第四章 光学成像系统的频率特性

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

透镜作为光学系统的基本光学元件之一，在光学成像系统起着成像补偿像差及调整倍率等作用，在光学信息处理中具有位相变换和傅里叶变换作用。光学成像系统是一种最基本的光学信息处理系统，它将输入图像信息从物面传播到输出面，输出图像信息由光学系统的传递特性决定。光学系统是线性系统，一定条件下为空间不变线性系统，既可在空域中，也可在频域中分析它的成橡规律和特性。这两种描述是完全等价的。对于相干和非相干系统，可分别给出本征函数，把输入信息分解为本征函数的频率分量，考察这些分量在系统传递过程中衰减、相移等变化，研究系统空间频率特性即传递函数。这是一种全面评价光学系统传递信息能力的方法，也是评价其成像质量的方法。与传统方法如星点法、分辨法相比，OTF法能全面反映光学系统成像能力，有明显的优越性。现有计算机及高性能光电测试技术，使得OTF的计算和测量日趋完善。同时OIS的频谱分析作为光学信息处理技术的理论基础，对光学信息处理技术的应用起着极其重要的作用。

本章首先首先研究透镜的位相变换性质，然后讨论透镜的傅里叶变换性质，分分析透镜孔径对傅里叶变换的影响，然后讨论光学成像系统的频率特性。

4.1 透镜的相位变换性质

通常在衍射屏后面的自由空间观察夫琅禾费衍射时，要借助于透镜实现近距离的观察夫琅禾费衍射图。单色平面波垂直照射衍射屏，在夫琅禾费近似下，观察平面上的场分布等于衍射孔径上场分布（屏函数）的傅立叶变换，透镜之所以可实现傅立叶变换，这是因为透镜具有相位变换作用。现研究一个无像差的薄透镜的成像，如图4.1.1所示，轴上点源S和透镜的距离为p，不考虑透镜的孔径造成的衍射影响，由于是薄透镜，这里认为入射光线经过透镜，出射光线在P2面上的高度同在P1上高度相等。从几何光学观点看，成像过程是点物S成点像S’；从波面变换的观点看，透镜将发散球面波变换成会聚球面波。

为了研究透镜的变换作用，引入透镜的复振幅透过率t(x,y)，定义为

tx,yU1x,y/U1x,y，其中U1x,y,U1x,y分别是P1 和P2面上的复振幅分布，

傍轴条件下，显然，S单色点光源发出的球面波在P1上的光场U1(x,y)为

x-y

S z O1O2

pq U1P1P2U2 图4.1.1 透镜的位相变换作用

U1(x,y)Aejkpejk22(xy)2p （A为常数） (4.1.1)

上式表明：P1上的振幅分布是均匀的，只有位相的变化。透过透镜后，成为会聚于S`的球面波。P2上的复振幅分布为

U2(x,y)Aejkqej(xU2(x,y)t(x,y)e2U1(x,y)kjk22(xy)2q (4.1.2)

ejkp、ejkq并不影响P1和P2平面上相位的相对分布，分析时可忽略，则

211y2)()pq (4.1.3)

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

在式中令

111 (4.1.4) pqfjk22(xy)2f透镜的位相变换因子 t(x,y)e (4.1.5) 其中(4.1.4)式正式高斯公式。以上结果表明，由于透镜的位相变换作用，发散的球面波变为会聚的球面波。 当单位振幅平面波垂直于P1入射时，

U1(x,y)1 P2上的复振幅分布是： U2(x,y)U1(x,y)t(x,y)ejk22(xy)2f (4.1.8)

傍轴条件下这是一个球面波的表达式。对于正透镜，f > 0，上式所表示的是一个向透镜后方f处的焦点F`会聚的球面波；对于负透镜，f < 0，这是一个由透镜前方-f处的虚焦点F’发出的发散球面波。

再考虑透镜孔径的有限大小，用P(x,y)表示孔径函数(光瞳函数)，其定义为

透镜内 1， (4.1.7) P(x,y)0， 其他 于是透镜的位相因子可表示为

jk(x2y2)2ft(x,y)P(x,y)e (4.1.8)

透镜对光波的位相变换作用是由透镜本身的性质决定的，与入射光波复振幅U1x,y的具体形式无关。U1x,y可以是平面波、球面波、或者是特定分布的复振幅，但是必须满足傍轴条件。

4.2 透镜的傅立叶变换性质

透镜除成像外，还能实现傅立叶变换。第三章已经讨论过平面波垂直照射衍射屏的夫琅禾费衍射是衍射屏tx,y的傅里叶变换（除一因子），此外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，在会聚中心上场分布也是衍射屏函数的的傅里叶变换（除一因子） ，两种途径的傅里叶变换都能通过透镜比较方便的实现。

第一种情况可在透镜的后焦面上观察夫琅禾费衍射；第二种情况可在照明光源的共轭面上观察屏函数的夫琅禾费衍射图样，实际上第二种情况是第一种情况的特例。下面就透明片（物）放在透镜之前和透镜之后两种情况讨论。

4.2.1 物在透镜前的傅立叶变换

设照明点光源S在透镜前距离为p处，与输出面轴上点S′成共轭点，即满足成像关系1/p+1/q=1/f，如图4.2.1。要变换的透明物体放在透镜前方d0处，物的复振幅透过率为tx,y，这个位置称为入射面。输出面为x-y平面。这里认为透镜为无穷大，即不考虑透镜孔径的。图中的p,q和d0等均取正值。

在傍轴条件下，由单色点光源发出的球面波在物的前表面上造成的成分布为：

1) 照明光束在物平面上的光场复振幅分布为： A0e2)从输入面上出射的光场： A0t(x0,y0)ejk22x0y02(pd0)

jk22x0y02(pd0)3) 从输入面出射到达透镜平面，按照菲涅耳衍射公式，其复振幅分布： Ul(x.y)A0jd0t(x,y)e00ojk22x0y02(pd0)ejk(xx0)2(yy0)22d0dx0dy0

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4) 通过透镜后的场分布：

Ul(x,y)Ul(x,y)P(x,y)e式中Px,y是(4.1.7)定义的光瞳函数。

(jkx2y2)2f

5) 输出面即光源S的共轭面x-y 平面上的光场是：

x0y0S

xy xyP1d0P2S0pqp图4.2.1 物在透镜前方的傅立叶变换

jkA0Ul(x,y)Ul(x,y)ejqpxy2f22ejk(xx)(yy)2q22dxdy

p是光瞳函数所确定的区域，将上式逐个代入并整理得：

AU(x,y)20qd0xDx=+p-d020t(x,y)e000p2jk(xy)2`dx0dy0dxdy

x-x0d02x2x-x-+fq

21111x2x0x2xx221=x0++x+-+--p-dddqfqdq00002x2qp-d0+fd0fqx0x22x0x2xx=++--

d0fqqd0qd0qp-d0+fd0qp-d0+fd0fqfq2=x0-x+x

dfqdqp-d+fddqp-d+fd0000000f-d0x22fx0x2 +-qp-d0+fd0qp-d0+fd02qp-d0+fd0fqfq2Dy=y0-y+ydfqdqp-d+fddqp-d+fd0000000

f-d0y22fy0y2+-qp-d0+fd0qp-d0+fd0进一步整理得：

2

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jk(fd0)(x2y2)2[q(fd0)fd0]jkf(xx0yy0)q(fd0)fd0U(x,y)cet(x,y)e00dx0dy0 (4.2.1)

