不等关系与不等式 2019年高考复习

第三章 不等式 第12课 不等关系与不等式

[最新考纲]

内容 A 不等式的性质 要求 B √ C

1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；(单向性) (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性) a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性) (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒aca>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)

(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；(单向性) nn(6)开方法则：a>b>0⇒a>b(n∈N，n≥2)；(单向性)

1

11

(7)倒数性质：设ab>0，则ab.(双向性)

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a>b⇔ac2>bc2.( ) ab

(2)a>b>0，c>d>0⇒d>c.( )

(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )

(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2．(教材改编)下列四个结论，正确的是________．(填序号) ①a>b，cb－d； ②a>b>0，cbd； 33

③a>b>0⇒a>b； 11

④a>b>0⇒2>2.

ab

①③ [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质1

可知ac由a>b>0可知a2>b2>0，所以a23．已知a<0，－1ab2>a [由－1ab2>a.]

4．已知一个三边分别为15,19,23个单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x个单位长度且构成钝角三角形，试用不等式写出x满足的不等关系__________________．

15－x>0，

15－x＋19－x>23－x，23－x2>15－x2＋19－x2

[三边分别缩短x个单位长度后，三边分别

为15－x,19－x,23－x个单位长度，由题意可知，构成钝角三角形需满足

2

15－x>0，

15－x＋19－x>23－x，

23－x2>15－x2＋19－x2.

________．(填序号)

①a2>b2； a

②b>1； ③2a>2b； ④lg(a－b)>0.

]

5．(2017·吉林长春二模)若a，b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是

③ [取a＝－1，b＝－2，排除①，②，④.]

3

比较两个数(式)的大小 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则

a，b，c的大小关系是________．

ln 3ln 4ln 5

(2)若a＝3，b＝4，c＝5，则a，b，c的大小关系为________.

【导学号：62172069】

(1)c≥b>a (2)a>b>c [(1)由c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0得c≥b.

2

b＋c＝6－4a＋3a，又由得b＝1＋a2. 2

c－b＝4－4a＋a，

13

又b－a＝1＋a2－a＝a－22＋4>0，

故b>a. ∴c≥b>a.

(2)令f(x)＝ln x，则a，b，c可以看作点(3，ln 3)，(4，ln 4)，(5，ln 5)与原点连线的斜率．

显然a>b>c.]

[规律方法] 比较大小的两类方法：

x1[变式训练1] 已知x∈R，m＝(x＋1)x2＋2＋1，n＝x＋2(x2＋x＋1)，则

m，n的大小关系为________．

12x12

x＋＋1x＋m>n [m－n＝(x＋1)－(x＋x＋1)＝222>0. ∴m>n.]

11

若a＜b＜0，给出下列不等式：

不等式的性质 4

①

1111

＜ab；②|a|＋b＞0；③a－a＞b－b；④ln a2＞ln b2. a＋b

其中正确的不等式是________．(填序号) 11

①③ [法一：由a＜b＜0，可知b＜a＜0. ①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以故

11

＜ab，故①正确． a＋b

11

＜0，ab＞0. a＋b

②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0. 故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误．

1111

③中，因为b＜a＜0，又a＜b＜0，所以a－a＞b－b，故③正确．

④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误．

由以上分析，知①③正确．

11

法二：因为a＜b＜0，故可取a＝－1，b＝－2. 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；

因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误． 综上，可知①③正确．]

[规律方法] 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证 ；二是利用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．

ab

[变式训练2] 若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：①ad＞bc；②d＋c＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中能成立的命题为________．

②③④ [∵a＞0＞b，c＜d＜0， ∴ad＜0，bc＞0，则ad＜bc，①错误．

由a＞0＞b＞－a，知a＞－b＞0，又－c＞－d＞0， 因此a·(－c)＞(－b)·(－d)，即ac＋bd＜0， abac＋bd

∴d＋c＝cd＜0，故②正确．

5

显然a－c＞b－d，∴③正确．

∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴④正确．]

不等式的应用 设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围

是________. 【导学号：62172070】

[5,10] [法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，

即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b， m＋n＝4，m＝3，

于是得解得

n－m＝－2，n＝1，∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，

∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10. f－1＝a－b，

法二：由

f1＝a＋b，

1a＝2[f－1＋f1]，得1

b＝2[f1－f－1]，

∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，

∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 1≤a－b≤2，

法三：由

2≤a＋b≤4，

31确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点A2，2时，



31

取得最小值4×2－2×2＝5， 当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，

6

取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.]

