(自己整理)圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习

第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题

一．常考题型

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题

题型十：范围为题（本质是函数问题）

题型十一：存在性问题（存在点，存在直线ykxm，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）

二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题

2.交点与中点弦问题 3.弦长及面积问题 4.对称问题 5.范围问题 6.存在性问题

资料

7.最值问题

8.定值，定点，定直线问题

第二部分 知识储备

一．

与一元二次方程ax2bxc0(a0)相关的知识（三个“二次”问题）

1. 判别式：b24ac

2. 韦达定理：若一元二次方程axbxc0(a0)有两个不等的实数根x1,x2，则

2x1x2bc，x1x2 aa23. 求根公式：若一元二次方程axbxc0(a0)有两个不等的实数根x1,x2，则

bb24ac x1,22a二．与直线相关的知识

1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式 2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：ytan，[0,)；

②点到直线的距离公式：dAx0By0CAB22（一般式）或dkx0y0b1k22 （斜截式）

3. 弦长公式：直线ykxb上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离：

AB1k2x1x2(1k2)[(x1x2)24x1x2](或AB14. 两直线l1:y11y1y2) k2k1x1b1,l2:y2k2x2b2的位置关系：

① l1l2k1k21 ②l1//l2k1k2且b1b2

5. 中点坐标公式：已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)，若点Mx,y线段AB的中点，则

xx1x1yy2,y1 22三．圆锥曲线的重要知识

考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。

资料

文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线 1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。 2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程

②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程

3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数a,b,c三者的关系，p的几何意义等

2b22b24. 圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆，双曲线，抛物线2p

aa②焦点三角形的面积：p在椭圆上时SF1PF2b2tan2

p在双曲线上时SF1PF2b2/tan2

四．常结合其他知识进行综合考查

1． 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系 2． 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识

3． 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等 4． 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质

5． 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等

五．不同类型的大题 （1）圆锥曲线与圆

例1.（本小题共14分）

3x2y2已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为3，右准线方程为x

3ab（Ⅰ）求双曲线C的方程；

l与双曲线C（Ⅱ）设直线l是圆O:xy2上动点P(x0,y0)(x0y00)处的切线，

22资料

交于不同的两点A,B，证明AOB的大小为定值…

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

a23c3，解得a1,c3，

（Ⅰ）由题意，得c3ay21. ∴bca2，∴所求双曲线C的方程为x2222222（Ⅱ）点Px0,y0x0y00在圆xy2上，

圆在点Px0,y0处的切线方程为yy0化简得x0xy0y2.

x0xx0， y02y21x22222由及x0y02得3x04x4x0x82x00， 2xxyy200∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0x02，

2222∴3x040，且16x043x0482x00，

2设A、B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，

24x082x0则x1x22， ,x1x223x043x04∵cosAOBOAOBOAOB，且

OAOBx1x2y1y2x1x212x0x12x0x2， 2y0x1x21242x0x1x2x0x1x22 2x0资料

2222x082x082x08x0142 2223x042x03x043x042282x082x0220.

3x043x04∴ AOB的大小为90.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

22（Ⅱ）点Px0,y0x0y00在圆xy2上，圆在点Px0,y0处的切线方

2y21xx22程为yy00xx0，化简得x0xy0y2.由及x0y022y0xxyy200得

3x3x202024x24x0x82x00 ①

24y28y0x82x00 ②

∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0x02， ∴3x040，设A、B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，

222282x02x08则x1x22， ,y1y223x043x04∴OAOBx1x2y1y20，∴ AOB的大小为90.

（∵x0y02且x0y00，∴0x02,0y02，从而当3x040时，方程①和方程②的判别式均大于零）.

22222

x2y21t0的左顶点，直线l:xmy1(mR)与椭练习1：已知点A是椭圆C:9t圆C相交于E,F两点，与x轴相交于点B.且当m0时，△AEF的面积为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

资料

16. 3（Ⅱ）设直线AE，AF与直线x3分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由.

（2）圆锥曲线与图形形状问题

x2例2.1已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．

4(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

x2解：(1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．

4因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．

31＋m2＝1，即m＝. 4211所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝3. 22(2)假设四边形OABC为菱形．

所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得

因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，

m≠0)．

x24y24,由消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. ykxm设A(x1，y1)，C(x2，y2)，

x1x2y1y2x1x24kmmkm，. 214k22214k2m4km所以AC的中点为M. ,2214k14k1因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.

