２０１２年３月 安徽大学学报（自然科学版） Ｍａｒｃｈ ２０１２ 第３６卷第２期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏｌ＿３６ Ｎｏ．２ 基于非线性时滞系统与时滞相关的日∞控制 辛云冰 （集美大学理学院，福建厦门３２１０２１） 摘要：考虑非线性时滞系统的Ｈ 控制，并对非线性项给出了一个新假设，在其假设下利用线性矩 阵不等式方法得到了与时滞相关的日 控制，同时也得到了该类非线性时滞系统鲁棒镇定的充分条件． 关键词：非线性时滞系统；时滞相关；鲁棒镇定；Ｈ 控制 中图分类号：Ｏｌ７５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１０００—２１６２（２０１２）０２—００１５—０４ Ｒｏｂｕｓｔ Ｈ。。ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｅｌａｙ ｖｉａ ｓｔａｔｅ ｆｅｅｄｂａｃｋ ＸＩＮ Ｙｕｎ—ｂｉｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｊｉｍｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉａｍｅｎ ３６１０２１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｓｔａｔｅ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｏｂｕｓｔ Ｈ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｅｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｔｅｎｎ ｌ厂（ （ｔ）， （ｔ— ｒ），ｔ）ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ，ｔｈｅ ｓｕｉｔａｂｌｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｗａｓ ｇｉｖｅｎ．Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ，ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ＬＭＩ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｈｅ ｓｕｆｉｆｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｗａｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｆｏｘ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍ．Ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｔｒｏｌ ｗａｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｈａｍｉｌｔｏｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍｓ；ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌ；ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ；Ｈ ｃｏｎｔｒｏｌ 近年来，非线性时滞系统的鲁棒镇定问题和非线性时滞系统 控制问题，在控制界得到了广泛重 视和研究 －３ｊ．