实验02讲评、参_MATLAB矩阵分析与处理(第3章)

讲 评

未交实验报告的同学名单

数学：13-17，11、12级6人 信科：13-39,13-47,12-04,12-22,12-29 批改情况：

本实验报告不批改，请参！

除第1题稍复杂外，其它题按书上操作即可，注意细心点！ 答案中有一些操作技巧，供参考！

1

附参：

《MATLAB软件》课内实验

王平

实验02 MATLAB矩阵分析与处理

（第3章 MATLAB矩阵分析与处理）

一、实验目的

1. 掌握生成特殊矩阵的方法。 2. 掌握矩阵分析的方法。 3. 用矩阵求逆法解线性方程组。 4. 掌握MATLAB各种表达式的书写规则以及常用函数的使用。 二、实验内容

1. 分块矩阵

设有分块矩阵AE33O23R32，其中E、R、O、S分别为单位矩阵、随机矩阵、零S22ERRS。 2OS

矩阵和对角阵，试通过数值计算验证A2命令窗口中的执行过程： >> format compact %紧凑输出格式 2

>> format short g %小数部分后面0不显示 >> E=eye(3); R=rand(3,2); O=zeros(2,3); S=diag([5,10]); >> A=[E,R;O,S] A = 1 0 0 0.2785 0.9 0 1 0 0.54688 0.15761 0 0 1 0.95751 0.97059 0 0 0 5 0 0 0 0 0 10 >> A^2 ans = 1 0 0 1.671 10.614 0 1 0 3.2813 1.7337 0 0 1 5.745 10.677 0 0 0 25 0 0 0 0 0 100 >> [E,R+R*S;O,S^2] ans = 1 0 0 1.671 10.614 0 1 0 3.2813 1.7337 0 0 1 5.745 10.677 0 0 0 25 0 0 0 0 0 100 >> 2. 希尔伯特矩阵、帕斯卡矩阵及其行列式的值和条件数

产生5阶希尔伯特矩阵H和5阶帕斯卡矩阵P，且求其行列式的值Hh和Hp以及它们的条件数Th和Tp，判断哪个矩阵性能更好。为什么？

命令窗口中的执行过程： >> format rat %有理式输出格式 >> H=hilb(5) H = 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 >> format short g >> P=pascal(5) P = 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 3

1 5 15 35 70 >> %H的行列式Hh、条件数Th >> [det(H),cond(H,1),cond(H,2),cond(H,inf)] ans = 3.7493e-12 9.4366e+05 4.7661e+05 9.4366e+05 >> %P的行列式Hp、条件数Tp >> [det(P),cond(P,1),cond(P,2),cond(P,inf)] ans = 1 15624 8517.5 15624 >> 条件数越接近1，矩阵的性能越好。H的条件数更大于1，所以P比H性能好。

3. 求矩阵的行列式值、迹、秩和范数

建立一个5×5矩阵，求它的行列式值、迹、秩和范数。 命令窗口中的执行过程： >> format compact;format short g >> A=round(rand(5)*10) A = 3 8 6 7 3 10 8 7 2 6 0 2 8 1 2 4 5 3 5 8 4 4 7 10 3 >> [det(A),trace(A),rank(A),norm(A,1),norm(A,2),norm(A,Inf)] ans = 18501 27 5 31 26.2 33 >> 4. 求A的特征值及特征向量

已知

29618

A20512885命令窗口中的执行过程：

>> A=[-29,6,18; 20 5 12; -8,8,5]; >> [V,D]=eig(A) %V的列向量为特征向量，D对角线元素为对应特征值 V = 0.71297 0.28034 0.27328 -0.60836 -0.78666 0.8725 0.34867 0.55006 0.40505 D = -25.317 0 0 4

0 -10.518 0 0 0 16.835 >> A*V-V*D %验证，根据定义，近似0则正确 ans = 2.1316e-14 1.3767e-14 0 -2.3093e-14 -1.4211e-14 1.77e-15 1.0658e-14 9.77e-15 4.4409e-15 >> 5. 解线性方程组

