2022年重庆市高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）|A．
5√223−2𝑖1+𝑖
|＝（ ）
B．
√26 2
C．√5 D．√13
2．（5分）已知集合M＝{x|2x2﹣x﹣3＜0}，N＝{x|ln（2x﹣1）＞0}，则M∩N＝（ ） A．（1，）
23
B．（，）
2
2
𝑥2𝑎213
C．（﹣1，）
2
3
D．（﹣1，）
2
1
3．（5分）若双曲线为（ ） A．
√2 2
−
𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率
B．1 C．√2 D．2
4．（5分）交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施．如图，某圆锥体交通锥的高为12，侧面积为65π，则该圆锥体交通锥的体积为（ ）
A．25π
B．75π
𝜋
3C．100π D．300π
5．（5分）函数𝑓(𝑥)=√3𝑠𝑖𝑛(𝑥+)−𝑐𝑜𝑠𝑥的单调递减区间为（ ） A．{𝑥|3+𝑘𝜋≤𝑥≤3+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍} B．{𝑥|6+𝑘𝜋≤3+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍} C．{𝑥|3+2𝑘𝜋≤𝑥≤3+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍} D．{𝑥|6+2𝑘𝜋≤3+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍}
6．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x3+2x2﹣a+3，且f（3）＝8，则2f（1）+f（﹣2）＝（ ） A．3
B．1
C．﹣1
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𝜋4𝜋
𝜋𝜋
2𝜋
4𝜋
𝜋2𝜋
D．﹣3
7．（5分）已知x＝0是函数f（x）＝eax﹣ln（x+a）的极值点，则a＝（ ） A．1
→
→
B．2
→
→
C．e D．±1
8．（5分）已知𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，2|𝐴𝐵|＝3|𝐴𝐶|＝6m（m＞0），若点M是△ABC所在平面内的一点，且𝐴𝑀=
16
→
𝐴𝐵|𝐴𝐵|
→→
−
𝑚𝐴𝐶|𝐴𝐶|
→→
，则𝑀𝐵⋅𝑀𝐶的最小值为（ ）
14
34
56
→→
A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：千件）的影响，现收集了近5年的年宣传费x（单位：万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为𝑦=𝑏𝑥−8.2，则下列结论正确的有（ ）
x y
4 l
6 5
8 7
10 14
12 18
A．x，y之间呈正相关关系 B．𝑏=2.15
C．该回归直线一定经过点（8，7）
D．当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件 （多选）10．（5分）某正方体的平面展开图如图所示，在原正方体中，下列结论正确的有（ ）
A．BF⊥平面DEH C．FG⊥平面ABC
B．DE∥平面ABC D．平面DEH∥平面ABC
（多选）11．（5分）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如
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像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣18人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升．”则下列结论正确的有（ ） A．将这18人派谴完需要16天 B．第十天派往筑堤的人数为134 C．官府前6天共发放1467升大米
D．官府前6天比后6天少发放1260升大米
（多选）12．（5分）已知1＜a＜b＜e（e为自然对数的底数），则（ ） A．a＜b
b
a
B．𝑏
𝑎
𝑎𝑏
＞𝑒𝑒 C．𝑎
𝑎
𝑎𝑏＞𝑒𝑒
D．𝑎
𝑏
𝑎𝑏＜𝑒𝑒
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知tan（α+β）＝4，tanβ＝2，则tan2α＝ ．
14．（5分）（x+2y）（3x﹣y）4的展开式中x3y2的系数为 ．（用数字作答） 15．（5分）已知F是椭圆E：
𝑥24
+
𝑦22
