高中数学平面向量(有难度含答案)

B．－2 D．

2．对任意向量a,b，下列关系式中不恒成立的是（ ） A．abab B．abab|| C．(ab)2|ab|2 22D．(ab)(ab)ab 3．已知e1,e2为单位向量，且e1与e12e2垂直，则e1,e2的夹角为（

A．30 B．60 C．120 ） D．150 4．在菱形ABCD中，对角线AC4，E为CD的中点，则AEAC（ ） A．8

5．已知向量a3,1，b3,4，则向量a在向量b方向上的投影为（ ） A．-1

B．B．10 C．12 D．14

10 2C．10 2D．1

6．在ABC中，有命题 ①ABACBC； ②ABBCCA0； ③若(ABAC)(ABAC)0，则ABC为等腰三角形； ④若ACAB0，则A为锐角上述命题正确的是（ ） A．①② B．①④ C．②③ D．②③④ 7．如图，在ABC中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则PAPC（

） 试卷第1页，总4页

21A．BABC 3375B．BABC 99101BC C．BA9972D．BABC 99118．如图，在ABC的边AB、AC上分别取点M、N，使AMAB，ANAC，

32BN与CM交于点P，若BPPN，PMCP，则的值为（ ）  A． 83B． 38C．

1 6D．6 9．已知△ABC中AB=6，AC=BC=4，P是∠ACB的平分线AB边的交点，M为PC上一点，且满足

=

+λ（

+

BMBA）（λ＞0），则的值为（ ） BAA．1 B．2 C．3 D．4

10．ABC中，ABAC，M是BC中点，O是线段AM上任意一点，且

ABAC2，则OAOBOAOC的最小值为（ ） A．-2

B．2

C．-1

D．1

11．如图是由等边△AIE和等边△KGC构成的六角星，图中的B，D，F，H，J，

m 两个等边三角形的中心均为O.若OAmOCnOJ，则（ ）L均为三等分点，

nA．

231 B． C． D．1 234试卷第2页，总4页

12．设为两个非零向量a,b的夹角，且0，已知对任意实数t(1,1)，

2|bta|无最小值，则以下说法正确的是（ ） A．若和|b|确定，则|a|唯一确定 B．若和|b|确定，则|a|有最大值 C．若确定，则|a||b| D．若不确定，则|a|与|b|的大小关系不确定 二、填空题 abba2bb13．已知向量,则向量a,b的夹角为______． 14．向量a与b夹角是60°，a2,b5，则2ab在a方向上投影是______． 15．如图所示,OC2OP,AB2AC,OMmOB,ONnOA,若m3,那么n__ 8 16．已知是夹角为的两个单位向量， 若，

则k的值为_______． 17．在ABC中，BAC60，AB5，AC4，D是AB上一点，且

，则|BD|__________．18．平行四边形ABCD，AB4，AD5，AABCD5为锐角，且sinA25，点P0是边CD上一定点，点P是边CD上一动点，若5PAPBP0AP0B恒成立，则P0D______.

19．如图，△AB1C1，C1B2C2，C2B3C3是三个边长为2的等边三角形，且有一条

边在同一直线上，边B3C3上有2个不同的点P1，P2，则AB2(AP1AP2)__________． 试卷第3页，总4页

三、解答题 20．已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos,sin)，O为坐标原点． 1（1）ACBC，求sin 2θ的值； 3OAOC7，且θ∈(－π,0)，求OB与OC的夹角． （2）若

21．已知a2,b1，a与b的夹角为45°.

（1）求a在b方向上的投影； （2）求a2b的值;

（3）若向量2a-b与（a3b的夹角是锐角，求实数的取值范围.

 33xx22．已知向量acosx,sinx，bcos,sin，且x0,.

22222（1）求ab及ab； 3（2）若fxab2ab的最小值为，求的值.

2试卷第4页，总4页

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参 1．C 【解析】 a＝1时，显然A，B，C三点不共线，由已知有

， ∴a2－a－1＝0，解得a＝2．B 【解析】 ，选C． 因为ababcosa,bab，所以选项A正确；当a与b方向相反时，

abab不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C22正确；ababab，所以选项D正确．故选B． 【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积． 3．C 【解析】 设e1,e2的夹角为，因为e1与e12e2垂直，所以e1(e12e2)0，即

21e12e1e2cos0，即12cos0，即cos，又因为001800，所以

21200.故选C.

4．C 【解析】 试题分析：特殊化处理，用正方形代替菱形，边长为22，以A为原点，建立如图所示坐标系，则

A（0，0），

C（22，22），E（2，22），所以

AC(22,22),AE(2,22)，所以ACAE222222212，故选

C． 答案第1页，总14页

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yEDCABx 考点：平面向量的数量积运算． 5．A 【分析】 直接利用投影公式计算得到答案. 【详解】 ab941. 向量a在向量b方向上的投影为：5b故选：A. 【点睛】 本题考查了向量的投影，意在考查学生对于向量投影的理解. 6．D 【解析】 试题分析：对于在ABC中，有命题 对于①ABACBC；根据减法运算可知，结论为ABACCB,错误。 对于②ABBCCA0；成立。 对于③若(ABAC)(ABAC)0，则ABC为等腰三角形；成立 对于④若ACAB0，则A为锐角，成立，故选D 考点：向量的数量积 点评：向量的加减法和数量积的运算，属于基础题。 7．B 【分析】 答案第2页，总14页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

21PAPCBABPBCBPBABCBQ，将BQBAAQBAAC,

33ACBCBA代入化简即可.

