中

18,A4548422解 A对称，

4b3 10116,274，3576；

18l110lA45421l228422l31l32216l11,A对称正定

0l11l21l310l0l2232 l3300l33 ，

l11164a214l11l21,l211,l3122a22l21l22,a312 l11251l22,l222

1a32l21l31l22l32,l32[42]3

2222a33l31l32l33;l33(2249)3

AxbLLTxb

124;L12233 Lxy;TLyb

y(1,2,6)T;9x(,4,2)T

4

41

§4 矩阵范数

（I）向量范数

定义 如果向量xR（或C）的某个

n

n实值函数N(x)（1）件xx，满足条件：

x0,xRn;x0充分必要条

0

（2）

xx,R或C

（3）xyxy ，三角不等式则称N(x)是 ，一般用x表 Rn上的一个向量范数（或Cn上的一个范数）示。

常用的向量范数

1 向量的-范数

xmaxxi1inn

2 向量的1-范数

x1xi

i1 3 向量的2-范数

x2x 2ii1nT3例 计算向量 x(1,2,3)R的范数

x,x1,x2。

解

x3,

x16,x214

42

定理 4.1 令 xARnn，非奇异，为Rn上一个范数，

AAx，那么A为Rn上的一个范数

证 满足条件

1 任 xRn,xAAx0；

xA0Ax0Ax0x0

（A非奇异）

2 对任R

xAA(x)AxAxxnx,yR 3

A

xyAA(xy)AxAyAxAyxAyA

A为Rn上的一个范数

定理4.2 设x为Rn上的一个向量范数，那么x是x 的分量x1,x2,L,xn的连续函数。

定义4.3 设,为R上两个向量范数，若存在 n0mM使得对任xR 有

mxx那么称Mx

,是等价的。可以证明

xx2nx

x2x1nx2

x

x1nx

43

（II）矩阵范数

定义4.4 设 是Rnn上实值函数，对任ARnn有 唯一的数A相对应，如果满足条件

（1） A0,A0AO （2）AA,RorC,ARnn （3）ABAB,A,BRnn （4）ABAB那么称为Rnn上矩阵范数

定理4.5 设是Rn上的向量范数，那么

A,BRnn

AxAmaxmaxAx,ARnn

x0x1xnnxRxR定义4.6 对于Rn上的任一种向量范数，由

定理4.5确定的矩阵范数称为从属于向量范数的矩阵范数 ，即称从属范数，也称算子范数。

由定理可以得出

AxAx

满足此条件，称所给的矩阵范数与向量范数是相容的。

设ARnn，如果对于R（或C）中一个数，存在

Rn(或Cn)中非零向量x使得

Axx

那么称为矩阵A的特征值，x称为A的属于特征值的

一个特征向量。

IA 称为A的特征多项式。 为A特征值  为特征多项式的根。

ARnn,

i(i1,2,L,n)为其特征值，令

(A)maxi

1in 44

称为A的谱半径。

定理4.7 ARnn(A)A

证：设为A的任一特征值，x为相应的特征向量，那 么有

Axx

xxAxAxA

(A)A

由定理4.5 可以得出，单位矩阵 IRnn有I1； 常用范数有

Amaxx0xRnAxxmaxAxx1

A1maxx0xRnAx1x1Axx22maxAx1

x11A2maxx0xRnmaxAx2

x21定理4.8 设 ARnn，那么有 （1） Amaxaij ， 行范数

1inj1n （2） A1max1jnai1nij ， 列范数

（3） A2(ATA) Tn证：（1）对任 x(x1,x2,L,xn)R

a11aAx21an1a12a22Lan2nax1jjj1a1nx1nxaxa2n2jj2j1 LLannxnnaxj1njj 45

Axmax1innaxijj11jnnjmaxaijxj

1inj1nmaxaij(maxxj)x1inj11inmaxaij

j1nAxx由于 xR的任意性，有

nmaxaij

1inj1nmaxnxRx0Axxmaxaij

1inj1nnAmaxaij

1inj1下面将证明

Amaxaij

1inj1n 存在i0,1i0n 使

aj1ni0,jmaxaij

1inj1n取 x(0)(0)(0)T(x1(0),x2,L,xn)Rn,x(0)j 满足

x(0)j11ai0j0ai0j0x(0)maxx(0)1 j1jnAmaxAxx1Axn(0)max1inn(0)axijj j1naj1ni0jx(0)jai0jmaxaij

j1n1inj1A

maxaij

1inj1 46

推论4.9 如果A是对称 A2(A)