Ｇ．Ｚａｍｅｓ于１９８１年提出了Ｈ 控制的思想，其主要思路是以系统某些信号问的传递函数 的日 范数为优化指标，希望跟随问题的干扰频谱对输出产生的频率响应为最小．随着控制理论不断发 展，各种方法相继涌现．最近以来，关于不确定系统的 控制问题引起人们的研究兴趣 ．采用的方 法有：依赖Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｊａｃｏｂｉ不等式，通过求解一个由标称系统和不确定性的界函数构造的Ｈａｍｉｌｔｏｎ— Ｊａｃｏｂｉ不等式的光滑解，得到不确定非线性系统的日 控制问题的解 ，但未考虑时滞问题；基于动态耗 散理论和微分对策原理的方法，用状态空间法处理同时具有状态和输入时滞的线性定常系统的 控 制问题。。 ，并得到了与时滞参数相关的设计判别条件，但在得到的状态反馈控制中未考虑与时滞相关 的问题；在模有界结构条件下，对非线性不确定系统的输出反馈鲁棒 控制进行了研究 ；文献 考虑到具有纯滞后输入的线性时滞系统，在系统的状态时滞与控制输入时滞不同时，研究了依赖时滞的 状态反馈控制器设计问题；基于线性矩阵不等式的转换，对带有扰动的仿射非线性系统的日 控制问 题 ” ，但在文献 中所得到的状态反馈控制中均未考虑与时滞相关的问题． 收稿日期：２０１ｌ一０５—０６ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０７７１００１）；福建省自然科学基金资助项目（Ａ０４４０００５） 作者简介：辛云冰（１９６０一），男，福建厦门人，集美大学副教授． 引文格式：辛云冰．基于非线性时滞系统与时滞相关的Ｈ 控制［Ｊ］．安徽大学学报：自然科学版，２０１２，３６（２）： １５一ｌ８． １６ 安徽大学学报（自然科学版） 第３６卷 论文研究非线性时滞系统，对非线性项 （ ）， （ｔ—ｒ），ｔ）提出新假设，利用线性矩阵不等式的方 法，给出与时滞相关日 控制问题，得到与时滞相关的闭环系统鲁棒镇定的充分条件． １问题的描述 考虑如下非线性时滞系统 ， （ｔ）＝Ａｘ（ｔ）＋Ａ１ （ｔ— ）＋＿厂（ （ｔ）， （ｔ一丁），ｔ）＋Ｂｕ（ｔ）＋Ｂ１０３（ｔ）， ｛ （ ）＝Ｃｘ（ｆ）＋Ｄｕ（ ）， （１） （ｔ）＝ （ｔ），ｔ∈［ｔｏ一 ，ｔｏ］， 其中： ∈Ｒ 为系统状态；Ａ，Ａ。，曰，Ｂ ，Ｃ，Ｄ为适当维数的定常矩阵；ｒ≥０为系统滞后量；Ｍ∈Ｒ 为系 统控制输入； （ｔ）∈Ｒ 为干扰信号；ｚ（ｔ）∈Ｒ 是系统输出； ∈Ｃ［ｔ。一７．，ｔ。］是连续函数，是系统的初 始函数，ｔ。ｆｔ．Ｒ为初始时刻 （ｔ）， （ｔ一 ），ｔ）为未知ＥＬ维向量函数．对系统（１）的非线性时滞项 （ ）， （ｔ—ｒ），ｔ），有 假设１ 存在常数对称矩阵Ｆ Ｆ。 ，Ｒ ，使满足 ≤ （ ） Ｆｌｌ （￡）＋２ｘ （ｔ）Ｒｌ （ｔ— ）＋ （ｔ— ｒ）Ｆｌ２ （ｔ— ）， （２） 且 ｆＦ－ Ｒｊ １＞０． 【Ｒｌ Ｆｌ２ Ｊ 注１假设１反映了系统（１）的非线性部分满足一个特殊的线性界，此条件在以往的文献中尚未见 到．它不仅给出了非线性时滞项的特性，且体现了系统状态与时滞状态之问的关系及时滞非线性系统的 耦合特性． 注２假设１隐含着 ０，０，ｔ）一０，Ｖ ｔ≥ｔ。，这表明 （ｔ）＝０，Ｖ ｔ≥ｔ。一 ｒ是系统（１）的平衡点． 注３ 系统（１）的不确定部分都包含在Ｉ厂（ （ｔ）， （ｔ一７－），ｔ）中． 论文的目的是设计如下形式的无记忆控制器 “（ｔ）＝Ｋｘ（ｔ）， （３） 其中： 为设计参数矩阵．使闭环系统（１）满足 （１）Ｖ ７－≥０，系统内部是渐近稳定的，即 （ｔ）＝０，Ｖ ｔ≥ｔ。