2013.3.7正余

教学目标：

通过三角形正余弦定理的推理过程，掌握正余弦定理解三角形； 通过解三角形的过程，熟悉正余弦定理的运用； 通过解三角形培养逻辑转化能力。

教学重难点：正余弦定理；正余弦定理与三角函数综合运用；

正弦定理：

例1、在ABC中，已知C=10,A=450,C=300,解这个三角形。 解： A45，C30， B180AC105

abcsinA由,得a102

sinAsinBsinC

bCcsinB 由，得b20sin755256sinBsinCsinC

变式：在ABC中，已知a2,b2,A300，解这个三角形。

bbsinA2解： 由 a,得sinB sinAsinBa2 ab即BA30 B45或B135

⑴当 B=45°时，

C180AB105casinCsinAasinCc31sinA

⑵当 B=135°时，

C180AB15c

例2、在ABC中，若SinA2SinBcosC,且SinASinBSinC,试判断三角形的形状。

abc2R解：由正弦定理

sinAsinBsinC

222asinC31sinA

sin2Asin2Bsin2Ca2b2c2即ABC2又sinA2sinBcosC12sin2B0B22sinB,B24ABC为等腰直角三角形222变式：在ABC，若SinASinBSinC，则ABC的形状是（ ） A：锐角 B：Rt C：钝角 D：不能确定 例3、在ABC中，若

a2,c4,cosB25,25求ABC的面积S。

例4、下列关于ABC的说法正确的是（ ） A：若a7,b14,A300,则B有两解。

B：若a30,b25,A1500,则B只有一解。 C：若a6,b9,A45,则B有两解。 D：若b9,c10,B600,则C无解。

0

例5、在ABC中，若C=3B，求

c的取值范围. b

BC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c，向量m(cosA,1),n(1,13SinA例6、在A),且mn。

（1）求A的大小；

（2）若bc3a,求B，C的大小。 解：⑴

⑵

mnmncosA13sinA0cos(A3)12A(0,)则A3bc3a和正弦定理得：sinBsinC3sinA.

由（1）A3，CAB2-B323333B)即sinBcosB3222232sin(B)且B（0，）623

sinBsin(B当B当B6或B26时，C-A-B时，C-AB2；.26 练 习 A组

1、以下关于正弦定理的叙述和变形错误的是（ ）

A、在ABC中，a:b:c=SinA:SinB:SinC。 B、在ABC中，Sin2A=Sin2B,则a=b。 C、在ABC中，SinA>SinBA>B。 D、在ABC中，

abc。 SinASinBSinC

2、在ABC中，a6,B300,C1200,则ABC的面积是( ) A 、9 B、8 C、93 D、183

3、设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若acosA=bcosB,那么ABC一定是（ ）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

4、在ABC，A600,BC3,则ABC的两边AC+AB的取值范围是（ ） A、33,6 B、2,43 C、33,43 D、3,6



5、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c，向量m3,1,ncosA,SinA,若

mn,且acosB+bcosA=cSinC,则角A，B的大小分别为（ ）

A、

2, B、, C、, D、, 63363633

6、已知在ABC中，A：B：C=1:2:3，a=1，则

a2bc= 。

SinA2SinBSinC

7、ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，aSinASinB+bcos2A=

2a,则

b= 。 a

8、在ABC中，已知3b23aSinB ,且cosB=cosC，角A是锐角，则ABC的形状是 。

B组

abSinB，且cos(AB)cosC1cos2C。 aSinBSinAac 试确定ABC的形状；（2）求的取值范围。

b1、在ABC中，已知

2、ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知A-C=900，a+c=2b,求C。 3、在ABC中，Sin(C-A)=1,SinB=（1)求SinA的值；

（2)设AC=6，求ABC的面积。

1. 3余弦定理

例1、 在

ABC中，角A,B,C

所对的边分别是a,b,c且

cosA1,若a4,bc6,bc，求b, c的值。 42abc2bccosA 解：由余弦定理：

a(bc)2bc2bccosA

2251636bc即bc82 bc6,bcb2,c4例2、已知在ABC中，a=7,b=3,c=5,求最大角和SinC。

解：acb,A为最大角。

b2c2a21cosA2bc2 或已知在ABC中，b=3,c=33,B=300,解这个三角形。

解：由余弦定理： b2a2c22accosB 3a(33)233acos30

222a6或a3; 化简：a9a180,解之得：sinA ①当a6时，由正弦定理，asinB1 b 0A150A90,C60

sinA ②当a3时，由正弦定理，asinB1 b2 0A150,A30,C120

例3、已知⊙0的半径为R，在它的内接ABC中有2R(Sin2ASin2C)(2ab)SinB成立，求角C的大小。

例3、在ABC中，C=2A,a+b=10,cosA=

3,求b。 4222例4、在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c,若ab2c，则cosC的最小值为（ ） A、