=1的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：x2+y2
﹣2√2𝑥−4√2y+9＝0上一点，则|PQ|﹣|PF|的最小值为 ，此时直线PQ的斜率为 ．
16．（5分）已知2a﹣b＝2，且0＜a+b＜2，则
1𝑎+𝑏
+
1𝑎−2𝑏
的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C﹣3cosC﹣1＝0． （1）求C；
（2）若𝑐=2√3，△ABC的面积为√3，求a，b．
18．（12分）一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中佩戴、阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩，按照我国医药行业标准，口罩对细菌的过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品，某部门为了检测一批口置对细菌的过滤效率．随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率（百分比）按照[95，96），[96，97），[97，98），[98，99），[99，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中m的值并估计这一批口罩中优等品的概率；
（2）为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从[98，99）和[99，100]
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两组中抽取7个口罩，再从这7个口罩中随机抽取3个口罩做进一步检测，记取自[98，99）的口罩个数为X，求X的分布列与期望．
19．（12分）在①a1＝1，nan+1＝（n+1）an，②2𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑎𝑛=2𝑛+1−2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答． 问题：在数列{an}中，已知_______． （1）求{an}的通项公式； （2）若𝑏𝑛=
2𝑎𝑛−1
𝑎，求数列{bn}的前n项和Sn． 3𝑛20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC=√3BD=√3CD=√3，AD=√2，E，F分别为AB，AC的中点．
（1）在图中作出平面DEF与平面BDC的交线，并说明理由； （2）求平面DEF与平面BDC夹角的余弦值．
21．（12分）已知函数𝑓(𝑥)=(𝑎2+1)𝑙𝑛𝑥+𝑎𝑥−． （1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在x＝处的切线方程； （2）若f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，求a的值．
22．（12分）在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x＝4交于P，Q两点，且OP⊥OQ．抛物线C的准线与x轴交于点M，G是以M为圆心，|OM|为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B． （1）求抛物线C的方程；
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𝑎
𝑥
（2）求△ABG面积的取值范围．
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2022年重庆市高考数学模拟试卷
参与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）|A．
5√223−2𝑖1+𝑖
|＝（ ）
B．
3−2𝑖1+𝑖
√26 2
(3−2𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)
√26 C．√5
=
12
D．√13
【解答】解：∵∴|
3−2𝑖
1
=
5
−
52
𝑖，
|=√(2)2+(−2)2=2． 1+𝑖
故选：B．
2．（5分）已知集合M＝{x|2x2﹣x﹣3＜0}，N＝{x|ln（2x﹣1）＞0}，则M∩N＝（ ） A．（1，）
23
B．（，）
2
2
3
213
C．（﹣1，）
2
3
D．（﹣1，）
2
1
【解答】解：∵𝑀={𝑥|−1＜𝑥＜}，𝑁={𝑥|𝑥＞1}， ∴𝑀∩𝑁=(1，)． 故选：A． 3．（5分）若双曲线为（ ） A．
√2 2
𝑥2𝑎232−
𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率
B．1
𝑥2𝑎2C．√2 D．2
𝑏𝑎
【解答】解：双曲线−
𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，
𝑏𝑏𝑎
由两条渐近线互相垂直，可得−𝑎•=−1， 可得a＝b，即有c=√𝑎2+𝑏2=√2a， 可得离心率e=故选：C．
4．（5分）交通锥，又称雪糕筒，是一种交通隔离警戒设施．如图，某圆锥体交通锥的高为12，侧面积为65π，则该圆锥体交通锥的体积为（ ）
𝑐
=2． 𝑎√
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A．25π
B．75π
C．100π
D．300π
【解答】解：设该圆锥体交通锥的底面半径为r，则𝜋𝑟⋅√144+𝑟2=65𝜋，解得：r＝5， 所以该圆锥体交通锥的体积为故选：C．
5．（5分）函数𝑓(𝑥)=√3𝑠𝑖𝑛(𝑥+)−𝑐𝑜𝑠𝑥的单调递减区间为（ ） A．{𝑥|+𝑘𝜋≤𝑥≤
𝜋𝜋
32𝜋
𝜋34𝜋
+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍} 3𝜋312×52𝜋
3
=100𝜋．
B．{𝑥|6+𝑘𝜋≤3+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍} C．{𝑥|+2𝑘𝜋≤𝑥≤D．{𝑥|+2𝑘𝜋≤
𝜋𝜋
+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍} 3
2𝜋
+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍} 312
√3【解答】解：f（x）=√3（sinx+＝sin（x+6），
𝜋
2cosx）﹣cosx=
√32sinx+cosx﹣cosx=
3
2√32sinx+cosx
12由2kπ+2≤x+6≤2kπ+2，k∈Z， 得2kπ+3≤x≤2kπ+3，k∈Z，
即函数f（x）的单调递减区间为[2kπ+3，2kπ+3]，k∈Z， 故选：C．
6．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x3+2x2﹣a+3，且f（3）＝8，则2f（1）+f（﹣2）＝（ ） A．3
B．1
C．﹣1
D．﹣3
𝜋
4𝜋
𝜋
4𝜋
𝜋𝜋3𝜋
【解答】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且f（3）＝8， 则f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣8，
又由当x＜0时，f（x）＝x3+2x2﹣a+3，则f（﹣3）＝﹣27+18﹣a+3＝﹣6﹣a＝﹣8，
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解可得a＝2， 即f（x）＝x3+2x2+1，
f（﹣2）＝﹣8+8+1＝1，f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，则2f（1）+f（﹣2）＝﹣3； 故选：D．
7．（5分）已知x＝0是函数f（x）＝eax﹣ln（x+a）的极值点，则a＝（ ） A．1
B．2
C．e
1
D．±1
【解答】解：因为f（x）＝eax﹣ln（x+a），所以f'（x）＝aeax−𝑥+𝑎， 因为x＝0是函数f（x）的极值点， 则f'（0）＝0，解得a−=0，解得a＝1， 当a＝1时，f'（x）＝ex−
1
， 𝑥+11𝑎当﹣1＜x＜0时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减， 当x＞0时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增， 所以x＝0是函数g（x）的极值点， 故a＝1； 故选：A．
8．（5分）已知𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，2|𝐴𝐵|＝3|𝐴𝐶|＝6m（m＞0），若点M是△ABC所在平面内的一点，且𝐴𝑀=
16
→
→
→
→
→
𝐴𝐵|𝐴𝐵|
→→
−
𝑚𝐴𝐶|𝐴𝐶|
→→
，则𝑀𝐵⋅𝑀𝐶的最小值为（ ）
14
34
56
→→
A． B． C． D． 【解答】解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系，如右图所示：
则A（0，0），B（3m，0），C（0，2m），𝐴𝐵=（3m，0），𝐴𝐶=（0，2m）， 𝐴𝑀=
→
→
→
𝐴𝐵|𝐴𝐵|
→→
−
𝑚𝐴𝐶|𝐴𝐶|
→→
=（1，﹣m），
→
→