一 时，闭环系统（１）的零解是渐近稳 定的； （２）当初始条件为零时，即 （ｔ）＝０，Ｖｔ∈［ｔ 一７－，ｔ。］时，闭环系统（１）满足 性能指标 ｌ［ｚ （ｔ）ｚ（￡）一 ∞ （￡） （ ）］ｄｔ≤０． （４） 引理ｌ… 对给定的对称矩阵 ＝［ ，其中： 是ｒ×ｒ维的，以下条件是等价的：ｓ＜。； Ｓｌｌ＜０，Ｓ２２一ｓ 。Ｓｌ２＜０；ｓ２２＜０Ｓｌ１一Ｓｌ２Ｓ￣ＩｓＴ２＜０，． …引理２ 对具有适当维数的任意向量 ，Ｙ和常数０＞０，有２ｘ—ｙ≤１ ）ｇ… ＋ａｙ ｙ． ２日 控制问题 当矩阵Ｄ列满秩时，不失一般性，对系统（１）输出ｚ（ｔ）＝Ｃｘ（ｔ）＋Ｄｕ（ｔ），假定 ［Ｃ，Ｄ］＝［０，１］． 定理 对系统（１），若存在常数 ＞０且满足 一 ＞０，Ａ—ｒ＞０，使不等式 ＝： Ｐ＋昀Ｔ＋３￣－ＰＡ１ＡＴｐ＋÷ＰＰ＋Ａ（Ｆ１１＋２Ｆｌ２）＋丁Ｒ Ｒ＋ＴＦｌｌ＋ — —‘Ｐ Ｐ一— ＰＢＢ Ｐ＋ｃ Ｃ＜０ （５） 一 丁＋ｌ 成立．其中： ＝Ａ＋Ａ。，Ｒ＝［ＰＡ Ｂ，ＰＡ Ｂ ，Ａ ，Ａ ］．则可取控制 第２期 辛云冰：基于非线性时滞系统与时滞相关的Ｈ 控制 １７ Ｍ（ ）： 一— ＿曰 ｅｘ（ｆ）， 使闭环系统（１）满足如下日 控制指标，即对任意的Ｔ＞０，使下式成立 （６） （７） ｆ［ｚ。（ｔ）ｚ（ｔ）一ｙ２ｔｏ。（ｔ）ｔｏ（ｔ）］ｄｔ≤０． 证明为了证明式（７）成立，现取Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函 （ ）＝ （ｔ）Ｐｘ（ ）＋Ａ Ｉ （ｏｔ）２Ｆ１２ （ ）ｄａ＋ ， ＋ ０时，Ｖ（ｘ（ｔ））＞０，ｖ（ｏ）＝０．要证 扎 ： ＋ （８） ｎ Ｊ ｆ ［ｕＴ（ ）“（ ）＋∞Ｔ（ ） （ ）］ｄｏｔｄ０． 因为Ｉ［Ｊ ０ （ｔ）ｚ（ｆ）一ｙ２ｅｏ （￡） （ ）］ｄｔ＝』（Ｊ ｎ ｚ （ ） （￡）一 （ｆ） （￡）＋ ）ｄｔ—Ｉ泊￡Ｊ ．当 （ｆ）＞ ．，＝』［ｚ （ ） （ ）一ｙ２（．Ｏ （ｔ）ｏＪ（ ）］ｄｔ≤０， 只要证 （９） （１Ｏ） ＋ｚ （ ）ｚ（ｔ）一ｙ２ｔｏ （ｔ）ｍ（ｔ）≤０， 利用牛顿一莱不尼兹公式，有 （ｆ—ｒ）＝ （ ）一Ｊ一 （ ＋０）ｄ０・ 将（１１）式代人（１）式，得 （１１） （￡）＝（Ａ＋Ａ１） （ｔ）一Ａ１ Ｉ （ｆ＋０）ｄＯ十 （ ）， （ 一ｒ），￡）＋Ｂｕ（ ）＋Ｂ１∞（ ）． （１２） 求 泛函沿着系统（１）解的导数，得 ＝ （ｔ）Ｐｘ（ ）＋ （ｔ）Ｐｘ（ ）＋ （ｔ）２Ｆｌ２ （￡）一Ａｘ （ｔ—ｒ）２Ｆｌ２ （ｔ—ｒ）＋ ｒ ＋ ｒ０ 扎 ．，Ｊｆ ［ （ ＋ ） （￡一丁＋ ）］［ＡＴＡ＋Ａ Ａ ＋ＦＩ１ Ｒ １『 （￡＋ ｌｄ０＋ （ ＋ ） （ｔ一丁＋ ） ＦＪ【 ： 二Ｔ。 ） ＋ ０ ｒＪ／／Ｔ（ｔ）ｕ（ｔ）ｄＯ—ｆ ＩＺＴ（ ＋ ）Ｍ（￡＋０）ｄ０＋Ｊ∞ （ ）∞（￡）ｄ —ｆ￣０Ｔ（￡＋ ） （￡＋０）ｄ０．（１３） 利用引理１和假设１，知上式为 一０ 广０ ２ｘＴ（ｔ）ｅＡ１ ｆ ［ａｘ（￡＋ ）＋Ａ１ （ 一７＿＋日）＋ （ ＋ ）， （￡一 ＋ ）， ＋ ）＋ Ｂｕ（ｔ＋０）＋Ｂ１ （￡＋０）］ｄ ＋３Ｔｘ （ｔ）ｅａｌＡ Ｐ （ｔ）＋ ｆ Ｔ（ ＋Ｏ）ａＴＡ （￡＋ ）ｄＯ＋ｆ Ｘ，Ｔ（￡一丁＋ ）ＡＴＡｌ （￡一丁＋ ）ｄＯ＋ （ ）（ｅａ１ＢＢＴＡ１Ｐ＋ ．ＡｌＢｌＢＴＡＴｐ＞￣（ ）＋ｌ ［ （ ＋ ）“（￡＋ ）＋ （ｆ＋ ）∞（￡＋ ）］ｄＯ＋ Ｊ Ｔ（ ＋ｏ）ｒｌＩ （￡＋ ）＋２ｘＴ（ ＋ｏ）ｎｌ （ 一７－＋ ）＋ＸＴ（ 一７－＋ｏ）ｖｌ２ （ 一７－＋０）ｄ０． （１４） ２ｘ （￡） （￡）， （￡一丁）， ）≤ （ｔ）ＰＰｘ（ｔ）＋ （１５） Ａ （ ）Ｆｌｌ （￡）＋２Ａｘ （ ） （ 一７－）＋Ａｘ （￡一ｒ）Ｆｌ２ （ 一下）． 