[规律方法] 由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加和同向可乘的性质求得F(x，y)的取值范围．

[变式训练3] 已知函数f(x)＝ax2－c，且f(1)∈[－4，－则f(3)的取值范围为________．

[－1,20] [法一：∵f(x)＝ax2－c， ∴{f1＝a－c，

f2＝4a－c，

∴a＝13[f2－f1]，－c＝413f1－3f2，

∴f(3)＝9a－c＝－58

3f(1)＋3f(2)． 又－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5， ∴5520，－88403≤－3f(1)≤33≤3f(2)≤3， ∴－1≤f(3)≤20，

∴f(3)的取值范围为[－1,20]． 法二：设f(3)＝λf(1)＋μf(2)， ∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)， ∴

9＝λ＋4μ，3，－1＝－λ－μ，

λ＝－5解得μ＝8

3，

∴f(3)＝－58

3f(1)＋3f(2)．

又－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，

7

1]，f(2)∈[－1,5]，55208840∴3≤－3f(1)≤3，－3≤3f(2)≤3， ∴－1≤f(3)≤20，

∴f(3)的取值范围为[－1,20]．]

[思想与方法]

11

1．倒数性质，若ab>0，则a>b⇔a2．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件的选择题，用特殊值验证的方法更简单．

3．比较法是不等式证明或判定两个实数(或代数式)大小的主要方法之一，其主要步骤为作差——变形——判断正负．

4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法． [易错与防范]

1．运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件．

2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围．

3．利用作商法比较大小时，要注意两代数式的符号．

课时分层训练(十二)

8

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、填空题

1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是________．

M>N [M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)． ∵a1，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0， ∴(a1－1)(a2－1)>0，即M>N.]

ππβ

2．设α∈0，2，β∈0，2，那么2α－3的取值范围是________．

ππ

－，π0，6 [∵α∈，∴2α∈(0，π)． 2ππββπ

又β∈0，2，∴3∈0，6，－3∈－6，0，

βπ∴2α－3∈－6，π.]



3．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________________. 【导学号：62172071】

x30－2x≥216，

 [设矩形的宽为x m，面积为S m2，根据题意得S＝x(300＜30－2x≤18

x30－2x≥216，－2x)≥216,0＜30－2x≤18，∴]

0＜30－2x≤18.

4．设a>b>c>0，x＝a2＋b＋c2，y＝b2＋c＋a2，z＝c2＋a＋b2，则x，y，z的大小关系是________．(用“>”连结)

z>y>x [∵a>b>c>0，

∴y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2 ＝2c(a－b)>0， 则y2>x2，即y>x. 同理可证z>y. ∴z>y>x.]

9

11

5．设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋a>b＋b”的________条件． 1a－bab－111

充分不必要 [因为a＋a－b＋b＝，若a>b>1，显然a＋

aba－1a－bab－1121

b＋b＝>0，则充分性成立，当a＝，b＝时，显然不等式a＋

ab23a>b1

＋b成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立．]

6．(2016·北京高考改编)已知x，y∈R，且x>y>0，则下列不等关系正确的是________．(填序号)

11

①x－y>0； 11

③2x－2y<0; 

②sin x－sin y>0； ④ln x＋ln y>0.

1111

③ [函数y＝2x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，2x<2y，即2



x

111111

－2y<0，故③正确；函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，由x>y>0⇒x<0，故①错误；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sin x与sin y的大小，故②错误；x>y>0⇒xy>0⇒/ ln(xy)>0⇒/ ln x＋ln y＞0，故④错误．]

7．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论： cc

①a＞b；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)． 其中所有正确结论的序号是________．

11cc

①②③ [由a＞b＞1，c＜0得，a＜b，a＞b；幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，所以ac＜bc；因为a－c＞b－c，所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，①②③均正确．]

8．已知存在实数a满足ab2＞a＞ab，则实数b的取值范围是________.