在上面的化简中，应用了物象共轭关系的高斯公式。

111+=,pqf--axedx=2p a(4.2.1)式是输入面位于透镜前，计算光源共轭面上场分布的一般公式。注意到照明光源同观察面始终保持共轭关系，因此(4.2.1)中q 由照明光源的位置决定。

下面讨论几个特殊位置：

(1) 输入面位于透镜前焦面，即 d0 = f，由(4.2.1)式得

U(x,y)ct(x0,y0)ejkxx0yy0fdx0dy0 (4.2.2)

在这种情况下,衍射物体的复振幅透过率与衍射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系。并且只要照明光源和观察平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无关。空间频

率与位置坐标的关系始终为：fxx(f),fyy(f)

(2) 输入面紧贴透镜，即d0 = 0，由(4.2.1)式得

jkx2y22qjkxx0yy0qU(x,y)cet(x,y)e00dx0dy0 (4.2.3)

在此情况下，衍射物体的傅振幅透过率与观察平面上的场分布，不是准确的傅里叶变换关系，有一个二次相位因子。观察平面上的空间坐标与空间频率的关系为fxx(q),fyy(q)随 q 的值而不同。也就是说，频率的空间尺度上能按一定的比例缩放，这对光学信息处理的应用将带来一定的灵活性。也能充分利用透镜孔径。

（3）当光源位于无穷远时，也就是轴上平行光照明的情况，这时q = f , 对应的观察平面位于透镜后焦面上，由(4.2.1)得

fd0x2y2xx0yy0U(x,y)cejk2f2t(x0,y0)ejkfdx0dy0

这种情况下, 物在任一位置，衍射场的复振幅分布与物体的复振幅透过率存在准确的傅

里叶变换关系。

4.2.2 物在透镜后方的傅立叶变换

物在透镜后方的情况如图4.2.2所示，类似上述逐步计算的方法，容易得到入射到透镜前表面P1上的场为：A0ejkx2y22p，从透镜后表面P2出射的场为：

x0y0P1P2xyS Spd00q

p

图4.2.2物在透镜后方的傅立叶变换

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jkx2y22pjkx2y22fA0ee

(x0x)2(y0y)22d0从透镜后出射到达物的前表面0的光场为 U0(x0,y0)通过物体后出射光场为：

A0ejqpjkx2y22pejkx2y22fejkdxdy (4.2.4)

(x,y)t(x0,y0)U0(x0,y0) U0在 x-y 平面上：

U(x,y)1t(x0,y0)U(x0,y0)ej(qd0)0jk(xx0)2(yy0)22(qd0)dx0dy0 (4.2.5)

将(4.2.4) 代入(4.2.5) ，得

kj(xy)A0U(x,y)2t(x0,y0)e2`dxdydx0dy0 (4.2.6) d0(qd0)0p其中

qd02xxx2x2(x0x)2(xx0)2qx2xxx00pfd0qd0d0qd0(qd0)qd0qd0qd02y0yqy2 yyy0d0qd0(qd0)qd0qd0利用与前面推到相同的方法，可得：

U(x,y)cejkx2y22(qd0)22t(x,y)e00jkx0xy0yqd0dx0dy0 (4.2.7)

由(4.2.3)和(4.2.7) 可以看出，不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面（光源位于无穷远时，共轭面是透镜的焦平面），则物面(输入面)和观察面(输出面)之间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是Frauhofer衍射。显然，当d0=0，由（4.2.7）也可以得到（4.2.3）式。这就是说物前后紧贴透镜放置，在输出面上的到的衍射场是等价的。

对于物在透镜前，光波从物到透镜之间的传播可以看成直线传播，对于物在透镜之后，投影的衍射物面上孔径做等效代替，也就是说，透镜的孔径效应表现为(4.2.7)的被积函数附加一个因子Pqx0qd0,qy0qd0,，于是有

2U(x,y)cejkfd0x2y22fd0d0t(x,y)Pxx,y0000ffjkyex0xy0yfdx0dy0(4.2.8)

4.3 透镜的一般变换特性

如前所述，照明光源和观察面是一对成像关系的共轭面。所以，物透明片无论是放在透镜前或透镜后，除一常数相位因子外，观察面总是物的频谱面。下面讨论物面和观察面位置任意的情况。如图4.3.1所示，正透镜焦距为f，物位于透镜之前d1处，像在透镜后d2处，物像距透镜的距离是任意的。

单色平面波照射，物到透镜前表面，满足菲涅耳 衍射，xy面前的场分布

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U1(x.y)eU0(x0,y0)ejd1jjkd1jk(xx0)2(yy0)22d1dx0dy0 (4.3.1)

考虑到透镜的位相变换作用，透镜面后的场分布

U2(x,y)ex0-y0 Σ0 d1 k(x2y2)2fU1(x,y) (4.3.2)

x′-y′

x-y Σ1 d2 图4.3.1 透镜变换的一般性质

观察面x-y上的场分布

U(x,y)ejd2jkd2U2(x,y)ejk)2(yy0)2(xx02d2dxdye)2(yy0)2(xx0jk2d1ejk(d1d2)2d1d2U0(x0,y0)e(x2y2)jk2fe)2(yy0)2(xx0jk2d2

dx0dy0dxdyejk(d1d2)j2d1d2ek(x2y2)2d2U0(x0,y0)ejk22x0y02d1I(x0,y0)dx0dy0上式中 (4.3.3)

I(x0,y0)exyk111xyjx2y220x20y2d1d2d1d2d1d2fdxdydyexkxjx220x2d1d2dxeykyjy220y2d1d2 (4.3.4)

I1(x0,y0)I2(x0,y0)其中

利用积分式

111 (4.3.5) d1d2f2Axe2BxCdxAeCB2A (4.3.6)

对于0的情况，可得

I1(x0,y0)I2(x0,y0)jjejkx0x2()2d1d2 (4.3.7)

ejky0y2()2d1d2 (4.3.8)

将(4.3.7)和(4.3.8)代入(4.3.4)，再将(4.3.4)代入(4.3.3)，得

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

1(xejk(d1d2)j2d1d2fU(x,y)ejd1d2kd12y2)U0(x0,y0) (4.3.9)

e当d2f时

kd122j1(x0y0)2x0xy0y2d1d2fdx0dy01

,后焦面作为观察面时上式化为 d1

U(x,y)ejk(d1f)jfejk2fd1221(xy)fU0(x0,y0)ej2xxy0yf0 (4.3.10)

dx0dy0显然，除一物透明片相位因子外，Ux,y是U0x0,y0的傅立叶变换。当d1、d2与f不等时，可以实现所谓分数傅立叶变换。见第八章节。 当d1d2f时，(4.3.10)中的二次相位因子被消除。

ej2kfU(x,y)jfU0(x0,y0)ej2xxy0yf0dx0dy0 (4.3.11)

Ux,y是U0x0,y0的准确傅立叶变换。

111当0，即输入和输出满足物象共轭关系时，

d1d2fI1ej2x0x()xd1d2dxej21x(x)xd10Mdxd1x0xM (4.3.12)