所以M（1，﹣m），𝑀𝐵=（3m﹣1，m），𝑀𝐶=（﹣1，3m）， 则𝑀𝐵⋅𝑀𝐶=3m2﹣3m+1＝3（m−2）2+4≥4． 故选：B．
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→
→
111
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售量y（单位：千件）的影响，现收集了近5年的年宣传费x（单位：万元）和年销售量y（单位：千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为𝑦=𝑏𝑥−8.2，则下列结论正确的有（ ）
x y
4 l
6 5
8 7
10 14
12 18
A．x，y之间呈正相关关系 B．𝑏=2.15
C．该回归直线一定经过点（8，7）
D．当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件 【解答】解：因为𝑥=
4+6+8+10+121+5+7+14+18
=8，𝑦==9，
55所以该回归直线一定经过点（8，9），
故9=8𝑏−8.2，解得𝑏=2.15，即A，B正确，C不正确； 将x＝20代入𝑦=2.15𝑥−8.2，得𝑦=34.8，
故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800 件，D正确． 故选：ABD．
（多选）10．（5分）某正方体的平面展开图如图所示，在原正方体中，下列结论正确的有（ ）
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A．BF⊥平面DEH C．FG⊥平面ABC
B．DE∥平面ABC D．平面DEH∥平面ABC
【解答】解：如图所示，正方体各个面逐一命名， 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则G（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），E（1，1，0），D（1，0，1），H（0，1，1），F（1，1，1），
A（0，0，1），𝐷𝐸=(0，1，−1)，𝐷𝐻=（﹣1，1，0），𝐴𝐵=（0，1，﹣1），𝐵𝐶=（1，﹣1，0）， 设平面DEH
→
→
的法向量为𝑛1→
→
→
→
𝑦−𝑧=0
=（x，y，z），{→→，即{，令y＝1，则x
−𝑥+𝑦=0
𝑛1⋅𝐷𝐻=0
𝑛1⋅𝐷𝐸=0
→
→
＝z＝1，𝑛1=（1，1，1）， 平面ABC
→
→
的法向量为𝑛2
→𝑛2
=（x，y，z），{→
𝑛2
𝑦−𝑧=0⋅𝐴𝐵=0，即{，令y＝1，则x＝z＝→𝑥−𝑦=0
⋅𝐵𝐶=0
→
1，𝑛2=（1，1，1），
故平面DEH∥平面ABC，D正确，
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𝐵𝐹=（1，0，1），𝐷𝐸=（0，1，﹣1），𝐹𝐺=（1，﹣1，﹣1）， ∵𝐵𝐹≠𝜆𝑛1，
∴BF不垂直于平面DEH，故A错误， ∵𝐷𝐸•𝑛2=1﹣1＝0， ∴𝐷𝐸⊥𝑛2，
∴DE∥平面ABC，故B正确， ∵𝐹𝐺=−𝑛2， ∴𝐹𝐺∥𝑛2， ∴𝐹𝐺为平面ABC，
∴FG⊥平面ABC，故C正确． 故选：BCD．
（多选）11．（5分）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣18人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升．”则下列结论正确的有（ ） A．将这18人派谴完需要16天 B．第十天派往筑堤的人数为134 C．官府前6天共发放1467升大米
→→
→→
→
→
→
→
→→
→
→→→
D．官府前6天比后6天少发放1260升大米
【解答】解：记数列{an}为第n天派遣的人数，数列{bn}为第n天获得的大米升数， 则{an}是以为首项，7为公差的等差数列，即an＝7n+57； {bn}是以192为首项，21为公差的等差数列，即bn＝21n+171， 所以a10＝+7×9＝127，B不正确；设第k天派遣完这18人， 则k+
7𝑘(𝑘−1)
=18， 2解得k＝16（负值舍去），A正确；
官府前6天共发放192×6+2×21=1467升大米，C正确；
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5×5
官府前6天比后6天少发放21×10×6＝1260升大米，D正确． 故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知1＜a＜b＜e（e为自然对数的底数），则（ ） A．ab＜ba
B．𝑏𝑎＞𝑒𝑒 𝑎𝑏
C．𝑎𝑎＞𝑒𝑒
𝑎𝑏
D．𝑎𝑏＜𝑒𝑒
𝑎𝑏
