复合函数的奇偶性

1复合函数的奇偶性

若ugx为奇函数,yfu对于变量u是奇(偶)函数, 则复合函数yfgx是奇(偶)函数,

若ugx为偶函数,则复合函数yfgx是偶函数. f(g) 奇 奇 偶 偶

g(x) 奇 偶 奇 偶 f[g(x)] 奇 偶 偶 偶 f(x)+g(x) 奇 非奇非偶 非奇非偶 偶 f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶

抽象函数奇偶性的判断

例 函数fx，xR，若对于任意实数a,b都有fabfafb，

求证fx为奇函数

证：令a0,则fbf0fb f00

又令ax,bx,代入fabfafb得 fxxfxfx 即0fxfx

1

fxfx

故fx为奇函数

2复合函数的单调性

法则:同增异减 步骤:(1)确定定义域

(2)将复合函数分解成基本初等函数yfu,ugx (3)分别确定这两个函数的单调区间

(4)若这两个函数同增或同减,则yfgx为增函数,若一增一减.则yfgx为减函数. 函数 内层函数ugx 外层函数yfu 复合函数yfgx 例1,求函数y2单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 x22x3的单调区间.

解:由x2x30,得3x1 函数yx22x3的定义域为[-3,1],

22 令ux2x3x14

当x3,1时是增函数. 当x1,1时是减函数 而yuu0是增函数.

函数y的增区间是3,1,减区间是1,1

例2 求函数fx1x2的单调区间

2

解：该函数的定义域为1x0，即x1x1 设ux1x,则fx222ux

(1) 当x1,0时，ux1x为增函数，yuxux0为增函数，

故函数fx1x2在区间1,0上是增函数

(2)当x0,1时，ux1x,为减函数，y2故函数fx1x2在ux为增函数，

区间0,1上是减函数

故fx1x2的单调增区间为1,0，单调减区间为0,1

例3：已知gx是m,n是的减函数，且agxb，fx是a,b是的增函数，求证

fgx在m,n上也是减函数。

证明：设mx1x2n

gx是m,n上的减函数，且agx1gx2b 又fx是a,b上的增函数 fgx1fgx2

根据单调性的定义得fgx在m,n上是减函数

例4．讨论函数y212x23x2的单调性

解：设ux3x2，则函数ufx图像的对称轴为x3 2 当x,时，u为增函数；当x,时，u为减函数。

2233111 而y的底数a1,y为为关于u的减函数，

222 当x,时，u为增函数，则y为减函数，

uu32 3

当x,时，u为减函数，则y为增函数。

23

4