2019高中数学专题复习不等式

(六) 不等式(注意速度和准度)

一、“12＋4”提速练

131．不等式x＋－x≥0的解集是( )

22

13A.xx<－或x>

2213

C.x－≤x≤

22



 13

B.xx≤－或x≥

2213

D.x－22



 



 



 

1313解析：选C 将不等式化为x＋x－≤0，解得－≤x≤. 22222．如果aA.<

abB．ab2

2

C．－ab<－a

11D．－<－ ab111111

解析：选D 由于a，－

a2baba122

<－，故A不正确，D正确．可得ab＝2，b＝1，∴ab>b，故B不正确．可得－ab＝－2，

b2

－a＝－4，∴－ab>－a，故C不正确．

2x＋3y－3≤0，

3．(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件2x－3y＋3≥0，

y＋3≥0，值是( )

A．－15 C．1

B．－9 D．9

2

则z＝2x＋y的最小

解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.

法二：易求可行域顶点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.

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4．若a>1，则a＋A．2 C．3

1

的最小值是( ) a－1

B．a D.2a a－1

解析：选C ∵a>1， ∴a－1>0，a＋

11＝a－1＋＋1≥2＋1＝3， a－1a－1

当a＝2时取到等号，故选C.

x－y＋2≤0，

5．已知变量x，y满足约束条件x＋y－6≤0，

x－1≥0，

A．[2,5]

C．(－∞，3]∪[5，＋∞)

则的取值范围是( )

yxB．(－∞，2]∪[5，＋∞) D．[3,5]

解析：选A 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，yx表示可行域内一点(x，y)与原点连线的斜率，由图易得A(2,4)，

yB(1,5)，故的取值范围是[2,5]．

x6．(2018届高三·石家庄摸底)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x＋y＝4截得的弦长为23，则t＝a1＋2b取得最大值时a的值为( )

1A. 2C.3 4

B.3 2

22

2

3D. 4

24a＋b22解析：选D 因为圆心到直线的距离d＝则直线被圆截得的弦长

，

L＝2r2－d2＝2

所以4a＋b＝4.

2

2

4－

4

3， 2＝2

4a＋b2t＝a1＋2b2＝

≤＝

11

122

×(22a)×1＋2b

2

2

1

××[22a222

＋1＋2b22

]

922

[8a＋1＋2(4－4a)]＝， 4242

第 3 页 共 8 页

8a＝1＋2b，

当且仅当22

4a＋b＝4

2

2

3

时等号成立，此时a＝. 4

x＋y≥3，

7．(2017·兰州诊断)设变量x，y满足不等式组x－y≥－1，

2x－y≤3，

是( )

A.32

2

9B. 2D．25

则x＋y的最小值

22

C.5

解析：选B 约束条件所表示的可行域为一个三角形，而目标函数可视为可行域内的点到原点的距离的平方，其距离的最小值为原点到直线x＋y＝3的距离．

∵原点到直线x＋y＝3的距离为922

∴x＋y的最小值为. 2

8．已知函数f(x)＝ax－(a＋1)x＋a，若a>0时，f(x)<0在x∈(1,2)上恒成立，则实数a的取值范围是( )

2

2

3

32＝，

22

1A.0，

2

C．(0,2]

f解析：选D 由题意知

f

B．[2，＋∞)

1D.0，∪[2，＋∞)

2

12≤0，≤0，

1

解得02

9．某工厂用A，B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件，耗时1 h，每生产一件乙产品需用4个B配件，耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8 h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为( )

A．24万元 B．22万元 C．18万元 D．16万元

解析：选B 设该工厂分别生产甲、乙两种产品x件，y件，每天获得的利润为z万元，

4x≤24，由已知条件可得4y≤16，

x≥0，y≥0，

x＋2y≤8，

目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组表示的平面

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区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(6,1)，所以

zmax＝3×6＋4×1＝22(万元)，故选B.

x＋y≥1，

10．若x，y满足约束条件x－y≥－1，

2x－y≤2，

得最小值，则a的取值范围是( )

A．[－4,2] C．[－4,1]

且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取

B．(－4,2) D．(－4,1)

解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图中可看出，当－1<－<2，22即－411．(2018届高三·惠州调研)已知实数x，y满足：

aax＋3y＋5≥0，

x＋y－1≤0，x＋a≥0，

A．1 C．4

若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a的值为( )

B．2 D．8

解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C－a，4，所以－a＋2×





a－5

3

时，z取得最小值－

a－5

3

＝－4，解得a＝2.

12．在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有以下性质： ①对任意a，b∈R，a⊕b＝b⊕a； ②对任意a∈R，a⊕0＝a；

③对任意a，b，c∈R，(a⊕b)⊕c＝c⊕(ab)＋(a⊕c)＋(b⊕c)－2c. 1

则函数f(x)＝x⊕(x>0)的最小值为( )

xA．4 C．22

B．3 D．1

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解析：选B 根据题意，得

f(x)＝x⊕＝x⊕⊕0＝0⊕x·＋(x⊕0)＋⊕0－2×0＝1＋x＋，

xxxxx

1

即f(x)＝1＋x＋. 1



1



11



1

xx11

∵x>0，可得x＋≥2，当且仅当x＝＝1，即x＝1时等号成立．

x11

∴1＋x＋≥2＋1＝3，可得函数f(x)＝x⊕(x>0)的最小值为f(1)＝3.

xx13．关于x1的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为x

，则

m的取

值范围是________．

1

解析：∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为xm



， 

1

∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且1

m∴m的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)

m<0，

<2，m

14．(2017·南京调研)已知a>b>1，且2logab＋3logba＝7，则a＋________．

1

的最小值为b2－1

31

解析：令logab＝t，由a>b>1，得0即logab＝，a＝b，所以a＋2＝a－1＋＋1≥2

2b－1a－1当a＝2时取等号．

答案：3

a－1·＋1＝3，当且仅

a－1

1

3x＋y≤18，

15．(2017·长春质检)已知实数x，y满足x≥0，

y≥0，

________．

x＋y≤10，

则z＝x＋的最大值为

2

y解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数的方程化成斜截式为y＝－2x＋2z，结合线性规划知识知，

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使目标函数z＝x＋取得最大值的最优解为M(4，6)，故z＝x＋的最大值为7.