现将式（１４），（１５）式代人（１３）式得 ｌ８ 安徽大学学报（自然科学版） ３６卷 ≤ 。。’（ｔ）［（Ａ＋Ａ ）ＴＰ＋Ｐ（Ａ＋Ａ１）］ （￡）＋３ｒｘ （ｔ）ＰＡｌＡ 、ｅｘ（ｔ）＋ ’（ｔ）Ｒ Ｒ （￡）＋ 『 （ｔ）Ｆｌｌ （ ） １一ＸＴ（ｔ）ＰＰｘ（ ）＋Ａ （￡）（ＦＩ】＋２Ｆｉｒ２） （ｆ）＋２（Ａ＋ ） （ｔ）Ｒ】 （ｆ一７－）一 （Ａ—ｒ）ｘＴ（￡一ｒ）Ｆｌ２ｘ（ｔ一下）＋丁Ｍ ’（￡）Ｍ（￡）＋ＴＯ）Ｔ（￡） （￡）＋２ｘＴ（ｔ）ＰＢｕ（ｔ）＋２ｘ （ｔ）ＰＢｔｏ（ｔ）． 将（１６）式代入 ＋ （ｆ） （ｔ）一 （ ） （ ），得 ＋ （￡） （ ）一 ∞ （ ）∞（ ）≤ＸＴ（ｆ）［ １’Ｐ＋ＰＡ＋３ｒＰＡＩＡ Ｐ＋÷ ＋ Ａ（ＦｊＩ＋２Ｆｌ２）＋ｒＲ Ｒ＋ｒＦｌ１＋Ｃ ｃ］ （ ）＋（Ｍ（ ）＋Ｂ Ｐｘ（ ）） （、／／ （ ）＋ 者 ｆｘ（ ＿ １‘一Ｔ 、一 ）ＰＢ曰 Ｐｘ（ｆ）－（ ）一Ｐｘ（…ｒ（ （Ａ一７） （ｔ— ）Ｆｌ２ （ｔ—ｒ）． （『）一 （￡一ｒ）一 ’ｐｘ（ ））＋ Ｌ （ｔ）ＰＢ ’Ｐｘ（ｔ）＋２（ａ＋ ） 。。（￡） 故当 （ ）＝一— Ｂ Ｐｘ（ ）， （￡）＝— ７－十ｌ —ｒ ’Ｐｘ（ ）时，有 （ｆ） ｈ！ 。（ｆ） ）＜【 ㈩ ｒ（ ） 一Ｉ （ １＜０． ） 当Ｑ＜０时上式成立，故得到 （ｔ）ｚ（ｔ）＜ 叫 （ｔ） （ｔ），即满足Ｈ 控制指标．定理得证． 推论 设．厂（０，０，ｔ）＝０，Ｖ ｔ≥ｔ 一 ，即 ＝０是系统（１）的… 个甲衡点，标量Ａ＞０和对称正定 矩阵ＪＰ，满足下列Ｒｉｃｃａｔｉ不等式 ＡＰ＋ＰＡ ＋３ｒＰＡ Ｐ＋÷ＰＰ＋ａ（Ｆｌｌ＋２Ｆｌ２）＋ ＲＴＲ＋．『Ｆ １ ＰＢ 、Ｐ＜０， （１９） 那么系统（１）是与时滞相关鲁棒可镇定的． 证明从定理１的证明可以看到，当０９（ｔ）＝０时，式（１９）显然成立． 参考文献： ［１］ 俞 ．鲁棒控制一线性矩阵不等式处理方法ｌ Ｍ Ｊ．清华大学ｍ版礼，２００２． 『２］冯纯伯，张侃键．非线性系统的鲁棒控制［Ｍ］．北京：科学…版社，２００３． 【３］ 曾建福，韩崇昭．非线性系统理论及应ｊｌ｛ｊｌＭｊ． 发： 安交通大学 版社，２００２． ［４］ ｒｉｅｌｏｎｇ Ｓ，Ｋａｔｓｕｔｏｓｈｉ Ｔ．Ｒｏｂｕｓｔ Ｈ ｃｏｎｔｒｏｌ ０ｆ ｕｎｃｅｌ ｒａｉｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｖｉａ ｓｔａｔｅ ｆｅｅｄｂａ（：ｋ［Ｊｊ．ＪＥＥＥ ］［＇ｒａｉｌｓ Ａｕｔｏｍａｔ 、ｌ，、，， （ （ Ｃｏｎｔｒ，１９９５，ＡＣ一４０：７６６—７６８． ｆ ５１ 向东，高立群．一类不确定性系统的鲁棒Ｈ 控制［Ｊ］．自动化学报，１９９９，２５（２）：２２２—２２５． ［６］ 胡中骥，施颂淑．时滞系统的状态反馈和基ｆ观测器的输…反馈没计［Ｊ］． 动化学报，２０００，２６ （３）：２４５—２４９． 费树 ，冯纯ｆ［１．非线性不确定系统的鲁棒性研究¨Ｊｊ．ｎ动化学报，２０００．２６（５）：７００～７０３． 费书叶岷，霍伟．非线性系统的输出反馈鲁棒 控制［Ｊ］．北京航审航天大学学报，１９９５，２１（３）：９６一１０２． 姜楷富，费树岷．线性时滞系统依赖于时滞的 状态反馈控制［Ｊｊ．『Ｉ动化学报，２（）０ｌ，２７（１）：１０８—１１４ 赖永波． 订达．多时滞不确定系统的保成本Ｈ— 鲁棒控制［Ｊ］．两安交通夫学学报，２００７，４１（２）： １８０一ｌ８４． Ｉ１－ｆ一思隽，王新民．小确定系统混合Ｈ一２／１ｔ— 鲁捧控制的血接迭代ＬＭＩ方法［Ｊ Ｊ．控制 论 臆川，２０１ Ｉ，２８ （２）：２４７—２５５． （责任编辑朱夜叫）