【导学号：62172072】

(－∞，－1) [∵ab2＞a＞ab，∴a≠0， 当a＞0时，b2＞1＞b，

10

2

b＞1，即解得b＜－1； b＜1，

当a＜0时，b2＜1＜b，

2

b＜1，即无解． b＞1

综上可得b＜－1.]

x2x3

9．设x，y为实数，满足3≤xy≤8,4≤y≤9，则y4的最大值是________．

2

x2x4

27 [将4≤≤9两边平方，得16≤2≤81.①

yy111

由3≤xy2≤8，得8≤xy2≤3.②

x3x3

由①②，得2≤y4≤27，即y4的最大值是27.]

ab11

10．已知a＋b＞0，则b2＋a2与a＋b的大小关系是__________________． ab11ab11＋b2＋a2≥a＋b [b2＋a2－ab a－bb－a＝b2＋a2 11＝(a－b)b2－a2

a＋ba－b2

＝.

a2b2∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，a2b2＞0， a＋ba－b2∴≥0，

a2b2ab11∴2＋2≥＋.] baab二、解答题

11．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求证：[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0， ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，

11

ee

. 2＞a－cb－d2∴0＜

11

. 2＜a－cb－d2ee

又∵e＜0，∴. 2＞a－cb－d212．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 【导学号：62172073】

[解] 设该单位职工有n人(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，

3134则y1＝x＋4x·(n－1)＝4x＋4nx，y2＝5nx.

n134111

所以y1－y2＝4x＋4nx－5nx＝4x－20nx＝4x1－5.

当n＝5时，y1＝y2； 当n＞5时，y1＜y2； 当n＜5时，y1＞y2.

因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．

B组 能力提升 (建议用时：15分钟)

y＝3[x]＋13，

1．设[x]表示不超过x的最大整数，x，y满足方程组如果

y＝4[x－3]＋5，x不是整数，那么x＋y的取值范围是________．

y＝3[x]＋13，y＝3[x]＋13，

(93,94) [化为：

y＝4[x－3]＋5y＝4[x]－12＋5，解得[x]＝20，y＝73. ∵x不是整数，∴20c

2．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则a的取值范围为________．

12

(0,2)

a＜b＋c≤3a，

[由已知及三角形三边关系得a＋b＞c，

a＋c＞b，

bc∴1＋a＞a，cb1＋a＞a，

bc

1＜a＋a≤3，

bc1＜a＋a≤3，∴cb

－1＜a－a＜1，

cc

两式相加得0＜2×a＜4，∴a

的取值范围为(0,2)．]

x

3．已知x，y为正实数，满足1≤lg xy≤2,3≤lg y≤4，求lg(x4y2)的取值范围．

[解] 设a＝lg x，b＝lg y，则lg xy＝a＋b， x

lg y＝a－b，lg x4y2＝4a＋2b， 设4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)， m＋n＝4，m＝3，∴解得 m－n＝2，n＝1，x∴lg x4y2＝3lg xy＋lg y. x

∵3≤3lg xy≤6,3≤lg y≤4，

∴6≤lg(x4y2)≤10，取值范围为[6,10]．

c

4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a＞b＞c，求a的取值范围． [解] ∵f(1)＝0，

∴a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)． 又a＞b＞c，

∴a＞－(a＋c)＞c，且a＞0，c＜0， a＋cccc

∴1＞－a＞a，即1＞－1－a＞a，

13

2ca＜－1，∴ca＞－2，

1c1c

解得－2＜a＜－2，∴a的取值范围为－2，－2.



第三节 基本不等式

[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

a＋b

1．基本不等式ab≤2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； ba

(2)a＋b≥2(a，b同号且不为零)； a＋b2

(a，b∈R)； (3)ab≤

2

22

a＋b2a＋b

≤(4)

2(a，b∈R)． 2

3．算术平均数与几何平均数

a＋b

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：

14

积定和最小)．

q2

(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4(简记：和定积最大)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1

(1)函数y＝x＋x的最小值是2.( )

π4

(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈0，2的最小值等于4.( )

cos xxy

(3)x>0，y>0是y＋x≥2的充要条件．( ) 1

(4)若a>0，则a3＋a2的最小值为2a.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a2＋b2>2ab 112C.＋> abab

B．a＋b≥2ab baD.＋≥2 ab

D [∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．

ba

对于D，∵ab>0，∴a＋b≥2

baa·b＝2.]

b4a

3．(2016·安徽合肥二模)若a，b都是正数，则1＋a1＋b的最小值为( )

A．7 C．9

B.8 D.10

b4aa·b＝9，当且

b4ab4a

C [∵a，b都是正数，∴1＋a1＋b＝5＋a＋b≥5＋2仅当b＝2a>0时取等号，故选C.]

4．若函数f(x)＝x＋

1

(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( ) x－2

【导学号：01772209】

15

A．1＋2 C．3

B.1＋3 D.4

1

＋2≥2x－2

x－2×

1

＋2＝4，x－2

C [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋当且仅当x－2＝即a＝3，选C.]