I2ej2y0y()yd1d2dyd1y0yM (4.3.13)

j22上式应用了δ函数的积分形式，将上两式代入(4.3.3)，得

ejk(d1d2)Mf(xy)xyU(x,y)eU0(,) (4.3.14)

MMM在输出面上得到放大Md2d1倍的像，同几何光学结果相同。

4.4 光学成像系统的空间变换特性

物面可以看作无数小面元组成，每一小面元都可以看作加权(x)函数，系统对(x)函数响应的像场分布称为点扩散函数(或脉冲函数)，用h(x0,y0;x,y)表示 。对于成像系统，知道了h(x0,y0;x,y)，通过线性叠加，可求得像面场的分布。

4.4.1 透镜的线性特性

现在研究在相干照明下，一个消像差的正薄透镜对透明物成实像的情况。如图4.4.1

,y0)，(x0,y0)点发出的单位所示，物放置在距透镜d0假定紧靠物后的复振幅分布为U0(x0脉冲为 x0x0,y0y0，沿光的传播方向，逐面计算三个特定平面上的场份布，可以得到一个点源的输入输出关系。

由（4.3.9）式可以得到，xy面前方

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

,y0;x,y)dU1(x0ejd0jkd0jkd0(xjk0,y0y0)ex0jk(xx0)2(yy0)22d0dx0dy0eejd0)2(yy0)2(xx02d0 (4.4.1) x0y0,y0)为任意一点，可省去撇号，略去常数相位因(x0子

xyxiyidU1(x0,y0;x,y)1ejd0jk(xx0)2(yy0)22d0 (4.4.2)

经过焦距为f，孔径函数为P(x,y)的透镜后，即xy面后方

dU1(x0,y0;x,y)P(x,y)ejkxy2f22d0di图4.4.1透镜的点扩散函数 dU1(x0,y0;x,y)

(4.4.3)

经过菲涅耳衍射到达观察面引起的复振幅分xiyi面上的光场是输入光脉冲从透镜后表面、布或点扩散函数，写为

h(x0,y0;xi,yi)ejdijkdidU(x,y;x,y)e100jkxi2yi22dijk(xix)2(yiy)22didxdy12ed0die利用物像关系

ejkx02y022d0P(x,y)ek111jx2y22did0f (4.4.4)

xxyyjki0xi0ydid0d1d2dxdy111得 did0fh(x0,y0;xi,yi)xi2yi22di1e2d0dijkxi2yi22diejkx02y022d0P(x,y)exxyyjki0xi0ydid0did0dxdy (4.4.5)

上式比较复杂，现在来研究如何简化上式：

由于e不影响光强分布，可略去。但e不能略去，因为它参与积分，对像

面光场有贡献。

当透镜孔径比较大时，衍射不显著，像斑很小，物象点坐标有关系

x0xiM,y0yiM Mdid0（透镜的横向放大率） 可作如下近似：

jk22(x0y0)2d0jkxi2yi2()2d0M2jkjkx02y022d0ee

近似后的位相因子不会影响不再依赖x0,y0，因此也不影响xiyi面上的强度分布，可略去。

这样，点扩散函数变为

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

h(x0,y0;xi,yi)12d0diP(x,y)exxyyjki0xi0ydid0did0dxdy (4.4.6)

将Mdid0代入上式，有

xMx0xyiMy0yj1diih(x0,y0;xi,yi)2P(x,y)edxdy (4.4.7) d0di0Mx0,y0My0，于是上式写成 式中x210,yiy0)2h(xixd0diP(x,y)ej2xyiy0yxxdii0dxdy (4.4.8)

上式表明，傍轴条件下，透镜成像系统是空间不变的。而且，透镜的脉冲响应就等于透镜孔

0,y0处。透镜衍射作用的大小取决于波长径的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点x和像距di的比例。

xy令 x ,ydidi则(4.4.8)变为

0,yiy0)Mh(xixe,dy)P(dxii (4.4.9)

0)x(yix0)yj2(xixdxdy这就是透镜的点扩散函数的表达式。当孔径比di大得多时，在无限大的区域内

,dP(dixiy)的值均为一，则

0,yiy0)Mh(xixe0)x(yiy0)yj2(xixdxdy (4.4.10)

0,yiy0)M(xix这时物点成像点，即几何光学理想像。

4.4.2 一般光学成像系统的线性特性

1）一般光学系统的黑箱模型

前面我们讨论光学系统时，忽略了系统的衍射，点物通过系统成一个理想象点。现在

考虑光学系统的衍射。所谓衍射受限，是指不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的衍射。在考察衍射受限系统时，实际上主要是考察孔径光阑的衍射作用。孔径光阑在物空间所成的像称为入射光瞳，简称入瞳；孔径光阑在像空间所成的像称为出射光瞳，简称出瞳。由入射光瞳的物方光束必定能全部通过系统，成为被出射光瞳所的像方光束。

如图（4.4.2）所示，任一成像系统都可分为三部分： （1）从物面到入瞳面；（2）从入瞳面到出瞳面；（3）从出瞳面到像面。

y0yi x0xi （光组） did0黑箱 图4.4.2 成像系统的黑箱模型

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

在(1)、(3)部分传播过程中，可用菲涅耳衍射处理。对于(2)部分的光学系统，在等晕条件下，可把它当作一个“黑箱”来处理， “黑箱”的两个边端为入瞳和出瞳，只要能确定黑箱两个边端的性质，整个光学组的性质便可确定，无需深究内部结构。所谓边端性质是指成像光波在入瞳和出瞳平面上的性质。实际光组的边端性质千差万别，但总体分两类：衍射受限系统和有像差的系统。

当像差很小，系统的孔径和视场都不大时，实际光学系统就可近似看作衍射受限系统。系统的边端性质是，物面上任一点源发出的发散球面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上会聚球面波。

对于有像差系统，输入为球面波时，输出偏离理想球面波。偏离程度由波像差决定。 阿贝认为衍射效应是由于有限的入瞳大小引起的，而瑞利则认为衍射来自出瞳。两者看法等价，现采用瑞利的观点。

由物点发出的球面波，在像方得到的将是一个被出瞳所的球面波，这个球面波是一理想像点为中心的。由于出射光瞳的作用，在像面上将产生以理想像点为中心的出瞳孔径的夫琅禾费衍射。因此，物平面上物点(x0,y0)经过系统在共轭像面产生的复振幅分布，即点扩散函数为：

j2xMx0xyiMy0ydiih(x0,y0;xi,yi)KP(x,y)edxdy (4.4.11)

式中K为常数，P(x,y)出瞳函数，出瞳之内其值为1，之外为零。di为出瞳面到像面的距离。在推导（4.4.11）时忽略了关于(xi,yi)和(x0,y0)的二次项因子。