【解答】解：∵1＜a＜b＜e，∴ab＞aa＞a0＝1，ba＞b0＝1，logba＜logbb＝1， 对𝑎，𝑏
𝑙𝑛𝑎𝑏𝑎𝑏
𝑏
𝑎
𝑎𝑏
，𝑒𝑒这三个数先取自然对数，再除以
ab，
𝑎𝑏𝑙𝑛𝑒𝑐则=
𝑏𝑙𝑛𝑎𝑎𝑏
=
𝑙𝑛𝑎𝑎
，
𝑙𝑛𝑏𝑎𝑎𝑏
=
𝑎𝑙𝑛𝑏𝑎𝑏
=
𝑙𝑛𝑏𝑏
，
𝑎𝑏
=
1𝑒
=
𝑙𝑛𝑒𝑒
，
设f（x）=
𝑙𝑛𝑥1−𝑙𝑛𝑥，则f′（x）=， 𝑥𝑥2由f′（x）＞0，解得0＜x＜e，∴f（x）在（0，e）上单调递增， ∴f（a）＜f（b）＜f（e）， ∴
𝑙𝑛𝑎𝑎
𝑎
＜𝑙𝑛𝑏𝑏
＜𝑎
𝑙𝑛𝑒𝑒
，
∴𝑎＜𝑎＜𝑏故选：AD．
𝑏
𝑎𝑏＜𝑒𝑒．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知tan（α+β）＝4，tanβ＝2，则tan2α＝ 【解答】解：因为tan（α+β）＝4，tanβ＝2， 所以tanα＝tan[（α+β）﹣β]=1+𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)𝑡𝑎𝑛𝛽 =
4−22
=，
1+4×29𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)−𝑡𝑎𝑛𝛽
3677 ．
2×22𝑡𝑎𝑛𝛼369所以tan2α===，
1−𝑡𝑎𝑛2𝛼1−(2)2779故答案为：
3677
．
14．（5分）（x+2y）（3x﹣y）4的展开式中x3y2的系数为 ﹣162 ．（用数字作答）
21
【解答】解：展开式中含x3y2的项为x×𝐶4(3𝑥)2(−𝑦)2+2y×𝐶4(3𝑥)3(−𝑦)=（54﹣216）
x3y2＝﹣162x3y2， 所以x3y2的系数为﹣162， 故答案为：﹣162．
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15．（5分）已知F是椭圆E：
𝑥24
+
𝑦22
=1的右焦点，P是椭圆E上一点，Q是圆C：x2+y2
﹣2√2𝑥−4√2y+9＝0上一点，则|PQ|﹣|PF|的最小值为 ﹣1 ，此时直线PQ的斜率为 1 ．
【解答】解：如图，
由题可知，圆C的圆心坐标为(√2，2√2)，半径为1， 设椭圆E的左焦点为F1，
椭圆中，|𝑃𝐹|=4−|𝑃𝐹1|，𝐹1(−√2，0)，
则|PQ|﹣|PF|＝|PQ|+|PF1|﹣4＝|PC|+|PF1|﹣5≥|CF1|﹣5＝﹣1， 当F1，P，Q，C四点共线时，等号成立，此时直线PQ的斜率为故答案为：﹣1；1．
16．（5分）已知2a﹣b＝2，且0＜a+b＜2，则
1𝑎+𝑏
2√2−0√2−(−√2)=1．
+
1𝑎−2𝑏
的最小值为 2 ．
【解答】解：因为2a﹣b＝（a+b）+（a﹣2b）＝2，且0＜a+b＜2， 所以a﹣2b＞0， 则
1𝑎+𝑏
+
1𝑎−2𝑏
=（11
2𝑎+𝑏
+
1𝑎−2𝑏
）[（a+b）+（a﹣2b）]=（2+
1
2𝑎+𝑏𝑎−2𝑏1
+）≥(2+𝑎−2𝑏𝑎+𝑏22√
𝑎+𝑏𝑎−2𝑏⋅)=2， 𝑎−2𝑏𝑎+𝑏𝑎+𝑏𝑎+𝑏𝑎−2𝑏𝑎−2𝑏
当且仅当当且仅当
==
𝑎−2𝑏𝑎+𝑏𝑎−2𝑏𝑎+𝑏
且2a﹣b＝2，即a=3，b=3时取等号， 且2a﹣b＝2即时取等号，
21
故答案为：2．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
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17．（10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2C﹣3cosC﹣1＝0． （1）求C；
（2）若𝑐=2√3，△ABC的面积为√3，求a，b． 【解答】解：（1）因为cos2C﹣3cosC﹣1＝0， 所以2cos2C﹣3cosC﹣2＝0， 解得𝑐𝑜𝑠𝐶=−或cosC＝2（舍去）． 又0＜C＜π， 所以𝐶=
2𝜋
． 32𝜋， 312（2）由（1）可知𝐶=
又𝑐=2√3，△ABC的面积为√3，
所以△ABC的面积𝑆=2𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶=4𝑎𝑏=√3， 又c2＝a2+b2﹣2abcosC， 所以a2+b2+ab＝12，
𝑎𝑏=4所以{2，解得a＝b＝2．
𝑎+𝑏2=8
18．（12分）一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中佩戴、阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩，按照我国医药行业标准，口罩对细菌的过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品，某部门为了检测一批口置对细菌的过滤效率．随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率（百分比）按照[95，96），[96，97），[97，98），[98，99），[99，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中m的值并估计这一批口罩中优等品的概率；