4k1因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．

4k所以OABC不是菱形，与假设矛盾．

则

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．

x2y2练习1：已知椭圆C：221(ab0)过点(2，1)，且以椭圆短轴的两个端点和

ab一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.

资料

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设M（x,y)是椭圆C上的动点，P（p,0)是X轴上的定点，求MP的最小值及取最小值时点M的坐标.

（3）圆锥曲线与直线问题 例3.1已知椭圆C:x22y24，

（1）求椭圆C的离心率.

（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，求直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论.

x2y21， 解析：⑴椭圆的标准方程为：42a2，b2则c2，离心率ec2;

a222xy2相切.证明如下： AB⑵直线与圆

法一：

设点AB的坐标分别为x0y0t2，其中x00. 因为OA⊥OB，所以OAOB0，即tx02y00，解得t2y0. x0t2当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t2, 2故直线AB的方程为x2.圆心O到直线AB的距离d2. 22xy2相切. AB此时直线与圆

y2当x0t时，直线AB的方程为y20xt，

x0t即y02xx0ty2x0ty00.

资料

圆心O到直线AB的距离

d2x0ty0.

2y022x0t2y0222y04，t又x0，故 x022y02x0x022x0y024x0x0d4y4x2020x8x162x4020202. 此时直线AB与圆x2y22相切. 法二：

由题意知，直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为ykx，OA⊥OB， ①当k0时，A20，易知B02，此时直线AB的方程为xy2或xy2， 原点到直线AB的距离为2，此时直线AB与圆x2y22相切； 1②当k0时，直线OB的方程为yx，

kykx联立22x2y422k22k222212k12k12k12k得点A的坐标或；

1yxk得点B的坐标2k2， 联立y222k由点A的坐标的对称性知，无妨取点A进行计算， 2212k12k2k12k212k222k于是直线AB的方程为：y2x2kk12k21k12k2x2k，

2222即k12kx1k12ky2k20，

原点到直线AB的距离

d2k22k12k221k12k222, 此时直线AB与圆x2y22相切。

资料

综上知，直线AB一定与圆x2y22相切. 法三：

①当k0时，A20，易知B02，此时OA2OB2，

AB222222，原点到直线AB的距离dOAOBAB22222，、

此时直线AB与圆x2y22相切； 1②当k0时，直线OB的方程为yx，

k设

Ax1y1Bx2y2，则

OA1k2x1，OB1ky221k2，

2ykx联立22x2y4222k22k222212k12k12k12k得点A的坐标或；

于是OA1kxA21k212k22，OB21k2, AB41k212k241k2221k212k21k22，

21k2所以dOAOBAB12k221k212k22,直线AB与圆2xy22相切；

22综上知，直线AB一定与圆xy2相切

x2y2练习1：已知椭圆C:221(ab0)过点(0,1)，且长轴长是焦距的2倍. 过椭

ab圆左焦点F的直线交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由； （Ⅲ）若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围.

资料

（4）圆锥曲线定值与证明问题

例4.1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为

两个焦点的距离之和为4． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过

原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：|AM||AN|2|OP|．

23，且椭圆C上的点到2x2y2解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为221(ab0)，

aba2b2c2,3c由题意知解得a2，b1． ,2a2a4,x2y21．……………………………5分 所以椭圆C的标准方程为4（Ⅱ）设直线AM的方程为：yk(x2)，则N(0,2k)． 由 yk(x2)，22x4y4,得(1+4k)x16kx16k40（*）．

2222设A(2,0)，M(x1,y1)，则2，x1是方程（*）的两个根，

28k2所以x1． 214k28k24k,)． 所以M(2214k14k28k228k224k21616k241k2 |AM|(． )()2222214k14k(14k)14k |AN|44k221k2．

41k221k28(1k2)|AM||AN|． 2214k14k 设直线OP的方程为：ykx．

资料

ykx，22由 2得(14k)x40． 2x4y4,4k242设P(x0,y0)，则x0，y0． 2214k14k244k288k22所以|OP|，2|OP|．

14k214k22所以|AM||AN|2|OP|．

2X2y23例4.2:已知椭圆C：221 （a>b>0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，

ab20），△OAB的面积为1. （I）求椭圆C的方程；

(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。 求证：ANBM为定值。

6x2y2练习1：已知椭圆C:221(ab0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个

3ab焦点构成的三角形的面积为52. 3资料

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)已知动直线yk(x1)与椭圆C相交于A、B两点. ①若线段AB中点的横坐标为