下面是一个线性方程组：

12131413141514x0.9511

x0.6725x0.52136(1) 求方程的解。

(2) 将方程右边向量元素b3改为0.53再求解，并比较b3的变化和解的相对变化。 (3) 计算系数矩阵A的条件数并分析结论。 命令窗口中的执行过程： >> format rat; >> A=1./[2:4;3:5;4:6] A = 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 1/4 1/5 1/6 >> format short g; >> b=[0.95;0.67;0.52]; b1=[0.95;0.67;0.53];%第3个元素细微变化 >> [A\\b,A\\b1] %两个解列向量对比 ans = 1.2 3 0.6 -6.6 0.6 6.6 >> cond(A) ans = 1353.3 >>%A条件数远离1，矩阵的性能不好。 b只做微小的变化，但两个解变化很大。A的条件数>>1。

6. 建立A矩阵，计算sqrtm(A)和sqrt(A)，注意其区别

5

命令窗口中的执行过程：

>> format short g; >> A=round(rand(3)*10) A = 5 10 1 7 5 3 9 1 8 >> B=sqrtm(A) B = 1.5736 + 0.293i 2.5287 - 1.22i -0.032604 + 0.29296i 1.5419 - 0.56518i 1.6257 + 0.81599i 0.62237 - 0.18543i 1.9886 - 0.73582i -0.55322 + 1.0624i 2.8381 - 0.24142i >> abs(A-B*B)>10^(-10) ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> C=sqrt(A) C = 2.2361 3.1623 1 2.58 2.2361 1.7321 3 1 2.8284 >> abs(A-C.*C)>10^(-10) ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> 6

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三、实验提示

1. 分块矩阵提示

设有分块矩阵AE33O23R32，其中E、R、O、S分别为单位矩阵、随机矩阵、零S222ERRS矩阵和对角阵，试通过数值计算验证A。 2OS提示1：

注意！此处的运算是代数（矩阵）运算，不是数组点运算。 用eye, rand, zeros函数，可以用diag函数。 第1步，分别求出E, R, O, S； 第2步，拼接出A； 第3步，计算A2；

ERRSO2S； 第4步，拼接

比较。%需要显示结果的，行后不加分号

2. 希尔伯特矩阵、帕斯卡矩阵及其行列式的值和条件数提示

产生5阶希尔伯特矩阵H和5阶帕斯卡矩阵P，且求其行列式的值Hh和Hp以及它们

的条件数Th和Tp，判断哪个矩阵性能更好。为什么？

提示1：

条件数越接近1，矩阵的性能越好。

8

四、教程：第3章 MATLAB矩阵分析与处理

3.1 特殊矩阵 p39 3.1.1 通用的特殊矩阵

表 产生通用特殊矩阵的函数及其含义 p39

函数名 zeros ones eye rand randn 全0矩阵(零矩阵) 全1矩阵(幺矩阵) 单位矩阵 0～1间均匀分布的随机矩阵 均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵 含 义 例3.1 分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的零矩阵 p39

>> zeros(3) % 1个输入参数 ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> zeros(3,2) % 2个输入参数 ans = 0 0 0 0 0 0 >> A=[1 2 3;4 5 6] %给出一个2×3阶矩阵A A = 1 2 3 4 5 6 >> size(A) ans = 2 3 >> zeros(size(A)) %产生与A同型的零矩阵 ans = 9