（2）为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从[98，99）和[99，100]两组中抽取7个口罩，再从这7个口罩中随机抽取3个口罩做进一步检测，记取自[98，99）的口罩个数为X，求X的分布列与期望．
1
√3第 14 页 共 19 页
【解答】解：（1）由图可知m＝1﹣（0.15+0.20+0.30+0.10）＝0.25估计这一批口罩中优等品的概率为0.25+0.1＝0.35．
（2）因为m＝0.25，所以从[98，99）中抽取
0.10.25+0.1
0.250.25+0.1
×7=5个，从[99，100]中抽取
×7=2个．
则X的可能取值为1，2，3，
𝐶𝐶𝐶142且𝑃(𝑋=1)=3=，𝑃(𝑋=2)=532=，𝑃(𝑋=3)=5=， 377𝐶7𝐶7𝐶77𝐶5𝐶212
21
3
故X的分布列为
X P
𝐸(𝑋)=1×+2×+3×
1
7471
17
2
47
3
27
215=． 7719．（12分）在①a1＝1，nan+1＝（n+1）an，②2𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑎𝑛=2𝑛+1−2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答． 问题：在数列{an}中，已知_______． （1）求{an}的通项公式； （2）若𝑏𝑛=
2𝑎𝑛−1
𝑎，求数列{bn}的前n项和Sn． 3𝑛【解答】解：（1）选择①． 因为nan+1＝（n+1）an，所以所以{又
𝑎11𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑛+1𝑛+1
=
𝑎𝑛𝑛
．
}是常数列．
𝑎𝑛𝑛
=1，所以=1，故an＝n，
选择②
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因为2𝑎1+2𝑎2+⋯+2𝑎𝑛=2𝑛+1−2， 所以当n＝1时，2a1＝22﹣2＝2，解得a1＝1， 当n≥2时，2𝑎𝑛=2𝑛+1−2𝑛=2𝑛，所以an＝n． 又a1＝1，所以an＝n． （2）由（1）可知，𝑏𝑛=则𝑆𝑛=
2𝑛−1𝑛， 3
132𝑛−1132𝑛−11
++⋯+．𝑆=++⋯+． 𝑛1233𝑛32333𝑛+133
23
两式相减得
2𝑛+23𝑛+1𝑆𝑛=
13
+
232+
233+⋯+
23𝑛−
2𝑛−13𝑛+1=
13
+
21
(1−𝑛−1)9311−3−
2𝑛−13𝑛+1=
23
−
．
𝑛+1𝑛． 3
故𝑆𝑛=1−
20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC=√3BD=√3CD=√3，AD=√2，E，F分别为AB，AC的中点．
（1）在图中作出平面DEF与平面BDC的交线，并说明理由； （2）求平面DEF与平面BDC夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC又EF⊄平面BCD，BC⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD． 设平面DEF∩平面BDC＝l，则l∥EF∥BC．
如图，过点D作与BC平行的直线l，l即平面DEF与平面BDC的交线．
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𝐵𝐷2+𝐶𝐷2−𝐵𝐶1
（2）解：因为𝐵𝐶=√3𝐵𝐷=√3𝐶𝐷=√3，所以𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝐷𝐶==−， 2𝐵𝐷⋅𝐶𝐷22
所以∠BDC＝120°又AD⊥平面BCD，所以以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角全标系D﹣xyz， 则D（0，0，0），B（
1√3，—，0），C（0，1，0）， 22
√3→√31√21√21√2因为A（0，0，，所以𝐸(，−，)，𝐹(0，，)，则𝐷𝐸=(，−，)，√2）44222442𝐷𝐹=(0，2，2)．
设平面DEF的法向量𝑚=（x，y，z），
√21
𝑧=0
42则{4， √21
𝑦+𝑧=022√3→
→
1√2𝑥−𝑦+
令z＝1，得𝑚=(−√6，−√2，1)，
由题可知，平面BCD的一个法向量𝑛=（0，0，1）．
𝑚⋅𝑛1则𝑐𝑜𝑠＜𝑚，𝑛＞=→→=，
|𝑚||𝑛|3→→
→
→
