三角函数试题含答案

第三章 三角函数、解三角形 (时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的)

1.集合M,{x|x,sinnπnπ，n?Z}，N,{x|x,cos，n?N}，则M?N等于 ( ) 32

A.{,1,0,1} B.{0,1} C.{0} D.? 解析:?M,{x|x,sinnπ33 3，n?Z},{2，0，2， N,{,1,0,1}， MN,{0}. 答案:C 2.已知α?π 2π)，sinα,3 5，则tan(α，π 4等于 1

7 B.7 C.,1 7 D.,7 解析:由α?(π

2π)，sinα,33π1，tanα1

5，得tanα,,4，tan(α，4)1,tanα7.

答案:A

3.若函数f(x),(1，3tanx)cosx,0?xπ 2则f(x)的最大值为 A.1 B.2 C.3，1 D.3，2

解析:f(x),(1，3tanx)cosx,cosx，3sinx ,2sin(x，π 6， 0x,π 2f(x)max,2. 答案:B

4.(2010?温州模拟)函数f(x),2sin(2x，π 6)在[,π 2π

2上对称轴的条数为 A.1 B.2 C.3 D .0 解析:?当,ππ 2x?2 5π 62x，π 6?7 6，

函数的对称轴为:2x，πππ 62，2， x,,π

3xπ

6 ( ) ( ) ( ) 答案:B

π5.要得到y,sin(2x,的图象，只要将y,sin2x的图象 ( ) 3 ππA. B. 33

ππC. D.向右平移 66

ππ解析:?y,sin(2x,,sin2(x,， 36

ππ?只要将y,sin2x的图象向右平移y,sin(2x,的图象. 63 答案:D

π6.使奇函数f(x),sin(2x，θ)，3cos(2x，θ)在[0]上为减函数的θ 值为 ( ) 4

ππ5π2πA., B., C. D. 3663

2sin(2x，θ，， 3 π解析:由已知得:f(x),

ππ由于函数为奇函数，故有θ，kπ?θ,kπ,(k?Z)，可淘汰B、C选项，然后分别将33

0]上递减， 2ππA和D选项代入检验，易知当θ,时，f(x ),,2sin2x其在区间[,故34

选D. 答案:D

3π7.给定函数?y,xcos(x)，?y,1，sin2(π，x)， 2 π?y,cos(cos(，x))中，偶函数的个数是 ( ) 2 A.3 B.2 C.1

D.0

3解析:对于?y,xcos(π，x),xsinx，是偶函数，故?正确;对于?y,1，sin2(π，x),2

πsin2x，1，是偶函数，故?正确;对于?y,cos(cos(，x)) 2 ,cos(,sinx),cos(sinx)，

f(,x),cos(sin(,x)),cos(,sinx),cos(sinx),f(x)， 函数是偶函数，故?正确. 答案:A

8.在?ABC中，若sin2A，sin2B,sinAsinB,sin2C，且满足ab,4，则该三角形的面积为

( )

A.1 B.2 C.2 3

解析:?sin2A，sin2B,sinAsinB,sin2C， a2，b2,c21?a，b,ab,c，?cosC,， 2ab2222 113?C,60?，?S?ABC,sinC,×3. 222 答案:D

π9.有一种波，其波形为函数y,sin()的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最2

高点)，则正整数t的最小值是 ( )

A.3 B.4 C.5 D.6

2π2π解析:由T,4，可知此波形的函数周期为4，显然当0?x?1时函数单调递增，ωπ

2

x,0时y,0，x,1时y,1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x值为1，第二个波峰对应的x值为5，所以要区间[0，t]上至少两个波峰，则t至少为5.