(4.4.11)式表明，脉冲响应为光瞳函数的傅里叶变换，即衍射受限系统的脉冲响应是

光学系统出瞳的夫琅禾费衍射图样。其中心在几何光学的理想像点Mx0,My0 处。

对物面和光瞳平面上的坐标进行变换，令

0Mx0xdixx  y0My0yydi则

0,yiy0)Kdh(xixe22i,dy)P(dx (4.4.12)

ii0)x(yiy0)yj2(xixdxdy这就是衍射受限系统的点扩散函数的普遍表达式。当光瞳相对于di足够大时，

,diy)在无限大区域内都为1 ，上式可写为： P(dix0,yiy0)K2di2(xix0,yiy0) (4.4.13) h(xix上式表明，当可以忽略光瞳的衍射时，(x0,y0)点的脉冲通过通过衍射受限系统后在像面上

得到的仍然是点脉冲，这便是几何光学理想成像的情况。

2）相干光照明下一般成像系统的线性特性

现在讨论如何确定某一给定的物复振幅分布通过受限系统后，在像面上形成的像复振幅分布和光强分布。一个确定的物分布总可以很方便的分解成无数δ函数的线性组合，而每一个δ 函数可按(4.4.13)求其响应，但响应结果和物面的照明有关。如果物面上某两个脉冲是相干的则这两个脉冲在像面上的响应便是相干叠加；若这两个脉冲是非相干的，则相应是强度叠加。所以对于不同的照明光源，衍射受限系统的成像特性是不同的。

对于相干照明系统，物面上是完全相干的，输入光场可看作无穷电源的叠加，表示为

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

U0(x0,y0)U0(,)(x0,y0)dd (4.4.14)

由于光波传播的线性性质，像面上的复振幅分布Ui(xi,yi)可按(4.1.6)，由物的复振幅分布和（4.4.11）或（4.4.12）表示的脉冲响应函数的叠加积分得到，在这个积分中出现了

0,y0),(xi,yi)，不是严格意义上的卷积，为了说明系统的空间不变性，三组坐标(x0,y0),(x进一步做变量代换，减去一组坐标(x0,y0)。

物面上每个点通过系统后在像面上形成脉冲响应，这些相应相干叠加，得到像的复振

幅分布为：

0,yiy0)dx0dy0Ui(xi,yi)U0(x0,y0)h(xix1M2U0(0yx0,yiy0)dx0dy0,0)h(xixMM (4.4.15)

下面讨论(4.4.15)式的物理意义，(4.4.13)式代表的是理想成像的脉冲响，将它代入到(4.4.15）得到的像Ui(xi,yi)应该是理想像的振幅分布，用Ug(xi,yi)表示

1Ug(xi,yi)2M0xU0(M22i0y0,yiy0)dx0dy0,)K2di2(xixM (4.4.16)

KdxiyiU(,)0M2MM可见理想像Ug(xi,yi)与物U0(x0,y0)的分布是一样的，只是在xi,yi方向放大了M

yx0Mx0,y0My0，因此U0(x0,y0)与U0(0,0)的图形是相同的，把倍。由于xMMyxU0(0,0)称为U0(x0,y0)的像。令

MM1(xx0,yiy0) (4.4.17) h,yy)h(xixi0i022Kdi将(4.4.16)、 (4.4.17)代入 (4.4.15) 得

K2di2Ui(xi,yi)M2U0(0yx0,yiy0)dx0dy0,0)h(xixMM (4.4.18)

0yx0,yiy0)dx0dy0,0)h(xixMM(x,y)U(x,y)hUg(giiii上式的物理意义是，物分布U0(x0,y0)通过衍射受限系统后的像分布Ui(xi,yi)

(x,y)的卷积。这说明，不仅对于薄透镜是U0(x0,y0)的理想像Ug(xg,yg)和点扩散函数hii系统，而且对于更普遍的衍射受限系统由此的光强为：仍然可以看作线性空间不变系统，由

Ui(xi,yi)可得到像的强度

I(xi,yi)=Ui(xi,yi) (4.4.19)

将(4.4.12)代入(4.4.17)可得到

2

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

(xx0,yiy0)hi1Kd22iK2di2,dy)P(dxiie0)x(yiy0)yj2(xixdxdy0)x(yiy0)yj2(xix (4.4.20)

,diy)eP(dixdxdy,diy)FP(dix此式为衍射受限成像系统点扩散函数与光瞳函数的关系式。由于系统为空间不变系统，可用

°=±xy0=0的脉冲相应表示成像系统的特性，即 0

(x,y)hii,diy)eP(dixyiyj2xixdxdy (4.4.21)

,diy)FP(dix(x,y)，仅决定可见，在相干照明条件下，对于衍射受限成像系统， 表征的点扩散函数hii于系统的光瞳函数P(x,y)。因此P(x,y)对于衍射受限成像系统非常重要。

4.5 光学成像系统的的频率特性及其传递函数

4.5.1相干成像系统的的频率特性和相干传递函数

由（4.4.18）式可知，相干照明下的衍射受限系统满足Ui=Ug*%h表征的响h。由%应系统为空间不变系统，此系统在频率描述更为方便。频率中描述系统的成像特性的频谱函

数Hc(fx,fy)成为衍射受限系统的相干传递函数，记作 CTF 。

相干成像系统的物像关系由式(4.4.18) 中的卷积积分描述。该卷积积分把物点看作基元，而像点是物点产生的衍射图样在该点处的相干叠加。从频域来分析成像过程，把复指数函数作为系统的本征函数，考察系统对各种频率成分的传递特性。定义输入频谱Ggc(fx,fy)和输出频谱Gic(fx,fy)分别为

%% Ggc(fx,fy)=FTUg(x0,x0) (4.5.1)

Gic(fx,{}fy)=FT{Ui(xi,yi)} (4.5.2)

h(xi,yi) (4.5.3) 相干传递函数CTF 为 Hc(fx,fy)=FT%将(4.4.21)代入(4.5.3)，得

{}%Hc(fx,fy)=FT{%h(xi,yi)}=FT{FT{P(ldix,ldi%y)}}=P(-ldifx,-ldify) (4.5.4)

上式表明，CTF等于光瞳函数，仅在空域坐标(xi,yi)和频域坐标(fx,fy)之间存在着一定的坐标缩放关系，即将光瞳函数中的坐标变量x,y换成频率变量-ldifx,-ldify就可以。

一般光瞳函数总是取 1和0两个值，所以CTF也是取 1和0两个值。若由(fx,fy)决定的x=-ldifx,y=-ldify的值在光瞳内 ，则这种频率的指数基元按原样在像分布中出现，既没有振幅的衰减也没有位相的变化，即CTF对此频率的值为 1 。若由(fx,fy)决定的(x,y)的值在光瞳外 ，则系统将完全不能让此种频率的指数基元通过，即CTF对此频率的值为 0 。这就是说衍射系统是一个低通滤波器 ，只允许最高空间频率为rc的光波通过，

rc为系统截至频率。

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

不考虑孔径大小时,P恒为 1 ，整个fx-fy面上Hc(fx,fy)=1,没有任何信息丢失，像是理想成像。

如果在一个反演坐标中定义 P ，则可以去掉(4.5.4)中的负号，写为

Hc(fx,fy)=P(ldifx,ldify) (4.5.5)