ATA称为对称；设为A的特征值，x为相应的特

征向量

Axx

AxAAxAxx

22(A)maxi

1in221in (A)maxi(maxi)2[(A)]2

1in12例4.10 A 求A,A1,A2

34解 Amaxaij7

1inj1nA1maxaij6

1jni1n13121010 ATA24341020ATA的特征多项式

P()10101020230100

11555,21555 (ATA)maxi1555 1,2A21555 Jordan标准形

设C，矩阵

11 Jr()OO1rr称为属于特征值的Jordan块(r阶)。由若干个Jordan块

47

Jri(i),i1,2,L,m，所构成的分块对角阵

Jdiag[Jr1(1),Jr2(2),L,Jrm(m)]

Jr1(1) Jr2(2)O Jrm(m)称为一个Jordan形矩阵

定理4.11 复数域上每一个矩阵都相似于一个Jordan形 矩阵，这个Jordan形矩阵除了其中Jordan块的排列次序外 是由原矩阵唯一确定的，称这个Jordan形矩阵为原矩阵的 Jordan标准形。 定义4.12 A,BRnn，如果存在可逆矩阵URnn使得

U1AUB

则称A与B是相似的 (Rnn可改成Cnn)。

定理4.13 对任ARnn，实数0，那么至少存在一 种算子范数（从属范数）使得

A(A)

证明 对任 ARnn ，存在非奇异阵 SRnn 使

JS1AS

J为A的Jordan标准形。Jdiag[J1,J2,L,Jm]

11iJi对于给定

1OO 1i0，定义对角矩阵D

Ddiag[1,,2,L,n1] D1diag[1,1,2,L,(n1)]

48

%%%%D1JDdiag[J令 J1,J2,L,Jm]

i%其中 Ji%取J的范数

iOO i%D1JDJnD1S1ASD(SD)1ASD

%maxa%Jijmax(i)maxi(A)

1inj11in1in注意到

111LLL2%J2OLL mSD是非奇异阵。引入新的向量范数（定理4.1）

x(SD)1x

由定理4.1 ， x为向量范数。令 QSD。

xQ1x

对于引入的范数，令 AmaxAx

x11AmaxAxmaxQAx1x1Qx1maxQ1AQy

y1 max(SD)ASDyy11(SD)1ASD(A)。

矩阵范数还具有如下性质：

1 ARnn,A是A的元素aij的连续函数

2 （等价性）对于Rnn上任两范数,，

49

存在常数0mM使得

mAAMA

对于常用矩阵范数有

1AA2nA n1A1A2nA1 n定理4.14 设 是Rnn上的算子范数，矩阵BRnn 满足B1，那么IB非奇异，并且

(IB)11

1B证 用反证法。设I+B为奇异阵，那么存在

xRn,x0使得(IB)x0。 Bxx;1为B

的一个特征值。从而有(B)1，并

(B)BB1，矛盾于定理条件，所以I+B非奇异。

令 D(IB)

11I(IB)DDBD

DBDDBDD(1B)

D(IB)11

1B§5 误差分析

（I）引言

1x1433.00011x4.0001 2准确解 x(1,1)

若A，b作微小的扰动

*T 50

1x1432.99991x4.0002 2准确解 x(2,10)

A， b的微小扰动 b10.0001;a210.0002。引起 B， 了解的很大变化，其原因？

*T（II）条件数

定义5.1 设ARnn为可逆矩阵，为一种矩阵的算 子范数。

Cond(A)AA1

称为A的条件数 如果矩阵范数取为，那么记Cond(A)2A2A21A12

同样地，Cond(A)A Cond(A)1A1A11 ，

逆矩阵

nn定义5.2 A(aij)nnR，划去A的(i,j)元aij

2所在的第i行，第j列，剩下的(n1)个元素按原来排法组 成的n-1级矩阵的行列式称为A的(i,j)元的余子式，记为

Mij。令

Aij(1)ijMij

称Aij是矩阵A的(i,j)元的代数余子式

定义5.3 设A(aij)nn是n级方阵，用Aij表示A的

(i,j)元的代数余子式，矩阵

A11A12A1nA21LA22LLA2nL*

An1An2 Ann称为A的伴随矩阵。记为A

51

A11A A例5.4 A21 求 Cond(A) 1.00012解

121.000120.0002

解 A12100001000021 0.00021.000115000.55000A1A20000 3.0001

Cond(A)60002

1000999例5.5 A，求Cond(A)1,Cond(A)