【详解】 2PAPCBABPBCBPBABCBQ 32BABC(BAAQ) 3211BABCAC 3332571BABC(BCBA)BABC. 3999故选：B. 【点睛】 本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题. 8．D 【解析】 【分析】 用AB，AC作为基底分别表示AP，根据平面向量基本定理，求出，，即可得到结论． 【详解】 1由题意MCACAMACAB，

311APAMMPABMCABAC 313311NBABANABAC，

2111APANNPACNBABAC 21122答案第3页，总14页

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11133根据平面向量基本定理，可得， 1222,4， 346． 23故选D． 【点睛】 本题考查向量知识的运用，考查平面向量基本定理，考查学生的计算能力，属于中档题. 9．C 【解析】 BMBA试题分析：作出图形，由等腰三角形三线合一可知CP⊥AB，P是AB中点，而表

BA示在上的射影． 解：∵△ABC是等腰三角形，CP是∠ACB的角平分线， ∴CP⊥AB，AP=BP=∵M在PC上，∴BMBA即=3． BA=3． 上的射影为BP=3． 在

故选C． 考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义． 10．C 【分析】 根据向量求和的平行四边形法则可以得出OAOBOAOC2OAOM，再利用向量的

数量积的运算可以得到2OAOM2OAOM，因为OAOM2，代入计算可

求出最小值. 【详解】 答案第4页，总14页

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解：在直角三角形ABC中，ABAC2，则BC22，因为M为BC的中点，所以

AM2.设OAx，0x2 OAOBOAOCOAOBOC2OAOM 2OAOM2x2 2x2122x2x22x 22所以当x，即OA时，原式取得最小值为1.

22故选：C. 【点睛】 方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的2倍； （2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积； （3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可. 11．B 【分析】 以点O为坐标原点，OD为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为

23，得出点A,C,J的坐标，由向量的运算可求得m,n的值，可得答案.

【详解】 由平行四边形法则，OA2OBOJ2(OCOJ)OJ2OC3OJ，所以m2，

n3，所以

m2 n3以点O为坐标原点，OD为x轴，OA为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 答案第5页，总14页

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设等边三角形的边长为23. 则等边三角形的高为233223， 由B，D，F，H，J，L均为三等分点， 则OA2232,OJ3 3323所以A0,2，J3,0，C3,1 OA0,2,OC23OJ3,1,

3,0 OAmOCnOJm2323n3,1n,03m,m 3323nn303m 所以，解得3m2m2所以

m2 n3故选：B. 【点睛】 本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.

答案第6页，总14页

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12．B 【分析】 22ab|b|cos令g(t)at22abtb，其对称轴为t2，结合题意要使得|a|at(1,1),|bta|无最小值，则对称轴不在(1,1)，从而可得|a||b|cos或|a||b|cos，进而可选出正确答案.

【详解】 由题意知，|bta|2at22abtb，令g(t)at22abtb，则函数g(t)的图象

2222ab|b|cos的对称轴为t2，因为t(1,1),|bta|无最小值， |a|a|b|cos|b|cos1或1，所以|a||b|cos或|a||b|cos， 所以|a||a|所以和|b|确定，则|a|有最大值， 故选:B． 【点睛】 本题主要考查平面向量知识的运用，考查二次函数的图象与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数算． 13．

 6【分析】 根据题意，设向量am，向量bn，向量a,b的夹角为，由abb变形可得由a2bb可得m23n24mncos0②，将①②联立可得cosm2ncos①，

的值，由的范围分析可得答案． 【详解】 解：根据题意，设向量am，向量bn，向量a,b的夹角为， abb向量，则ab22b，则有m2n22mncosn2，变形可得

m22mncos，即m2ncos，①， 答案第7页，总14页

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a2bb，则a2b22b，则有m24n24mncosn2，变形可得

m23n24mncos0，② 将①②联立可得：4cos28cos230， 解可得cos3， 2又由m2ncos，则cos＞0 则cos则3， 26； 故答案为

6． 【点睛】 本题考查向量夹角的计算，涉及向量数量积的运算，属于一般题． 14．

3 2【分析】 2aba根据公式2ab在a方向上的投影为，只需要求出2aba即可. a【详解】 向量a与b的夹角是60°，a2,b5 22所以2aba2aab2225cos603.