答案:C

10.设集合M,{平面) πππA.π B. C. D. 324

π解析:f(x),cos2x3sin2x,2sin(2x，)，则最小正周期为π. 6 答案:A

ππ11.函数y,sin(2x,)在区间[,π]上的简图是 ( ) 32

ππ解析:当x,,y,sin(,π,) 23 π3,sin,0，排除B、D， 32

πππ当x,y,sin(),sin0,0，排除C. 633 答案:A

ππ2π12.设函数f(x),Asin(ωx，φ)，(A?0，ω,0，,,φ,)的图象关于直线x,对称，它的223

周期是π，则 ( )

15π2πA.f(x)的图象过点(0，) B.f(x)的图象在，]上递减 2123 5πC.f(x)的最大值为A D.f(x)的一个对称中心是点(，0) 12 2π解析:T,π，?ω,2.?图象关于直线x,对称， 3 2π?，φ),?1， 3

2ππ即×2，φ,，kπ，k?Z 32 πππ又?,φ<，?φ, 226 π?f(x),Asin(2x，再用检验法. 6

答案:D

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)

13.已知扇形 .

解析:如图，设内切圆半径为r，则扇形的半径为3r，计算可 π得扇形中心角为 3

1π故S内切圆?S扇形,πr2??3r(3r),2?3. 23 答案:2?3

7π14.已知函数f(x),2sin(ωx，φ)的图象如下图所示，则f(), . 12

3解析:由图象知，函数的周期为×T,π， 2 2π?T,3 π?f(,0， 4

7πππ?f(,f(，) 1243 πTπ,f(),,f(,0. 424 答案:0

3tanA15.设?ABC的 .

33解析:由acosB,bcosA,及正弦定理可得sinAcosB,sinBcosA,sinC，即sinAcosB55

3,sinBcosA,A，B)，即5(sinAcosB,sinBcosA),3(sinAcosB，sinBcosA)，即sinAcosB5

tanA,4sinBcosA，因此tanA,4tanB，所以4. tanB 答案:4

16.下面有五个命题:

函数y,sin4x,cos4x的最小正周期是π; kπ?终边在y轴上的角的集合是{α|α,，k?Z}; 2

在同一坐标系中，函数y,sinx的图象和函数y,x的图象有三个公共点; ππ?把函数y,3sin(2x，)的图象向右平移y,3sin2x的图象; 36 π?函数y,sin(x,在[0，π]上是减函数. 2 其中真命题的序号是 .

解析:?y,sin2x,cos2x,,cos2x，故最小正周期为π，?正确; k,0时，α,0，则角α终边在x轴上，故?错;

由y,sinx在(0,0)处切线为y,x，所以y,sinx与y,x的图象只有一个交点，故?错;

ππ?y,3sin(2x，)的图象向右平移 36 ππy,3sin[2(x,，],3sin2x，故?正确; 63

π?y,sin(x,),,cosx在[0，π]上为增函数，故?错. 2 综上，??为真命题. 答案:??

三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过

程或演算步骤)

本小题满分12分)已知AC,sinsin，BC,(cos, sin222222

，求f(x)的最小正周期和单调递减区间; (1)设f(x),AC ?

，且f(x1),f(x2),1，求x1，x2的值. (2)设有不相等的两个实数x1，

x2?

解:(1)由f(x),AC?BC得

xxxxxxf(x),(cos，sin)?(cossin，(,222222 xxxx,cos2,sin22sincos 2222 ,cosx,sinx π,2cos(x，， 4 所以f(x)的最小正周期T,2π. π又由2kπ?x，?π，2kπ，k?Z， 4 2kπ?x?2kπ，k?Z. 44 π3π得,

π3π故f(x)的单调递减区间是[,，2kπ，，2kπ](k?Z). 44 ππ2(2)由f(x),1得2cos(x，),1，故cos(x，),. 442

，于是有x，,，得x1,0，x2,,， 又x? πππ3ππ, π所以x1，x2,,2

118.(本小题满分12分)在?ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA

,cosB2 310,10

(1)求角C;

(2)若?ABC的最短边长是5，求最长边的长. 1解:(1)?tanA,， 2

255?A为锐角，则cosA，sinA,55 31010又cosB,B为锐角，则sinB， 1010

cosC,,cos(A，B),,cosAcosB，sinAsinB 253105102,,5105102 3又C?(0，π)，?C,π. 4 (2)?sinA,sinB， 510 A,B，即a,b， b最小，c最大， bc, sinBsinC 2

2sinC得c,b,5,5. sinB10 10

19.(本小题满分12分)在?ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA,510，sinB,. 510

(1)求A，B的值;

(2)若a,b,1，求a、b、c的值.