999998解 A119989999999 199910009991000 AA11999； A1A11999

1 Cond(A)AA1(1999)23.996106

6 Cond(A)13.99610

定义5.6 设 ARnn，如果A的条件数是一个大数，那么

称A是坏条件的或称A为病态的。 条件数性质

1 Cond(A)1

Cond(A)Cond(A)

1Cond(A)Cond(A),R,0

证： Cond(A)AA1AA1I1

52

Cond(A)A(A)1A1A1

T 2 若A为正交阵 (AAI)，那么Cond(A)21 证： AAI,TA1AT

A2(ATA)(I)1

A12AT2(AAT)(I)1

2Cond(A)2A2A11

3 设U为正交阵，那么有

Cond(A)2Cond(AU)2Cond(UA)2

证：

Cond(AU)2AU(AU)1((AU)TAU)(([AU]1)T[AU]1)

22 (UTATAU)[(A1)TA1] ATA~UTATAU 它们特征值相同，所以有

Cond(AU)2(ATA)[(A1)TA1]A2A12Cond(A)2

4 设1,n分别为A的按模最大与最小的特征值，那么

Cond(A)1 n 特别，A对称，那么有 Cond(A)2 证 Cond(A)AA1

1 nA(A)1

A1(A1)1

n注意

为A的特征值 1为A1的特征值

(ATA)[(A1)TA1 A对称时

Cond(A)2A2A12 53

(A)(A1)1 n（III）扰动方程组解的误差估计

Axb

如果ARnn有一个扰动ARnnn，bR有一个扰

nn动bR，那么方程组的解必扰动xR，即有 (AA)(xx)bb 分析 A,b对x的影响，即x的大小。

定义5.7 如果

A,b很小，而x很大，那么称

Axb是病态方程组。反之，如果A,b很小，x

也很小，那么称Axb是良态方程组。

定理5.8 设ARnn非奇异， Axb，b0；

A(xx)bb

xxCond(A)bb

（常数向量b的扰动引起解的扰动的一种估计） 证： Axb ， A(xx)bb

Axb,对于 Axb,xA1b,xA1bA1b

bAxAx

11A xb

xxA1AbbCond(A)bb

x111000999x11999例5.9 x1997,其解 x1

99999822假定b有扰动。 b(0.01,0.01)R 解

T2 54

1000999x1x1b1b11998.99 999998x2x2b2b21997.01Axb 解之

x19.97 19.9920.97 xxx

18.99可以看出，

x19.99是很大的。方程组是病态的。

Cond(A)3.996106，矩阵A病态。

定理5.10 如果ARnn 非奇异，并且

AA1，

Cond(A)Axb,(AA)(xx)b，那么有

xxCond(A)AA1Cond(A)AA

定理5.11 如果AR

nn 非奇异，并且

AA1，

Cond(A)Axb,(AA)(xx)(bb)，那么有

xxCond(A)[AAbA1Cond(A)Ab]

（IV）事后估计

定理5.12 设 Axb,b0，那么实际求得方程组的解

%有如下估计： x 55

1Cond(A)bAxb~xxxCond(A)~bAxb

~证：先证右边不等式。由于 Axb，所以有

%%%bAxAxAxA(xx) %%A(bAx) xx1%A1bAx% xx此外， bAx 有

bAx A1 xb%%%xxbAxbAx1 AACond(A)xbb%% 再证左边不等式。 由 bAxA(xx)，

%Axx% ， bAx% xx再利用 xAb

xA1b

1%bAx A%xxx%%bAxbAx11 1bCond(A)bAA推论 若A是对称矩阵，那么有

%xxx22%21bAx nb2其中1,n分别为A的绝对值最大和最小的特征值。

例5.13 设ARnn对称非奇异。Axb。如果A有误

差A，解向量x有误差x，并满足

56

(AA)(xx)b，那么有

x2A2 1xx2nA2其中1,n分别是A的绝对值最大和最小的特征值

证： 由 (AA)(xx)b 得 A(xx)A(xx)b 利用 Axb 有

AxA(xx) xA1A(xx)

x2A1A2xx2

A12A2xx2

A2x A1A22xx2A2 1A2

nA22由 A对称，A21,A11n

57