0 0 0 0 0 0 >> zeros(2,3)%产生与A同型的零矩阵 ans = 0 0 0 0 0 0 例3.2 建立随机矩阵 p40

(1) 在区间[20,50]内均匀分布的4阶随机矩阵。

(2) 均值为0.6、方差为0.1的4阶正态分布随机矩阵。 >> rand(4) % 0~1 ans = 0.1966 0.3517 0.9172 0.3804 0.2511 0.8308 0.2858 0.5678 0.6160 0.5853 0.7572 0.0759 0.4733 0.5497 0.7537 0.0540 >> x1=20+(50-20)*rand(4) % 20~50 x1 = 35.9239 37.07 24.8655 24.9695 43.3750 34.0817 43.8285 38.0595 48.0203 20.3571 29.3365 27.81 23.72 30.1137 35.8560 39.6224 >> randn(4) %均值为0、方差为1 ans = 0.7394 -0.8396 0.1240 -1.2078 1.7119 1.3546 1.4367 2.9080 -0.1941 -1.0722 -1.9609 0.8252 -2.1384 0.9610 -0.1977 1.3790 >> x2=0.6+sqrt(0.1)*randn(4) %均值0.6、方差0.1 x2 = 0.2654 0.5121 0.3396 0.6106 0.4518 0.8218 0.1013 0.1783 0.5138 -0.0488 0.7606 0.9565 0.9474 0.4881 0.62 0.7107 3.1.2 用于专门学科的特殊矩阵 p40

表 产生专门学科特殊矩阵的函数及其含义

函数名 含 义 10

magic(n) vander(V) hilb(n) invhilb(n) toeplitz(x,y) toeplitz(x) compan(p) pascal(n) 求魔方矩阵 生成指定向量为V的范得蒙矩阵 生成希尔伯特矩阵 求n阶希尔伯特矩阵的逆 生成托普利兹矩阵 用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵 生成伴随矩阵 生成一个n阶帕斯卡矩阵 (1) 魔方矩阵

每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。

magic(n)

求n阶魔方矩阵，其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成。

例3.3 将101~125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。

>> M=magic(5) M = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 >> sum(M,1) %按列累加 ans = 65 65 65 65 65 >> sum(M,2) %按行累加 ans = 65 65 65 65 65 >> M1=100+magic(5) M1 = 117 124 101 108 115 123 105 107 114 116 104 106 113 120 122 110 112 119 121 103 111 118 125 102 109 (2) 范得蒙(Vandermonde)矩阵 11

最后一列全为1；

倒数第二列为一个指定的向量；

其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。

vander(V) 例

>> A=vander([1,2,3,5]) % V为行向量 A = 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 125 25 5 1 >> B=vander([1,2,3,5]') % V为列向量 B = 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 125 25 5 1 (3) 希尔伯特矩阵 元素 hij生成指定向量为V的范得蒙矩阵。

1

ij1

hilb(n) 生成n阶希尔伯特矩阵。

条件数很差，用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。 invhilb(n) 求n阶希尔伯特矩阵的逆。

例3.4 求4阶希尔伯特矩阵及逆矩阵。

>> format rat; %以有理形式输出 >> H=hilb(4) H = 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 >> H1=invhilb(4) H1 = 16 -120 240 -140 -120 1200 -2700 1680 240 -2700 80 -4200 -140 1680 -4200 2800 >> format short; (4) 托普利兹矩阵

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除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。 toeplitz(x,y) 生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x, y均为向量，

两者不必等长。

toeplitz(x) 用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。 >> T=toeplitz(1:5,-1:-1:-4) Warning: First element of input column does not match first element of input row. Column wins diagonal conflict. > In toeplitz at 25 T = 1 -2 -3 -4 2 1 -2 -3 3 2 1 -2 4 3 2 1 5 4 3 2 第1列的第1个元素(1)≠第1行的第1个元素(-1) 取前者为T(1,1) (5) 伴随矩阵 compan(p) 生成伴随矩阵的函数

其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。

例 求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵。

>> p=[1,0,-7,6]; >> compan(p) ans = 0 7 -6 1 0 0 0 1 0 (6) 帕斯卡(Pascal)矩阵

二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。 由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡矩阵。

pascal(n)

生成一个n阶帕斯卡矩阵。

例3.5 求(x+y)5的展开式。

>> pascal(6) ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 1 5 6 15 21 35 56 70 126 126 252 矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展开式的系数。

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3.2 矩阵结构变换 p43 表 矩阵结构变换函数及其含义