1132 B、 C、 D、

2222例5、设函数f(x)m.n，其中向量m(2cosx,1),n(cosx,3Sin2x)(xR) （1）、求f(x)的最小正周期与单调递减区间；

（2）在ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，已知f(A)=2,b=1,ABC的面积为

3，2求

bc的值。

SinBSinC2解：f(x)mn2cosx3sin2x2sin(2x6)1(xR)

f(A)2,即2sin(2Asin(2A6)126)1262A又0A,则2A6265,A66313c3又SABCbcsinA242c2.在ABC中，由余弦定理，a2b2c22bccosAa3,abc由正弦定理：sinAsinBsinC 得：b2sinB,c2sinC3sin32

bc2sinBsinC例6、已知ABC的一个内角为1200，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为 。

练习 A组

1、边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（ ） A、900 B、1200 C、1350 D、1500

a2b2c22、已知在ABC中，三边与面积的关系为：SABC,则cosC等于

43（ ） A、

123 B、 C、 D、0 2223、在ABC中，cos2Abc，则ABC是（ ） 22cA、直角三角形 B、等腰三角形或直角三角形 C、等边三角形 D、等腰三角形

4、ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c，设向量

p(ab,c),q(ba,ca),若p//q，则C的大小为（ ）

A、

2 B、 C、 D、 63231，则其外接圆半径为（ ） 35、ABC的两边长分别为2、3，其中角的余弦值为

A、

92929222 B、 C、 D、 241,则b= 。 46、在ABC中，若a=2,b+c=7,cosB=-

BC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，且a=3,b=4,c=6,则bccosA +accosB+abcosC7、在A的值是 。

变式：在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，且a2-c2=2b,SinAcosC=3cosASinC,则边b= 。

8、设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且cosA=

B组

1、在ABC，A,B,C所对的边分别为a,b,c，

已知(abc)(abc)3ab且2cosAsinBsinC判断三角形形状。 解：

2cosAsinBsin(AB)sinAcosBcosAsinB

sinAcosBcosAsinB0即sin(AB)0

0A180,0B180

180AB180 AB0,即AB

又（abc)(abc)3ab

22222(ab)c3ab即abcab

c2a2b22abcosC

1cosC,即C 23 ABC为等边三角形。

1、已知ABC的一个内角为1200，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为 。

2、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且c2=a2+b2-ab。

35，cosB=,b=3,则c= 。 5132cosAsinBsinC（1）若tanA -tanB=

3(1tanA.tanB),求角B； 3（2）设m(SinAn的最大值。 ,1),n(3,cos2A)，试求m、

3、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c且（1）判断ABC的形状；

（2）若2b=a+c,且SABC6,求ABC的三边长。

SinCSinASinBcosAcosB。

综合

1、在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,若的值是 。

batanCtanC6cosC,则abtanAtanB解：b/a+a/b=(a²+b²)/ab=6cosC

又余弦定理：a²+b²-2abcosC=c² =>4ab cosC=c²

tanC/tanA+tanC/tanB=tanC[(sinBcosA+sinAcosB)/sinAsinB]=tanC*sin(A+B)/(sinAsinB)

=tanC*sinC/(sinA*sinB)=(sinC)²(sinA*sinB*cosC) 由正弦定理，(sinC)²/(sinAsinB)=c²/(ab) 所以上式 = c²/(ab cosC) 又 4ab cosC=c² 所以上式 = 4

2、在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知（1）求

cosA2cosC2ca。

cosBbSinC。 SinA1（2）若cosB=,b=2,求ABC的面积S。

4解：（1）由正弦定理可得：a/sinA=b/sinB=c/sinC

那么：(cosA-2cosC)/cosB=(2c-a)/b可化为： (cosA-2cosC)/cosB=(2sinC-sinA)/sinB

即sinBcosA-2sinBcosC=2cosBsinC-sinAcosB sinBcosA+sinAcosB=2(sinBcosC+cosBsinC) 所以由两角和的正弦公式可得：

sin(A+B)=2sin(B+C) 即sinC=2sinA 所以：sinC/sinA=2 因为sinC/sinA=2 所以c/a=2 又因为cosB=1/4,b=2 所以1/4=（a²+c²-b²）/2ac 1/4=（a²+4a²-4）/4a2 化简得a²=1 a=1 所以c=2 由cosB=1/4可知sinB=115 acsinB2415 4SABC

3、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c。 （1）若Sin(A61（2）若cosA,b3c,求SinC的值。

3 4、

)2cosA,求A的值。