17,求斜率k的值;②若点M(,0),求证:MAMB为定值. 23练习2：已知抛物线C : y2 ＝2 px（p＞ 0），其焦点为F，O为坐标原点，直线 AB（不垂直

于x轴）

过点F 且抛物线C交于 A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为－p ． （1）求抛物线C 的方程；

（2）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点 D ，求证：

|OD|＞2

|OM|

练习3：动点P(x,y)到定点F(1,0)的距离与它到定直线l:x4的距离之比为

(Ⅰ) 求动点P的轨迹C的方程；

1. 2（Ⅱ） 已知定点A(2,0)，B(2,0)，动点Q(4,t)在直线l上，作直线AQ与轨迹C的另一个交点为M,作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：M,N,F三点共线.

（5）圆锥曲线最值问题

x2y23例5： 已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，

ab2|AB|2.

资料

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧. 直线PA，PB与直线x4分

别相交于M，N 两点. 若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.

解：（Ⅰ）由题意可得，b1， …………………1分

ec3a2， 得a21a234， 解a24， 椭圆C的标准方程为x24y21. （Ⅱ）设P(x0,y0)(0x02)，A(0,1)，B(0,1)， 所以k1PAy0x，直线PA的方程为yy01x1， 0x0同理：直线PB的方程为yy01xx1， 0直线PA与直线x4的交点为M(4,4(y01)x1)， 0直线PB与直线x4的交点为N(4,4(y01)x1)， 0 线段MN的中点(4,4y0x)， 0所以圆的方程为(x4)2(y4y0x)2(14)2， 0x0令y0，则(x4)216y20x2x2(104)， 0资料

…………………2分 …………………3分 …………………4分

…………………5分 …………………6分

…………………7分 …………………8分 …………………9分 …………………10分

22x0y0112y01，所以 因为， …………………11分 24x04所以(x4)2850， x0因为这个圆与x轴相交,该方程有两个不同的实数解， 所以 5880，解得x0(,2]. …………………12分

5x0设交点坐标(x1,0),(x2,0)，则|x1x2|2588（x02） x05所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分

x2y26练习1：已知椭圆C：221ab的一个焦点为F(2，0)，离心率为 。过ab3焦点F 的直线l 与椭圆C交于 A，B两点，线段 AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N 两点。 （1）求椭圆C 的方程；

（2）求四边形AMBN 面积的最大值。

22练习2：已知椭圆C：mx3my1(m0)的长轴长为26，O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；

（Ⅱ）设点A(3,0)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA||BP|，求四边形OPAB面积的最小值.

（6）圆锥曲线存在性问题

x2y221ab0例6.已知椭圆C：的离心率为，点P0,1和点Am,nm0 2ab22都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．

资料

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用mn表示）；

（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 解析:

b1,2c,（I）由题意得解得a22， 2aa2b2c2,xy21. 故椭圆C的方程为2设M(xM,0).

因为m0，所以1n1.

2n1x， mmm,0). 所以xM，即M(1n1n直线PA的方程为y1因为点B与点A关于x轴对称，所以Bm,n.

设N(xN,0)，则xNm. 1nOMOQ “存在点Q(0,yQ)使得OQMONQ”等价于“存在点Q(0,yQ)使得”，OQON即yQ满足yQxMxN.

2m2mmn21. 因为xM，xN，

1n1n2所以yQ2或yQ2，

故在y轴上存在点Q，使得OQMONQ， 点Q的坐标为(0,2)或(0,2).

资料

3x2y2练习1：设F 1 ，F 2分别为椭圆221ab的左、右焦点，点P（1，） 在

2ab椭圆E 上，且点P 和F1 关于点C（0，（1）求椭圆E 的方程；

（2）过右焦点F2 的直线l与椭圆相交于 A，B两点，过点P且平行于 AB 的直线与椭圆交于 另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l 的方 程；若不存在，说明理由。

3） 对称。 4练习2：设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线：x2＝4

abx2y2

2y的焦点重合，

3

F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e＝，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C3交于M、N两点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线l，使得OMON＝－1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由

资料