函数名 diag(A) diag(A,k) diag(V) diag(V,k) triu(A) triu(A,k) tril(A) tril(A,k) rot90(A,k) fliplr(A) flipud(A) 提取第k条对角线的元素 产生一个m×m对角矩阵，其主对角线元素为向量V的元素 产生一个n×n(n=m+|k|)对角阵，其第k条对角线的元素为向量V的元素 求矩阵A的上三角阵 求矩阵A的第k条对角线以上的元素 求矩阵A的下三角阵 求矩阵A的第k条对角线以下的元素 将矩阵A旋转90º的k倍，按逆时针方向 对矩阵A实施左右翻转 对矩阵A实施上下翻转 含 义 提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量 3.2.1 对角阵与三角阵

1．对角阵

只有对角线上有非0元素。

数量矩阵—对角线上的元素相等的对角阵。 单位矩阵—对角线上的元素为1的对角阵。 (1) 提取矩阵的对角线元素 设A为m×n矩阵。

 diag(A) 提取主对角线元素，产生有min(m,n)个元素的列向量。  diag(A,k) 提取第k条对角线的元素。 >> A=[0,1,2; -1,0,1; -2,-1,0] A = 0 1 2 -1 0 1 -2 -1 0 >> diag(A,0) ans = 0 0 0 >> diag(A,1) ans = 1 1 14

>> diag(A,2) ans = 2 >> diag(A,-1) ans = -1 -1 >> diag(A,-2) ans = -2 (2) 构造对角矩阵

V为m个元素的向量。

 diag(V) 产生m×m对角矩阵，主对角线元素为V。

 diag(V,k) 产生n×n(n=m+|k|)对角阵，第k条对角线元素为V。（注）

例3.6 先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。

>> A=ones(5) A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> D=diag(1:5) D = 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5 >> D*A ans = 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 2．三角阵 p44 三角阵分为上三角阵和下三角阵。

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 上三角阵 对角线以下的元素全为0。  下三角阵 对角线以上的元素全为0。

(1) 上三角矩阵

 triu(A) 求矩阵A的上三角阵。

 triu(A,k) 求矩阵A的第k条对角线以上的元素。 triu(A,0)功能同triu(A)。 >> A=[9,1,2,3,4; -1,9,1,2,3;... -2,-1,9,1,2; -3,-2,-1,9,1;... -4,-3,-2,-1,9] A = 9 1 2 3 4 -1 9 1 2 3 -2 -1 9 1 2 -3 -2 -1 9 1 -4 -3 -2 -1 9 >> B=triu(A) B = 9 1 2 3 4 0 9 1 2 3 0 0 9 1 2 0 0 0 9 1 0 0 0 0 9 >> C=triu(A,2) C = 0 0 2 3 4 0 0 0 2 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2) 下三角矩阵

 tril(A) 求矩阵A的下三角阵。

 tril(A,k)求矩阵A的第k条对角线以下的元素。 tril(A,0)功能同tril(A)。 >> A=[9,1,2,3,4; -1,9,1,2,3;... -2,-1,9,1,2; -3,-2,-1,9,1;... -4,-3,-2,-1,9] A = 9 1 2 3 4 -1 9 1 2 3 -2 -1 9 1 2 -3 -2 -1 9 1 16

-4 -3 -2 -1 9 >> B=tril(A) B = 9 0 0 0 0 -1 9 0 0 0 -2 -1 9 0 0 -3 -2 -1 9 0 -4 -3 -2 -1 9 >> C=tril(A,-2) C = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 0 0 -3 -2 0 0 0 -4 -3 -2 0 0 3.2.2 矩阵的转置与旋转

1．矩阵的转置

转置运算符是单撇号: '。 >> A=[11,12,13;21,22,23;31,32,33] A = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 >> B= A' B = 11 21 31 12 22 32 13 23 33 2．矩阵的旋转

rot90(A,k) 将矩阵A旋转90º的k倍，按逆时针方向。 当k为1时可省略。 >> A=[1, 2; 4, 3] A = 1 2 4 3 >> B=rot90(A) B = 2 3 >> B2=rot90(A,2) B2 = 3 4 2 1 >> B0=rot90(A,0) B0 = 1 2 17