对于直径为D的圆形光瞳，其孔径函数取

骣x2+y2÷ç÷ P(x,y)=circç÷ç÷çç桫D2÷由(4.5.5)得到其相干传递函数

骣f2+f2÷çxx÷ (4.5.6) Hc(fx,fy)=P(ldifx,ldify)=circç÷ç÷ç÷D(2ld)çi桫由圆柱函数的定义可知，在D(2ldi)之内，Hc(fx,fy)，在D(2=1ldi)之外，

Hc(fx,fy)=0，故截止频率为fc=D(2ldi)

例如，出瞳直径D=60mm，出瞳与像面距离di=200mm，照明光波长λ=600nm，则系统截至频率为

60 fcmm1250/mm 42610200由于是圆形光瞳，任何方向的截止频率均相等。这里fc是像面上的截止频率，而物面上的截止频率fcoMfc。

鼢如果光瞳是边长为a的正方形，光瞳函数是 P(x,y)=rect珑 rect鼢珑珑桫a鼢桫a则相干传递函数为

骣x骣y骣ldify÷骣ldifx÷çç÷ （4.5.7） Hc(fx,fy)=P(ldifx,ldify)=rectçrect÷ç÷çç÷桫a÷a桫显然，不同方位截至频率rc不同，在x,oy轴方向上，系统的截至频率rc=a(2ldi)。系

2a(2ldi)。

统的最大截至频率在与x轴成45角方向上，此时截至频率rc=例题4.1 用一直径为D、焦距为f的理想单透镜对相干照明物体成像。若物方空间截止

频率为fc，试问当系统的放大率M为何值时，fc有最大值？

解：设物距为d0，像距为di，为使系统成实像时M为正，将像面坐标相对于物面坐标反演，于是M可表示成

Mdidif或 di1Mf d0f此系统的光瞳函数是直径为D的圆形孔径，其截止频率fcD/2di，考虑物、象空间截止频率的关系，则有

fc或者

fcoD1fco 2diMMDMD 2di21Mf为求得当fco取最大值fcomax时的放大倍数M，将fco对M求导并令其为零，得到

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

dfcoD10 dM2f1M2MD M2f1M2fD2fFD2f

因此，只有当放大倍数为无穷大时，系统才有最大的空间截止频率，此截止频率为 fcomaxlimD此时，物置于透镜前焦面，像在像方无穷远，在物空间的通频带为 例题4.2 如图4.5.1所示，两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单透镜系统

中光瞳直径为D，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径a应等于多大（相对于D写出关系式）。 解：这两个系统都是横向放大率为1的系统，故不必区分物方截止频率和像方截止频率。对于单透镜系统的截止频率为

fc

2f 2f f f D D4f

a f f 图4.5.1两个相干成像系统

根据相干传递函数的意义，凡是物面上各面元发出的低于空间频率的平面波均能无阻挡地通过此成像系统。

对于双透镜成像系统，其孔径光阑置于频谱面上，故入射光瞳和出射光瞳分别在物方和像方无穷远处，入瞳与孔径光阑保持物象共轭关系，孔径光阑与出瞳也保持物象共轭关系。对于这种放大率为1的系统，能通过光阑的最高空间频率也必定能通过入瞳和出瞳，即系统的截止频率可通过光阑的尺寸来计算。

为保证4f系统物面上每一面元发出的低于某一空间频率的平面波均能无阻挡地通过此成像系统，则要求光阑直径a应不小于透镜直径与物面直径之差。于是相应的截止频率为

fca2f

按照题意要求两者相等，即fcfc，于是得到

aD 24.5.2非相干成像系统的特性和光学传递函数

非相干照明下，物面上各点的振幅和位相随时间变化是彼此的，因此，像面上的场分布是各点的强度分布的叠加（非相干叠加），光传播时，光的非相干叠加对于强度是线性的，非相干成像系统是强度的线性函数。在等晕区光学成像系统是空间不变的，因而，非相

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

干成像系统是强度的线性空间不变系统。

1）光学传递函数

非相干线性空间不变系统，物、像光强分布之间的关系是线性的，对复振幅分布不是线性的。非相干照明光下，物、象光强之间满足下列卷积

Iixi,yikIpxi,yihIxi,yi （4.5.8）

式中Ip是几何光学理想成像的强度分布，Ii为强度分布，k是常数。hi为强度脉冲响应函

x,y。这表明，在非相干照明下，线数，是点物产生的像斑强度分布，hIxi,yihii性空间不变成像系统的像强度分布是理想像的强度分布与强度点扩散函数的卷积，系统的成

2x,y决定。 像特性由hIxi,yi表示，而hIxi,yi又由 hii对于非相干照明下的强度线性空间不变系统，在频域中来描述物象关系更为方便，将

（4.5.8））两边进行傅立叶变换，略去常数后得

Ai(fx,fy)=Ag(fx,fy)HI(fx,fy) （4.5.9）

其中 Ai(fx,fy)=FT{Ii(xi,yi)},

Ap(fx,fy)=FT{Ip(xi,yi)},HI(fx,fy)=FT{hI(xi,yi)}

Ii(xi,yi),Ip(xi,yi)和hI(xi,yi)为非负实函数，因而，其傅立叶变换必定有一个常数分量

即零频分量。像的清晰与否，取决于光强非0分量相对于零频的比值大小，因此讨论

Ai(fx,fy),Ap(fx,fy)和HI(fx,fy)相对零频的分量的比值更有意义，这样需要用零频对

它们须归一化

Aifx,fyAifx,fyAi0,0Ix,yexp2fxfydxdyiiixiyiiiIx,ydxdyiiiipiixi （4.5.10）

i Apfx,fyApfx,fyAp0,0Ix,yexp2fxfydxdyyiii（4.5.11）

Ix,ydxdypiiiIiixiiHfx,fyHIfx,fyHI0,0hx,yexp2fxfydxdyyiii（4.5.12）

hx,ydxdyIiiii由（4.5.9）和Ai(0,0)=Ap(0,0)HI(0,0)，得到归一化的频谱满足

Ai(fx,fy)=Ap(fx,fy)HI(fx,fy) （4.5.13）

HI(fx,fy)非相干成像系统的光学传递函数（OTF)，OTF描述了非相干成像系统在频域的响

应能力。

Ai(fx,fy),Ap(fx,fy),HI(fx,fy)可以用模和辐角表示

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

Ai(fx,fy)=Ai(fx,fy)exp轾jff,f犏臌i(xy)jff,f （4.5.14） Ap(fx,fy)=Ap(fx,fy)exp轾犏臌p(xy)AI(fx,fy)=m(fx,fy)exp轾jff,f犏臌(xy)由（4.5.12）和（4.5.13）可以得到

m(fx,fy)=f(fx,fy)(0,0)=fpAi(fx,fy)Ap(fx,fy) （4.5.15）

(fx,fy)=fi(fx,fy)-(fx,fy)

m(fx,fy)称为调制传递函数(MTF), 它描述了系统对频率分量对比度的传递特性， f，它描述了系统对各频率分量施加的相移。 (fx,fy)称为相位传递函数（PT F）

因为I、I、h是非负的实函数，它们的归一化频谱Ai(fx,fy),Ap(fx,fy)和HI(fx,fy)i

g

I

都是厄密函数，余弦函数是这种系统的本证函数，即输入是余弦强度分量在经过系统后输出仍为同频率的余弦变化函数，其对比度和相位的变化决定于系统的传递函数的模和辐角。也就是说，如果把输入物看做强度透过率呈余弦变化的不同频率的光栅的线性组合，在成像过程中，OTF的唯一影响只是改变这些余弦函数的对比度好位相。 对于强度为余弦变化的输入