2aba3 又2ab在a方向上的投影为

2a故答案为：【点睛】 3 2本题考查平面向量的数量积的计算和投影的计算，属于中档题. 15．

3 4【分析】 答案第8页，总14页

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31由OPOMMP(1)OBnOA(OBOA)，根据向量相等的性质列方程组

84求解即可. 【详解】 解:设MPMN,则 3OMOBONnOA 83OPOMMP(1)OBnOA 81OC2OPOP(OBOA) 413(1)84 1n413,n 34故答案为:【点睛】 本题主要考查向量的运算法则，属于基础题.平面向量的运算法则主要有两个：（1）平行四边形法则；（2）三角形法则. 16．

3 45 45 4得：k【解析】 答案：

解析：考察向量的数量积及其相关的运算，中档题．由17．2 【分析】 5 4由题可设ADAB，则ABCDAB(ADAC)ABABAC5，由条件算

答案第9页，总14页

2本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

出，则可得|BD|.

【详解】 设ADAB，∵CDADAC，

23，得，， 2515ABCDAB(ADAC)ABABAC552∴|BD||AB|2． 5故答案为：2 【点睛】 本题主要考查了向量的线性运算和数量积，考查学生的运算求解能力． 18．1 【分析】 建立如图所示的直角坐标系，可得A0,0,B4,0,C5,2,D1,2，设Pm,2，

1m5，则可计算出PAPB取最小值是对应的P即为P0，即可得解.

【详解】 建立如图所示的直角坐标系， A为锐角，且sinA25，则cosA5， 55则sinAyD25x5，即yD2，又cosAD，即xD1， AD5AD5D1,2，可知A0,0,B4,0,C5,2， 设Pm,2，1m5， 答案第10页，总14页

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2PAPBm,24m,2m24m+4m2， 当m2时，PAPB取得最小值为0，此时P2,2， 若PAPBP0AP0B恒成立，则P02,2， P0D1.

故答案为：1. 【点睛】 本题考查向量数量积的运算，建立直角坐标系利用坐标运算是解决此类问题的有效方法，属于基础题. 19．36 【解析】 ∵△AB1C1，C1B2C2，C2B3C3是三个边长为2的等边三角形， 且有一条边在同一直线上，∴四边形AC1B2B1为菱形， ∴B2AC1π，AB2B1C1， 6∴AB2PC13，AB2BC3， πAP)AB(2ACCPCP)2ABAC2236cos36．∴AB2(AP 12233132236故选D.

点睛：平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.本题就是利用几何意义处理的.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 20．（1）【解析】 分析：(1) 先根据向量数量积得sin θ＋cos θ值，再平方得结果，(2)先根据向量的模得cos θ，即得C点坐标，再根据向量夹角公式求结果.

55 ；（2）69答案第11页，总14页

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详解：(1)∵AC＝(cos θ，sinθ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)， BC＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)， ACBC＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)＝cos2θ－2cos θ＋sin2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos

θ)＝－ ∴sin θ＋cos θ＝， ∴1＋2sin θcos θ＝， ∴sin 2θ＝－1＝－.

(2)∵OA＝(2,0)，OC＝(cos θ，sin θ)， ∴OA＋OC＝(2＋cos θ，sin θ)， ∵|OA＋OC|＝7，所以4＋4cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝7， ∴4cos θ＝2，即cos θ＝. ∵－π＜θ＜0，∴θ＝－， 又∵OB＝(0,2)，OC＝(,∴cos〈OB，OC〉＝123)， 253. ，∴〈OB，OC〉＝

26点睛：向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，通过解三角求得结果.

21．（1）1；（2）10；（3）(1,6)(6,6). 【解析】 22试题分析：（1）由射影定义可得a在b方向上的投影；（2）利用公式aa可求得向量

的模；（3）由(2ab)与(a3b)的夹角是锐角，可得(2ab)(a3b)0，且(2ab)与(a3b)不能同向共线，即可解出实数的取值范围.

试题解析：（1）∵a2，b1，a与b的夹角为45 答案第12页，总14页

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∴acos45221 2∴a在b方向上的投影为1 （2）∵a2b2a2b22a4abcos452b24410 ∴a2b10 （3）∵(2ab)与(a3b)的夹角是锐角 ∴(2ab)(a3b)0，且(2ab)与(a3b)不能同向共线 ∴760，2abk(a3b)，k0 2∴16或66 1

22．（1）abcos2x，ab2cosx；（2）.

2

【分析】 （1）利用向量数量积的坐标运算以及向量模的求法即可求解.

（2）由（1）得fxcos2x4cosx，利用二倍角的余弦公式展开化为二次函数的形式，配方讨论的取值，从而求出fx的最值即可求解. 【详解】 3x3x【解】（1）由已知可得abcosxcossinxsincos2x， 222222aba2abb22cos2x2cos2x， ∵x0,，∴cosx0，∴ab2cosx.

2（2）由（1）得fxcos2x4cosx 2cos2x4cosx1 2cosx122， 2x0,，0x1. ∵2答案第13页，总14页

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①当0时，当且仅当cosx0时，fx取得最小值1，这与已知矛盾； ②当0≤≤1，当且仅当cosx时，fx取得最小值122， 由已知可得122311

，解得或（舍去）； 222③当1时，当且仅当cosx1时，fx取得最小值14， 35由已知可得14，解得，与1矛盾， 28综上所得，【点睛】 1. 2

本题考查了向量数量积的坐标运算、向量模的求法、与三角函数复合而成的函数最值，属于中档题.

答案第14页，总14页