解:(1)?A、B为锐角，sinA?cosA,1,sinA,25， 5510，sinB,， 510 10cosB1,sinB， 10

cos(A，B),cosAcosB,sinAsinB ,253105102,. 5105102 π?0<A，B<π，?A，B,4 3π2(2)由(1)知C,sinC. 42

由正弦定理αbc得 sin Asin BsinC

5a,10b,2c，即a,2b，c5b， ?a,b,2,12b,b,2,1，?b,1， a2，c,5.

20.(本小题满分12分)如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B点分别在第一、二象限，

34点C是圆与x轴正半轴的交点，?AOB是正三角形，若点A的坐标为()，记?COA55

,α.

(1)求1，sin2α 1，cos2α (2)求|BC|2的值.

(1)?A的坐标为)，根据三角函数的定义可知， 55 34解: 43sinα,cosα,， 55

1，sin2α1，2sinαcosα49,,. 2cosα181，cos2α AOB为正三角形，??AOB,60?. (2)??

cosCOB,cos(α，60),cosαcos60,sinαsin60 31433,3,,， 525210

|BC|2,|OC|2，|OB|2,2|OC|?|OB|cos?COB 3,437，43,1，1,,105

21((本小题满分12分)已知函数f(x),Asin(ωx，φ)，B(A,0，ω,0)的一系列对应值如下表:

1 5π4π11π7π 66333 1 -1 1 17π 63 y -1

(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式;

2ππ(2)根据(1)的结果，若函数y,f(kx)(k,0)周期为，当x?[0时，方程f(kx)

,m恰有33

两个不同的解，求实数m的取值范围; 解:(1)设f(x)的最小正周期为T，得 11ππT, ,(,,2π， 66 2π由T,ω,1. ω

又

5ππ5ππ令ω，φ,，即，φ 6262 π解得φ,,， 3

π?f(x),2sin(x,)，解得

π2π(2)?函数y,f(kx),2sin(kx,，1的周期为， 33 又k,0，?k,3. π令t,3x 3 π?x?[0， 3 π2π?t?[,33

π2π3如图sint,s在[,上有两个不同的解的充要条件是s?，1)， 332 π?方程f(kx),m在x?[0时恰好有两个不同的解的充要条件是m?[3，1,3)， 3

，1,3)( 即实数m的取值范围是3

22((本小题满分14分)(2010?长沙模拟)长沙市某棚户区改造 建筑用地平面示意图如图所示(经规划调研确定，棚改规划建

筑用地区域近似地为半径是R的圆面(该圆面的地APCD的面积最大，并求 最大值(

解:(1)因为四边形ABCD内接于圆，

所以?ABC，?ADC,180?，连接AC，由余弦定理: AC2,42，62,2×4×6×cos?ABC ,42，22,2×2×4cos?ADC.

1所以cos?ABC,，??ABC?(0，π)， 2 . 故?ABC,60

11S四边形ABCD,×4×6×sin60?，×2×4×sin120? 22 ,3(万平方米)(

在?ABC中，由余弦定理: AC2,AB2，BC2,2AB?BC?cos?ABC 1,16，36,2×4×6. 2 AC, 2 7.

由正弦定理ab,,2R， sinAsinB AC721?2R,,,， 3sin?ABC3 2

221?R,(万米)( 3

(2)?S四边形APCD,S?ADC，S?APC， 1又S?ADCAD?CD?sin120?,23， 2

设AP,x，CP,y.

13则S?APC,?sin60?xy. 24

又由余弦定理AC2,x2，y2,2xycos60? ,x2，y2,xy,28. x2，y2,xy?2xy,xy,xy.

xy28，当且仅当x,y时取等号 ?S四边形APCD,2333xy?3，×28,93， 44?最大面积为3万平方米(