0,y0abcos2yfx0x0fx0y0gfx0,fy0 Ipx经过非相干成像系统成像后得到的输出为

0,y0abmfx0,fy0cos2yfx0xifx0yipfx0,fy0fx0,fy0（4.5.16）Iix

显然，余弦条纹通过线性空间不变成像系统，输出仍然是同频率的余弦条纹，但振幅和位相

变化了。这种变化取决于系统的光学传递函数。

对于强度余弦变化分布，调制度是非常重要的参数，定义为

V物和像的调制度为

Vp Vi由上两式得

Vimfx,fyVp （4.5.17）

ImaxImin

ImaxIminIpmaxIpminIpmaxIpminababb ababaIimaxIiminabmfx,fyabmfx,fybmfx,fy

IimaxIiminabmfx,fyabmfx,fya而的辐角fx,fy显然是余弦像和余弦物的位相差，即

ifx,fypfx,fyfx, yf （4.5.18）

像的对比度等于物的对比度与相应频率的MTF的乘积，PTF给出了相应的相移。当

fx,fy为2时，表示错开了一个条纹，当fx,fy为，错开了/2个条纹。

由此可见，光学传递函数的模m(fx,fy)表示物分布中频率为fx,fy的余弦基元通过系统后振幅的衰减（m(fx,fy)£1），因而把m(fx,fy)叫做调制传递函数。而HI(fx,fy)的

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

辐角f(fx,fy)表示频率为fx,fy的余弦像分布相对于物或理想像的横向位移量，所以把f(fx,fy)称为位相传递函数。

MTF 1 MTF a b

0 Fao fx 0 Fao Fbo f

x

图 4.5.2调制传递函数随空间频率的变化

调制传递函数曲线是一个随空间频率递减的曲线，如图4.5.2所示，当增加到使MTF减小到0时，物的调制度V无论多大，像的调制度为0，这时光能量接收器感知不到像的结构，与此对应的空间频率称为光学系统的截至频率。

由MTF曲线还可以看出：无论用一个截至频率还是分变率极限，一个指标是不充分表征光学系统的成像性能，只能用整个曲线评价像质，如图所示，从截至频率fa0, fb0评价就不妥，应根据使用目的来权衡调制度和分本领的响度重要性。如电视摄像机镜头，它不需要很高的分辨本领，却要求对低调制度物和景物得到尽可能的丰富和对比度明显的像，为此以曲线a代表的镜头为好，因为它对低频的调制传递函数高；相反，如用于光刻镜头，由于它的目标是调制度高的黑白线条或图案，要求是要分辨本领尽可能的高，因此b曲线代表的镜头为宜。

2）光学传递函数和相干传递函数的关系

相干传递函数和光学传递函数分别描述同一系统采用相干和非相干照明的传递函数，两者都决定于光学系统的本身的物理特性，因此两者之间一定有联系。由（4.5.12）式和自相关定理FT{f(x,y)?f(x,y)}F*(x,h)F(x,h) 及Parseval 定理(见附录) 得到 FThIxi,yi

Hfx,fyHIfx,fyHI0,0hx,ydxdyIiii2ix,yFThIiiH,H,dd*cc（4.5.19）

x,ydxdyhIiiii2Hc,dd2因此，对同一系统来说，光学传递函数等于想干传递函数Hc的自相关归一化函数。这一结

2论是在hIxi,yihxi,yi的基础上导出的，所以，它对有像差系统和没有像差系统都

完全成立。

对于相干照明的衍射受限系统，由（4.5.4）可知，Hcfx,fyPdifx,dify，把它代人式(4.5.19)，得到

Hfx,fyPd,dHiicdifxdifydd（4.5.20）

2Pdi,didd

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

令xdi,ydi，积分变量的替换不会影响积分结果，于是得H关系如下:

f,f与Px,y的

xyHfx,fyPx,yPxd2ifx,ydify （4.5.21）

Px,ydxdy对于光瞳函数只有 1和0两个值的情况，分母中的P可以写成P。公式表明衍射受限系统的OTF是光瞳函数的自相关归一化函数。

研究式(4.5.21)可得到OTF的重要几何解释。一般情况下光瞳函数只有 1和0两个值，式中分母是光瞳的总面积 S0，如图 4.5.3(a)所示，分子代表中心位于difx,dify的经过平移的光瞳与原光瞳的重叠面积Sfx,fy，求衍射受限系统的OTF只不过是计算归一化重叠面积，即

2Hf,fxySfx,fyS0 （4.5.22）

S0 0 y 0 y x difyx difx Sfx,fy (a)光瞳总面积S0 （b）光瞳重叠面积S

图 4.5.3 衍射受限系统OTF的集合解释

如图4.5.3(b)所示，重叠面积取决于两个错开的光瞳的相对位置，也就是和频率fx,fy有关。对于简单几何形状的光瞳不难求出归一化重叠面积的数学表达式。对于复杂的光瞳，可用计算机计算在一系列分立频率上的OTF。

从上述的几何解释，不难了解衍射受限系统OTF的一些性质。 (1). Hf,f是实的非负函数。因此衍射受限的非相干成像系统只改变各频率余弦分量

xy的对比，而不改变它们的相位，即只需考虑 MTF，而不必考虑PTF。

(2) H0,01。当fxfy0时，两个光瞳完全重叠，归一化重叠面积为1，这正是OTF归一化的结果，这并不意味着物和像的平均(背景)光强相同。由于吸收、反射、散射及光阑挡光等原因，像面平均(背景)光强总要弱于物面光强。

但从对比度考虑，物、像方零频分量的对比度都是单位值，无所谓衰减，所以H0,01。

y Hfx,fy x

dify

0 2fcutfxdifx

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

(a)方形光瞳的重叠面积 (b)方形光瞳的 OTF

(3) H(4) Hxxy图 4.5.4 方形光瞳衍射受限 OTF的计算

这一结论很容易从两个光瞳错开后重叠的面积小于完全重叠面f,fH0,0。

积得出。

f,f有一截止频率。当f,f足够大，两光瞳完全分离时，重叠面积为零。此时，

Hf,f=0，即在截止频率所规定的范围之外，光学传递函数为零，像面上不出现这些

xyxyy频率成分。

例4.3 方形光瞳。衍射受限非相干成像系统的光瞳为边长 1的正方形，求其光学传递函数。 解 此时的光瞳函数可表示为

xy Px,yrectrect

ll显然光瞳总面积S0l2，当Px,y在x、y方向分别位移difx,dify以后，得

Pxdifx,ydify，从图 4.5.4 (a)可以求出 P(x, y)和Pxdifx,ydify的

重叠面积Sfx,fy。由图可得

1difxSfx,fy0光学传函数为

1dify,,fxldi,fyldi

其他

Hfx,fySfx,fyS0fxfy （4.5.23） 2fx02fy0式中fx0fy0fcut1/2di是同一系统采用相干照明的截至频率。非相干系统沿

fx和fy轴方向截至频率是2fcut1/di，图4.5.4表示这一结果。

例4.4圆形光瞳。设圆形光瞳的直径为D，求此系统的光学传递函数。

解 光瞳的面积A=pD/4。由于圆的对称性，两光瞳沿任意方向错开相同距离的重叠面积都相等，因而光学传递函数也是圆对称的。这样，只要计算出某一方向(例如fx方向)的光学传递函数，绕垂直轴旋转一周就可得到频率空间内的分布了。如图4.5.5所示，当两个光瞳沿fx方向错开difx后，其交叠面积为弓形面积的2倍，由几何公式可得交叠面积为 y