1

(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，x－2

5．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.

25 [设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y， 1

则另一边为2×(20－2x)＝(10－x)m， x＋10－x2

＝25， 则y＝x(10－x)≤

2当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]

利用基本不等式求最值 12 (1)(2015·湖南高考)若实数a，b满足a＋b＝ab，则ab的最小值为

( )

A.2 C．22

B.2 D.4

(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．

1212(1)C (2)3 [(1)由a＋b＝ab知a>0，b>0，所以ab＝a＋b≥2ab≥22，

12a＝b，

当且仅当12

a＋b＝

2

ab，即

ab，

44即a＝2，b＝22时取“＝”，所以ab的最小

16

值为22.

3－x231313x3

(2)由x＋2xy－3＝0得y＝2x＝2x－2x，则2x＋y＝2x＋2x－2x＝2＋2x

2

≥23x32·2x＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，

和定积最大，积定和最小”．

2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．

[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，21

若不等式a＋b≥m恒成立，则m的最大值等于( )

A．10 C．8

B.9 D.7

1

(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则m＋1

n的最大值为__________．

2122a＋b2a＋b2b2aba

a＋b(1)B (2)－4 [(1)∵a＋b＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2

abab≥5＋2×2ba121

×＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又ab3a＋b≥m，∴m≤9，即m

的最大值等于9，故选B.

(2)∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0， 1111∴m＋n＝－(m＋n)m＋n

nm

＝－2＋m＋n≤－2－2



nmm·n＝－4，

111

当且仅当m＝n＝－2时，m＋n取得最大值－4.]

利用基本不等式证明不等式

17

已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： 111

(1)a＋b＋ab≥8； 11

(2)1＋a1＋b≥9. 

11111[证明] (1)a＋b＋ab＝2a＋b，

∵a＋b＝1，a>0，b>0，

11a＋ba＋bab

∴a＋b＝a＋b＝2＋b＋a≥2＋2＝4，3分 1111

∴a＋b＋ab≥8(当且仅当a＝b＝2时等号成立).5分 (2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，

a＋b1b1a

∴1＋a＝1＋a＝2＋a，同理1＋b＝2＋b， 11ba

∴1＋a1＋b＝2＋a2＋b ba＝5＋2a＋b≥5＋4＝9，10分



1111＋1＋∴≥9(当且仅当a＝b＝ab2时等号成立).12分 11111

1＋1＋法二：ab＝1＋a＋b＋ab， 111

由(1)知，a＋b＋ab≥8，10分

11111

故1＋a1＋b＝1＋a＋b＋ab≥9.12分 

[规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．

2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．

11

[变式训练2] 设a，b均为正实数，求证：a2＋b2＋ab≥22.

18

【导学号：01772210】

[证明] 由于a，b均为正实数， 11所以a2＋b2≥2

112a2·b2＝ab，3分

11

当且仅当a2＝b2，即a＝b时等号成立， 2

又因为ab＋ab≥22

ab＝22， ab·

2

当且仅当ab＝ab时等号成立， 112

所以a2＋b2＋ab≥ab＋ab≥22，8分 11a2＝b2，

当且仅当2

ab＝ab，

4即a＝b＝2时取等号.12分

基本不等式的实际应用 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗x2

油2＋360升，司机的工资是每小时14元． 

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 130

[解] (1)设所用时间为t＝x(h)，

x2130130

y＝x×2×2＋360＋14×x，x∈[50,100].2分

所以这次行车总费用y关于x的表达式是 130×182×130

y＝＋360x，x∈[50，100].

x2 34013

(或y＝x＋18x，x∈[50，100]).5分 130×182×130(2)y＝＋360x≥26 10，

x

19

当且仅当

130×182×130

＝360x， x

即x＝1810，等号成立.8分

故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12分

[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

[变式训练3] 某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．

(1)用x表示y；

(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．

[解] (1)由题意得，

100＋0.5x＋2＋4＋6＋…＋2xy＝，

x100

即y＝x＋x＋1.5(x∈N*).5分 (2)由基本不等式得： 100

y＝x＋x＋1.5≥2

100

x·x＋1.5＝21.5，8分

100

当且仅当x＝x，即x＝10时取等号．

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分

[思想与方法]

1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和

20

式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

2．基本不等式的两个变形：

a2＋b2a＋b2

≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)． (1)2≥

2(2)a2＋b2a＋b2

≥≥ab≥2211(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．

a＋b

[易错与防范]

1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．

3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

课时分层训练(七) 二次函数与幂函数

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

12

1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，，则k＋α＝( )

22

【导学号：01772040】

1

A.2 3

C.2

B.1 D.2

22111

C [由幂函数的定义知k＝1.又f2＝2，所以2α＝2，解得α＝2，从而

3

k＋α＝2.]