1 4 >> B1=rot90(A,1) B1 = 2 3 1 4 3．矩阵的左右翻转 对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的 第一列和最后一列调换; 第二列和倒数第二列调换; …，依次类推。%每一行逆序 fliplr(A) 对矩阵A实施左右翻转。 4 3 >> B_1=rot90(A,-1) B_1 = 4 1 3 2 >> A=[1,2,3,4; 1,2,3,4; 1,2,3,4; 1,2,3,4] A = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 >> B=fliplr(A) B = 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 >> C=1:5 C = 1 2 3 4 5 >> fliplr(C) %逆序 ans = 5 4 3 2 1 4．矩阵的上下翻转 flipud(A) 对矩阵A实施上下翻转。 >> A=[1,1,1,1;2,2,2,2;3,3,3,3;4,4,4,4] A = 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 >> B=flipud(A) B = 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 18

>> C=(1:5)' C = 1 2 3 4 5 >> flipud(C) ans = 5 4 3 2 1 %逆序 3.3 矩阵求逆与线性方程组求解p46 3.3.1 矩阵的逆与伪逆

表 求矩阵的逆与伪逆函数及其含义

函数名 inv(A) pinv(A) 含 义 求方阵A的逆矩阵 求A的伪逆矩阵 1．矩阵的逆

对于方阵A，若存在与其同阶的方阵B，使： A·B=B·A=I (I为单位矩阵)

则称B为A的逆矩阵，A也是B的逆矩阵。

inv(A)

求方阵A的逆矩阵。

例3.7 求方阵A的逆矩阵

clc; A=[1,-1,1; 5,-4,3; 2,1,1] B=inv(A) B*A A = 1 -1 1 5 -4 3 2 1 1 B = -1.4000 0.4000 0.2000 0.2000 -0.2000 0.4000 2.6000 -0.6000 0.2000 19

ans = 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 矩阵的伪逆 若A不是方阵，或A是非满秩的方阵时，A没有逆矩阵。 但可找到与A'同型的矩阵B，使得： A·B·A=A B·A·B=B

称B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。

pinv(A) 求A的伪逆矩阵。 clc A=[3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1] B=pinv(A) A*B*A B*A*B A = 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 B = 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 0.0357 0.0357 0.0357 ans = 3.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 3.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 3.0000 1.0000 ans = 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 0.0357 0.0357 0.0357

3.3.2 用矩阵求逆方法求解线性方程组

Ax=b

-1

其解为：x=Ab

20

例3.8 解线性方程组

x2y3z5x4y9z2 x8y27z6clc; A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27] b=[5,-2,6]' x1=inv(A)*b x2=A\\b %左除 A = 1 2 3 1 4 9 1 8 27 b = 5 -2 6 x1 = 23.0000 -14.5000 3.6667 x2 = 23.0000 -14.5000 3.6667 3.4 矩阵求值 p48 表 矩阵求值函数及其含义

函数名 det(A) rank(A) trace(A) norm(A)或norm(A,2) norm(A,1) norm(A,inf) cond(A,1) cond(A)或cond(A,2) cond(A,inf) 求矩阵秩 求矩阵的迹 计算2—范数 计算1—范数 计算∞—范数 计算1—范数下的条件数 计算2—范数下的条件数 计算∞—范数下的条件数 含 义 求方阵A的行列式的值 3.4.1 方阵的行列式值

把方阵看作行列式，对其按行列式规则求值，该值称矩阵所对应的行列式的值。

det(A) >> A=[1,2;3,4] A = 求方阵A所对应的行列式的值。 21

1 2 3 4 >> B=det(A) B = -2 3.4.2 矩阵的秩与迹

1．矩阵的秩

矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。

rank(A) 求矩阵秩。 >> A=[2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2] A = 2 2 -1 1 4 3 -1 2 8 5 -3 4 3 3 -2 2 >> r=rank(A) r = 4 2．矩阵的迹 等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。

trace(A) 求矩阵A的迹。 >> A=[2,2,3;4,5,-6;7,8,9] A = 2 2 3 4 5 -6 7 8 9 >> trace(A) ans = 16 3.4.3 向量和矩阵的范数

矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。

范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。 1．向量的3种常用范数及其计算函数 V为n维向量

(1) norm(V)或norm(V,2)：计算2—范数。

V2vi1n2i 22

(2) norm(V,1)：计算1—范数。

V1|vi|

i1n(3) norm(V,inf)：计算∞—范数。

Vmax{|vi|}

1inclc; V=[-1,1/2,1] v1=norm(V,1) v2=norm(V) vinf=norm(V,inf) V = -1.0000 0.5000 1.0000 v1 = 2.5000 v2 = 1.5000 vinf = 1 2．矩阵的范数及其计算函数 A为m×n矩阵，V为n维向量

(1) norm(A)或norm(A,2)：计算2—范数。

A2max{AV2}1V21 1为A'A最大特征值(2) norm(A,1)：计算1—范数。

A1max{AV1}max{|aij|}

V111jni1m(3) norm(A,inf)：计算∞—范数。

Amax{AV}max{|aij|}

Vn11imj1clc; A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;... 4,0,13,0,22; 10,12,19,21,3;... 11,18,25,2,19] a1=norm(A,1) a2=norm(A) ainf=norm(A,inf) A = 17 0 1 0 15 23 5 7 14 16 4 0 13 0 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 19 a1 = 75 23

a2 = 59.3617 ainf = 75 3.4.4 矩阵A的条件数 p51

(1) cond(A,1)：计算1—范数下的条件数。

cond(A,1)A1A1

1(2) cond(A)或cond(A,2)：计算2—范数下的条件数。

cond(A)A2A1

2(3) cond(A,inf)：计算∞—范数下的条件数。

cond(A,inf)AA1clc; A=[2,2,3;4,5,-6;7,8,9] C1=cond(A,1) C2=cond(A) Cinf=cond(A,inf) B=[2,-5,4;1,5,-2;-1,2,4] C1=cond(B,1) C2=cond(B) Cinf=cond(B,inf) A = 2 2 3 4 5 -6 7 8 9 C1 = 149.1429 C2 = 87.9754 Cinf = 144.0000 B = 2 -5 4 1 5 -2 -1 2 4 C1 = 5.7209 C2 = 3.7515 Cinf = 

24

7.9302 3.5 矩阵的特征值与特征向量 p52 表 求特征值与特征向量函数及其含义

函数名 E=eig(A) [V,D]=eig(A) 含 义 求全部特征值，构成向量E 求全部特征值，构成对角阵D，并求特征向量构成V的列向量 与第2种格式类似。 格式2先对A作相似变换后求A的特征值和特征向量； 格式3直接求A的特征值和特征向量 [V,D]=eig(A, 'nobalance ') 例3.9 用求特征值的方法解方程。

3x5-7x4+5x2+2x-18=0 clc; p=[3,-7,0,5,2,-18]; A=compan(p); %A的伴随矩阵 x1=eig(A) %求A的特征值 x2=roots(p) %直接求多项式p的零点 x1 = 2.1837 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -0.9252 + 0.7197i -0.9252 - 0.7197i x2 = 2.1837 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -0.9252 + 0.7197i -0.9252 - 0.7197i 3.6 矩阵的超越函数 p53

直接作用于矩阵（方阵）的超越函数。

表 矩阵的超越函数及其含义

函数名 sqrtm(A) logm(A) 计算矩阵A的平方根 计算矩阵A的自然对数 含 义 25

expm(A) funm(A,'fun') clc; A=[4,2;3,6] B=sqrtm(A) B*B A=[4,9;1,5] L=logm(A) B=expm(L) 求矩阵指数eA 计算直接作用于矩阵A的由'fun'指定的超越函数值 A = 4 2 3 6 B = 1.9171 0.4652 0.6978 2.3823 ans = 4.0000 2.0000 3.0000 6.0000 A = 4 9 1 5 L = 1.0639 2.4308 0.2701 1.3340 B = 4.0000 9.0000 1.0000 5.0000 26