H(fx,fy) A

θ fy 0 x B 0 fx λdifx

(a)圆形光瞳的重叠面积

(b)圆形光瞳的OTF

2图4.5.5圆形光瞳的光学传递函数计算

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

p其中cosq=(ldifx)/D，在截至频率内

S(fx,0)=D2(q-sinqcosq)

Sfx,02sincos

D2/4截至频率满足ldifx=D，也就是两个圆中心距离大于止境D时，重叠面积为。这

HS0fx,0Sfx,0种系统的相干传递函数的截至频率fcut=D/(2ldi)，显然光学传递函数的截至频率恰好又是2fcut，图4.5.5（b）给出了光瞳函数为圆域函数是Hfx,fy的示意图。

Hf,f在极坐标中的表达式为

xy2sincos,D/di （4.5.24） H0,其他式中r=

fx2+fy2,cosq=ldifx/D

4.6 实际光学系统的传递函数

前面讨论衍射受限系统时没有考虑系统像差，但是，任何—个实际光学系统总是存在像

差的。根据波像差理论，像差的存在使得出瞳上的实际波前偏离理想球面波前，这一偏差是位相偏差引起的。因此，像差的存在要影响成像系统的频率特性。本节主要讨论像差对光学成像系统传递函数的影响。

1.广义光瞳函数

对于有像差的光学系统，为了应用衍射受限系统的研究结论，同时又能反映系统像差的影响，引入“广义光瞳函数”的概念。因为光学成像系统的像差使出射光瞳上的波前产生畸变，这相当于再衍射受限系统的出瞳上加了一个相位板，其上的位相分布取决于成像系统的波像差分布。如果用W(x,y)表示出射光瞳上的实际波前与理想波前的光程差，则出射光瞳的复振幅函数可表示为

P(x,y)=P(x,y)ejkW(x,y) （4.6.1）

式中P(x,y)是衍射受限成像系统的光瞳函数，P(x,y)就是广义光瞳函数，有了广义光瞳函数，就可以用它代替衍射受限系统的CTF和OTF公式中的P(x,y)，处理有像差光学成像系统的成像问题。

2．实际光学成像系统的相干传递函数

前面以讨论过，衍射受限成像系统的相干传递函数是光瞳函数P(x,y)的连续两次傅里叶变换，即等于频城变量的光瞳函数P(ldifx,ldify)。当系统存在像差时，只要用广义光瞳函数代替光瞳，便可得到实际成像系统的光学传递函数：

Hcldifx,ldify=Pldifx,ldify=Pldifx,ldifye

()()()jkW(ldifx,ldify) （4.6.2）

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

与衍射受限系统相比，实际成像系统的CTF只是多了一个位相偏差因子

kW(ldifx,ldify)。该位相因子影响像的对比度，不会改变系统的截止频率。系统的截止

频率仍然仅取决于光瞳函数P(x,y) 3．实际光学成像系统的光学传递函数

与研究有像差的相干成像系统的相干传递函数类似，由衍射受限系统的OTF公式（4.5.21）和广义光瞳函数，可以得到有像差光学成像系统的光学传递函数

H=蝌¥- P*(x,y)P(x+ldifx,y+ldify)dxdy蝌¥- P(x,y)dxdy （4.6.3）

广义光瞳函数的相位因子不影响（4.6.3）中分母的积分值，它仍然是光瞳的面积S0，分子的积分区域仍然是P(x,y)和P(x+ldifx,y+ldify)的重叠区S(fx,fy)，于是（4.6.3）简写为

S(fx,fy)蝌ejkW(x+ldifx,y+ldif)-jkW(x,y)轾臌edxdy（4.6.4）

1.0

MTF H=1.衍射受限系统

2.有像差系统 S01 2 0 fx PTF π 式（4.6.4）给出了有像差光学系统的相位畸变与光学传递函数的关系。当波像差为零时，所得结果与式（4.5.23）一致。对于像差不为零的情况，光学传递函数是复函数，像差不为零不仅影响输入各频率成分的对比度，而且也产生相移，利用舒瓦茨不等式，可以证明

H(fx,fy)有像差£H(fx,)yf无像差 （4.6.5）

0 因此，像差会进一步降低成像质量。差成侮系统的M

丁F，即有像差时成像系统传递信息的能力会降低。图4.6.1有像差与无像差系统光学 当像差非常严重时，它可能会导致MTF在某些频率上传递函数比较 出现负值，如图图4.6.1所示。这时，像在这些频率上会发生衬度反转，原强度的峰值变成强度的最小值，而原强度的最小值则变为强度的蜂值，从而在图像上出现间断的现象。

4.成像系统离焦时的光学传递函数

现在讨论光学成像系统存在离焦误差所引起的波像差的情况。设Σ为理想的球面波波前，它会聚于焦点F处，焦点F到出瞳的距离为di，如图4.6.2所示。离焦球面波Σ′会聚于

为离焦量，F1点，F1点到出瞳的距离为didi，设由于离焦而引起的波像差为W(x,y)，则以di为半径的理想球面波可以看成由以di为半径的球面波通过光学厚度函数为W(x,y)的位相板之后得到，即

A(x,y)

F F1 ′ Σ

Σ di′ Δ

di 图4.6.2成像系统离焦引起的波像差

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

jkx2y22dijkx2y22die于是

eejkWx,y

 （4.6.6） 当像面准确聚焦时，透镜定律成立，1/di1/d01/f0，当像面离焦时，则有1/di1/d01/f，式中表示离焦程度，显然有

11112 （4.6.7） dididididiWx,y12x2y211Wx,y2didi将（4.6.7）代入（4.6.6）式中得到

x2y2 （4.6.8）

因此，成像系统离焦时的广义光瞳函数为

P(x,y)=P(x,y)e相应的相干传递函数为

jke2(x2+y2) （4.6.9）

e(ldi¢)2Hc(fx,fy)=P(ldiⅱfx,ldify)ejk(f22x+fy2) （4.6.10）

下面计算离焦成像系统的光学传递函数。为此，设成像系统的光瞳是边长为l的正方形，其

相干截止频率fx0fy01/2di，沿x轴(或y轴)的最大离焦量对应的光程差为

e骣l÷ w= ç÷ （4.6.11） ç桫2ç2÷像差可用最大光程差表示

2W(x,y)=w(x2+y2)(ldifx0)2 （4.6.12）

2将上式代入到光学传递函数（4.6.3），经过一系列积分运算，并用总面积l归一化，最后得

到

轾骣fx鼢骣fy÷8w骣fxç珑犏÷H(fx,fy)=L珑鼢Lç÷sinc犏珑珑鼢ç琪ç2fxo鼢2fl桫2fxo桫桫yo臌轾fy÷fy÷骣8w骣çç犏÷÷çsinc犏ç1-÷÷çç÷÷琪çl2f2f桫桫yoyo犏臌骣fx 1- 2f 桫xo （4.6.13）