故平面DEF与平面BDC夹角的余弦值．
3
1
21．（12分）已知函数𝑓(𝑥)=(𝑎2+1)𝑙𝑛𝑥+𝑎𝑥−． （1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在x＝处的切线方程； （2）若f（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，求a的值．
【解答】解：（1）因为𝑓(𝑥)=2𝑙𝑛𝑥+𝑥−𝑥，所以，𝑓′(𝑥)=𝑥+1+f（1）＝0，
所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝4x﹣4．
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𝑎
𝑥12
1
，f'（1）＝4，又𝑥2
（2）因为𝑓(𝑥)=(𝑎2+1)𝑙𝑛𝑥+𝑎𝑥−，所以，𝑓′(𝑥)=
𝑎𝑥𝑎2+1𝑎(𝑎𝑥+1)(𝑥+𝑎)
+𝑎+2=， 𝑥𝑥𝑥2若a≥0，则f′（x）＞0恒成立，所以，f（x）在（0，+∞）上单调递增． 故当x＝（1，+∞）时，f（x）＞f（1）＝0；
若﹣1＜a＜0，则0＜−𝑎＜1＜−，所以，当𝑥∈(0，−𝑎)∪(−，+∞)时，f'（x）＜0；
当𝑥∈(−𝑎，−）时：f'（x）＞0，
则f（x）的单调递减区间为（0，﹣a）和(−𝑎，+∞)，单调递增区间为(−𝑎，−𝑎)， 故当𝑥∈(1，−）时，f（x）＞f（1）＝0；
(𝑥−1)
若a＝﹣1，则𝑓′(𝑥)=−≤0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减．
𝑥22
1𝑎1𝑎1𝑎11
1𝑎故当x∈（1++∞）时，f（x）＜f（1）＝0． 若a＜﹣1，则0＜−＜1＜−𝑎，
所以，当𝑥∈(0，−𝑎)∪(−𝑎，+∞)时，f'（x）＜0： 当𝑥∈(−，−𝑎)时，f′（x）＞0，
则f（x）的单调递减区间为(0，−𝑎)和（﹣a，+∞），单调递增区间为(−𝑎，−𝑎)， 故当x∈（1，﹣a）时，f（x）＞f（1）＝0． 综上所述：a＝﹣1．
22．（12分）在直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x＝4交于P，Q两点，且OP⊥OQ．抛物线C的准线与x轴交于点M，G是以M为圆心，|OM|为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B． （1）求抛物线C的方程； （2）求△ABG面积的取值范围．
【解答】解：（1）依题意可设P（4，y0），Q（4，﹣y0），则𝑂𝑃=(4，𝑦0)，𝑂𝑄=(4，−𝑦0)， 因为OP⊥OQ，
所以𝑂𝑃⋅𝑂𝑄=16−𝑦02=0，故𝑦02=16． 又y02＝8p，所以p＝2． 故抛物线C的方程为y2＝4x．
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→
→
→
→
1
𝑎1
1𝑎11
（2）现证明抛物线C：y2＝4x在点N（xN，yN）处的切线方程为2x﹣yNy+2xN＝0． 𝑦2=4𝑥，证明如下：联立方程组{整理得y2﹣2yNy+4xN＝0，
2𝑥−𝑦𝑁𝑦+2𝑥𝑁=0，2
则𝛥=(−2𝑦𝑁)2−16𝑥𝑁=4𝑦𝑁−16𝑥𝑁．
因为N（xN，yN）在抛物线C上，
2所以𝑦𝑁=4𝑥𝑁，即Δ＝0，
故抛物线C：y2＝4x在点N（xN，yN）处的切线方程为2x﹣yNy+2xN＝0． 设A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），
则直线GA，GB的方程分别为2x﹣y1y+2x1＝0和2x﹣y2y+2x2＝0． 因为点G在直线GA，GB上，所以{
2𝑥3−𝑦1𝑦3+2𝑥1=0，
2𝑥3−𝑦2𝑦3+2𝑥2=0，故直线AB的方程为2x﹣y3y+2x3＝0． 联立方程组{
𝑦2=4𝑥，整理得y2﹣2y3y+4x3＝0，
2𝑥−𝑦3𝑦+2𝑥3=0，则y1+y2＝2y3，y1y2＝4x3，
22故|𝐴𝐵|=√1+(3)2−√(𝑦1+𝑦2)2−4𝑦1𝑦2=√(𝑦3+4)(𝑦3−4𝑥3)，
𝑦2点G（x3，y3）到直线AB的距离为𝑑=
|4𝑥3−𝑦23|√4+𝑦23
，
3|4𝑥3−𝑦211123|22故△ABG的面积为𝑆=|𝐴𝐵|𝑑=√(𝑦3+4)(𝑦3−4𝑥3)⋅=(𝑦3−4𝑥3)2，
2222√4+𝑦3
由题可知，M（﹣1，0），|OM|＝1，
2
则圆M的方程为（x+1）2+y2＝1，故(𝑥3+1)2+𝑦3=1，
因为﹣2≤x3＜0，
22所以𝑦3−4𝑥3=−𝑥3−6𝑥3=−(𝑥3+3)2+9∈(0，8]，
所以
12
(𝑦2
3
−4𝑥3
3)2
∈(0，8√2]，
故△ABG面积的取值范围为[0，8√2]．
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