积分变换与场论综合练习

一、选择题：

1. f(t)的Laplace变换式是F(s)( ) A) f(t)estdt ； B) C)

0f(t)estdt； f(t)estdt。

f(t)estdt； D)

0 2. --函数(t)满足

函数。

，其中f(t)为无穷次可微 (t)f(t)dt=（ ）

A) f(t)； B) f(0)； C) 1； D) 0。 3. 下列哪个说法是错误的( )

A) f(t)(t0)的Laplace变换实际上就是f(t)etu(t)的Fourier变换；

B) 若f(t)的Fourier变换是F()，则F()的Fourier逆变换是

f(t)12F()eitd；

u(t)1sF(). aa12()； iC) 单位阶跃函数u(t)的Fourier变换是D) 若

[f(t)]F(s)，则[f(at)] 4. 在Laplace变换中，卷积的定义式是f1(t)f2(t)（ ） A)

0f1()f2(t)d； B) f1()f2(t)d； D)

0tf1()f2(t)d；

C)

5． 若

t00f1()f2(t)d。

[f(t)]F(s)，则下列式子中不正确的是( )

[f(n)A).

(t)]sF(s)； B).

n1[f(t)dt]F(s)； 0stC). D).

； [eatf(t)]F(sa) （Res(sa)c）

[f(t)]esF(s)。

6. 在矢量场A中，若divA=0，则称A为 （ ）

A) 管形场； B) 调和场； C) 保守场； D) 有势场。

二、填空题

1. -函数(t)的Fourier变换

[(t)]= ，

1

其Laplace变换

[(t)]= 。

2. 若f(t)满足Fourier积分存在定理条件，则函数f(t)的Fourier积分 公式为：在f(t)的连续点处收敛于 ， 在f(t)的间断点t处收敛于 。 3．若

f(t)在(,)上满足Laplace积分存在定理条件，

则Laplace反演积分公式是 .

4. 设f(t)u(3t5), 则

[f(t)] .

5. 点M(x,y,z)的矢径r=xi+yj+zk 构成一个矢量场，则 其点（1，1，1）处矢量线方程为 。 6. 数量场ux2yyz3在点M(2, －1, 1)处沿矢量l=2i+2j-k方向的 方向导数为 ，梯度graduM 。 三、解答下列各题

1. 按定义求函数f(t)cos3t的Fourier变换F()。

2.已知

[f(t)]F(), 求[tf(t)].

[tetsintdt]。

0t 3. 利用微分性质、积分性质计算 4. 求F(s)2s的Laplace逆变换。 2(s2)(s1)5． 求矢量场Ax(zy)iy(xz)jz(yx)k在点M(1,2,3)处

沿方向n(1,2,2)的环量面密度。

四、解答题

1. 设矢量场A=(3xyz)i+(yxz)j+2xyzk,，写出A的雅可比矩阵，

并求A的散度divA和旋度rotA。

.2. 已知A=2xyi+2yzj+(x2yz1)k，证明：A为有势场，

求全体势函数,并求

222222(1,1,1)(0,0,0)Adl。

五、利用Laplace变换证明定解问题

y(t)y(t)f(t)t 的解为yf()sin(t)d.

0yt0yt00

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