22

答案：7

2x－y－1≤0，

x－y≥0，

16．设x，y满足约束条件x≥0，

y≥0，14

的最大值为1，则＋的最小值为________．

yy

若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)

ab解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝ax＋by(a>0，b>0)得，y＝－x＋，平移直线y＝－x＋，数形结合可知，当y＝－x＋过点A(1,1)时，目标函数取得最大值1，即a1414b4a＋b＝1，则＋＝＋(a＋b)＝1＋4＋＋≥5＋2

abzbabzbabzbabab

abb4ab4a·＝5＋4＝9，当且仅当＝，abab214

即b＝2a＝时取等号，故＋的最小值为9.

3ab答案：9

二、能力拔高练

1．已知互不相等的正数a，b，c满足a＋c＝2bc，则下列等式中可能成立的是( ) A．a>b>c C．b>c>a

2

2

2

2

2

B．b>a>c D．c>a>b

2

解析：选B 若a>b，则a＋c>b＋c≥2bc，不符合条件，排除A、D； 又由a－c＝2c(b－c)，故a－c与b－c同号，排除C； 当b>a>c时，a＋c＝2bc有可能成立， 例如取a＝3，b＝5，c＝1，故选B.

11xy2．设x，y∈R，a>1，b>1，若a＝b＝2,2a＋b＝8，则＋的最大值为( )

2

2

2

2

xyA．2 C．4

xyB．3 D．log23

解析：选B ∵a＝b＝2，∴x＝loga2，y＝logb2， 11

∴＝log2a，＝log2b，

xy11

∴＋＝log2a＋log2b＝log2ab，

xy第 7 页 共 8 页

∵2a＋b＝8≥22a·b，

∴ab≤8(当且仅当2a＝b时，取等号)， 1111

∴＋≤log28＝3，即＋的最大值为3.

xyxy3．给出如下四个命题： ①若a≥0，b≥0，则 2

a2＋b2≥a＋b；

②若ab>0，则|a＋b|<|a|＋|b|；

③若a>0，b>0，a＋b>4，ab>4，则a>2，b>2；

④若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则(a＋b＋c)≥3. 其中正确的命题是( ) A．①② C．②③

B．①④ D．③④

2

2

2

解析：选B ①若a≥0，b≥0，则a＋b≥2ab， ∴2(a＋b)≥(a＋b)，∴2

2

2

2

a2＋b2≥a＋b，故①正确；

②若ab>0，则|a＋b|＝|a|＋|b|，故②不正确；

③若a>0，b>0，a＋b>4，ab>4，取a＝5，b＝1.5，结论不成立，故③不正确； ④若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，

则(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ac≥3(ab＋bc＋ca)＝3，故④正确． 综上知，正确的命题是①④.

2

2

2

2

x＋2y≤2，

4．(2018届高三·皖南八校联考)当x，y满足不等式组y－4≤x，

x－7y≤2

－y≤2恒成立，则实数k的取值范围是( )

A．[－1,1]

B．[－2,0]

时，－2≤kx13C.－，

55

示，设z＝kx－y，

x＋2y＝2，由

x－y＝－4x＋2y＝2，由

x－7y＝2

1D.－，0

5

解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所

x－y＝－4，由

x－7y＝2

x＝－2，得

y＝2，x＝2，得

y＝0，

x＝－5，得

y＝－1，

即B(－2,2)；

即C(2,0)；

即A(－5，－1)．要使不等式－2≤kx－y≤2恒成立，

第 8 页 共 8 页

－2≤－2k－2≤2，

则－2≤2k≤2，－2≤－5k＋1≤2，

－2≤k≤0，

－1≤k≤1，即

13－≤k≤55，2

1

所以－≤k≤0.

5

5．设a<0，(3x＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为________． 解析：当a成立，可转化为∀x∈(a，b)，a≤－3x，所以a≤－3a，所以－≤a<0，所以b－a<；当33

2

a<0不符合题意；当a<0＝b时，由题意知x∈(a,0)，2x(3x＋a)≥0恒成立，所以3x＋a≤0，111

所以－≤a<0，所以b－a≤.综上所述，b－a的最大值为. 333

1答案：

3

2

2

x>0，

6．设不等式组y>0，

y≤－nx＋3n

*

所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(横坐标和纵

坐标均为整数的点)个数为an(n∈N)，若m>则实数m的取值范围是________．

1

a1a2a2a3

＋1

＋…＋

1

anan＋1

对于任意的正整数恒成立，

x>0，

解析：不等式组y>0，

y≤－nx＋3n

1

表示的平面区域为直线x＝0，y＝0，y＝－nx＋3n围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n个，横坐标为2的整点有

n个，所以an＝3n，所以＝＝－，所以aa＋aa＋…＋aa＝anan＋13n·3n＋39nn＋11223nn＋1

1111111111

为单调递增数列，故当n趋1－＋－＋…＋－＝1－，数列1－n＋1nn＋19n＋192239

1

111111

1111

近于无穷大时，1－趋近于，所以m≥. 9n＋199

1答案：，＋∞

9