21

2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为( )

A．－3 C.7

2

B.13 D.5

m

B [函数f(x)＝2x－mx＋3图象的对称轴为直线x＝4，由函数f(x)的增减区m

间可知4＝－2，∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.]

3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是( )

A．－1≤m≤2 C．m＝2

B.m＝1或m＝2 D.m＝1

B [由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝1.]

4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )

【导学号：01772041】

A B C D

c

D [由a＋b＋c＝0，a＞b＞c知a＞0，c＜0，则a＜0，排除B，C.又f(0)＝c＜0，所以也排除A.]

5．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( ) A．－1 C.2

B.1 D.－2

B [∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，

22

－a≥4－3a，－a≤4－3a，∴或解得a＝1.] －a＝1，4－3a＝1，二、填空题

6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)．若f(x)在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a＝________，b＝________.

1 0 [因为函数f(x)的对称轴为x＝1，又a＞0， f2＝1，所以f(x)在[2,3]上单调递增，所以

f3＝4，22－2a·2＋1＋b＝1，a·

即解方程得a＝1，b＝0.] 32－2a·3＋1＋b＝4，a·

217．已知P＝2，Q＝53，R＝23，则P，Q，R的大小关系是________.



【导学号：01772042】

2122

P＞R＞Q [P＝2＝3，根据函数y＝x3是R上的增函数且2＞2＞5，

2231323

得＞2＞5，即P＞R＞Q.] 2

8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围是________．

[2,3] [f(x)＝(x－a)2＋5－a2，根据f(x)在区间(－∞，2]上是减函数知，a≥2，则f(1)≥f(a＋1)，

从而|f(x1)－f(x2)|max＝f(1)－f(a)＝a2－2a＋1， 由a2－2a＋1≤4，解得－1≤a≤3， 又a≥2，所以2≤a≤3.] 三、解答题

9．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．

[解] 幂函数f(x)经过点(2，2)， ∴2＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1， ∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.4分 又∵m∈N*，∴m＝1.

23

∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且在定义域上为增函数．

2－a≥0，

由f(2－a)＞f(a－1)，得a－1≥0，

2－a＞a－1，

3

解得1≤a＜2. 3

∴a的取值范围为1，2.12分

10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3，

10分

(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值． [解] (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]， 3

对称轴x＝－2∈[－2,3]，2分 21399

－∴f(x)min＝f2＝4－2－3＝－4， f(x)max＝f(3)＝15， 21

∴值域为－4，15.5分

(2)对称轴为x＝－

2a－1

2. 2a－11

①当－2≤1，即a≥－2时， f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

1

∴6a＋3＝1，即a＝－3满足题意；8分 ②当－

2a－11

＞1，即a＜－22时，

f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意． 1

综上可知a＝－3或－1. 12分

B组 能力提升

24

(建议用时：15分钟)

1．(2017·江西九江一中期中)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＋b＞0，ab＜0，则f(a)＋f(b)的值( )

【导学号：01772043】

A．恒大于0 C．等于0

B.恒小于0 D.无法判断

fx1－fx2

＞0，若a，b∈R，且a

x1－x2

A [∵f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.

当m＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．

当m＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f(x)＝x2 015.

∴幂函数f(x)＝x2 015是定义域R上的奇函数，且是增函数． 又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b， 又ab＜0，不妨设b＜0，

则a＞－b＞0，∴f(a)＞f(－b)＞0， 又f(－b)＝－f(b)，

∴f(a)＞－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.故选A.]

2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．

9

－4，－2 [由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，

25

当x∈[2,3]时，

9

y＝x2－5x＋4∈－4，－2，



9

故当m∈－4，－2时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个

交点．]

3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.

(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围． [解] (1)由题意知 b－＝－1，

2af－1＝a－b＋1＝0，

a＝1，

解得2分

b＝2.

所以f(x)＝x2＋2x＋1，

由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分

(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分

令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，

13

由g(x)＝x＋22＋4知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)

＝1，所以k＜1，

即k的取值范围是(－∞，1).12分

26