离焦程度w不同的光学传递函数如图4.6.3所示，当e=0时，w=0，H(fx,0)是衍射受限系统的传递函数，为一直线。当e=0时，或w¹0，H(fx,0)曲线总在直线下面，这表明有像差的光学传递函数小于无像差时的光学传递函数。当w>l/2时，光学传递函数出现负值，在光学传递函数小于0处出现了离焦系统的光学对比度反转现象。

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

1.0 w=0 H(fx,0) 0.5 λ/2 0.5 1.0 fx/2 fx0

λ/8 λ/4 λ 0 图4.6.3离焦系统的光学传递函数

4.7 相干与非相干成像系统的比较

由前面的讨论可知，对同一个成橡系统，非相干成像系统的截至频率是相干成像系统截止频率的两倍。这好像是说，对同一个成像系统，用非相干照明比用相干照明的成像效果更好。但是实际并非如此简单。这是因为相干截止频率确定的是像的复振幅分布中的最高频率分量，而非相干的截止频率则是像的强度分布中的最高频率分量。振幅和光强不是同一物理量，因而不能直接进行比较。无论是相干照明还是非相干照明，通常最终接收的是像的强度分布，因而必须将相干照明情况下对复振幅的描述转换成对光强度的描述，然后通过强度分布来进行比较比较恰当。下面从像强度频谱与对比度和两点问的分辨率两个方来进行比较，研究同—个成像系统在两种不同类型照明情况下所成的像的某些差异。

4.7.1 像的强度频谱与对比度 为了比较像强度的频谱和对比度。我们先考察相干和非相干情况下像强度分布的频谱。相干照明和非相干照明时的像强度分别为

%2 I=U*hcg和

Ii=Ug22%*h=Ig*hI

分别对上两式进行傅里叶变换，并应用卷积定理和相关定理，得到

相干照明时 FT{Ic}=GgcHc GgcHc （4.7.1）

Ggc哪Ggc[Hc非相干照明时 FT{Ii}=轾犏臌Hc] （4.7.2）

式中Ggc=FT{Ug}是物或者理想几何像振幅分布的频谱，Hc是相干传递函数。 由此可见，在两种情况下像强度的频谱的确不同，但仍不能得出哪种情况更好，因为成像结

果不仅依赖于系统的结构与照明光的相干性，而且与物的空间结构有关。下面举两个例子来说明。

例1 物体的复振幅透过率为

t1(x)=cos2px （4.7.3） b将此物通过一放大率为1的光学系统成像。系统的出瞳是半径为a的圆孔，并且ldi/b解：当采用相干照明时，对于半径为a的圆形出瞳，其截至频率为fcut=a/(ldi)。由于系统的横向放大率为1，物和理想像大小相等，空间频率相同。由题设条件ldi/b<2ldi/b，可得fcut/2<1/b第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

骣x鼢1骣xx4轾11=犏+cos珑4p-cos6p+... （4.7.4） 鼢珑鼢珑犏桫b35桫bbp臌21创3此物函数的基频为2/b>fcut，所以在相干照明下，成像系统只允许零频分量通过，而其他

t1(x)=cos2p频率分量均被挡住，所以物不能成像，像面呈均匀强度分布。

在非相干照明条件下，系统的截止频率为2fcut大于物的基频2/b，所以零频和基频均能通过系统参与成像，因此像面上有图像存在，尽管想的基频被衰减，高频被截至了。显然非相干成像比相干成像好。

例2 在上题中，如果物体的复振幅透过率为

t1(x)=cos2p结论又如何？

x b解 t1(x)和t2(x)的振幅分布随不同，但有相同的强度分布cos2(2pxo/b)，下面分析它们通过系统的成像情况。

对于相干照明，理想像的复振幅分布为cos(2pxi/b)，其频率为1/b。按题设系统的截至频率为fcut=a/(ldi)，且1/b1骣1鼢1骣1d珑f-+dfx+ 鼢珑x鼢珑桫2b2桫b而系统的相干传递函数在范围-fcutGc(fc)=FT{Ic}=Ggc(fx)Hc(fx,0)?Ggc(fx)Hc(fx,0)=Ggc(fx) Ggc(fx)

骣1鼢1骣1骣1鼢1骣11轾1轾珑犏犏d珑f-+df+?dfx+dfx+鼢鼢珑珑xx鼢鼢珑珑犏犏桫桫桫2臌b2b2臌b2桫b骣2鼢1骣21轾1=犏d珑f-+df++d(fx)鼢珑xx鼢珑犏桫桫4臌b2b2在非相干照明下，像面强度频谱为

Gi(fx)=

轾Ggc(fx)哪Ggc(fx)轾Hc(fx,0)Hc(fx,0)犏臌臌 =Gc(fx)轾Hc(fx,0) Hc(fx,0)臌当fx=0时，HcÄHc的值为1，因而Gi(0)=Gc(0)，即像强度频率的零频分量在两种情况下相等，但对频率为2/b的分量，由HcÄHc值小于1，故Gi(2/b)>Gc(2/b)，即在这个频率上相干像强度频率的幅度要比非相干像强度的频率幅度大一些，所以相干像的对

比度也大一些。从这个意义上讲，相干照明优于非相干照明。

4.7.2两点间的分辨率

两点间的分辨率是光学仪器的重要性能指标之一。尤其是在显微镜和天文光学仪器中，它有着非常实际的意义。这里对比—下在相干光和非相干光照明情况下成像系统对靠近的两个点物的成像效果。

非相干成像系统所使用的是瑞利分辨率准则，用它来表示理想光学系统的分辨率。对衍射受

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

限的圆形光瞳情况，点光源在像面上产生的衍射斑的强度分布为爱里斑。两个非相干点光源，若一个点光源产生的爱里斑中心正好落在另一个点光源所产生的爱里斑的第一个暗环上，则认为成像系统对这两个点光源刚好能够分辨，此时对应的分辨率称为成像系统的极限分辨率。因此，在几何像上的最小分辨间隔为d=1.22ldi/D=2.44/fcut，D和fcut为出瞳直径和相干截至频率，由圆孔的夫琅和费衍射理论可知，点像的相对光强分布满足

I(x)=轾2J1(px)/(px)。设两个点源对称放置在光轴的两边，当它们正好处于极限分辨臌的情况，对非相干光源而言，所成像的光强分布应为两光源像光强的非相干叠加，即

2禳镲J1轾p(x-0.61)镲臌I(x)=睚2镲镲p(x-0.61)铪2禳镲J1轾p(x+0.61)镲臌+睚2镲镲p(x+0.61)铪2 （4.7.5）

图4.7.1给出了两个非相干光源的像强度分布的曲线。由分布曲线可知，其中心凹陷的大小

约为最大强度的9％。

I(x) I(x) Φ=0 Φ=π Φ=π/2

-2π -π 0 π 2π -2π -π 0 π 2π 图4.7.1两个非相干点源的像强度分布 图4.7.1两个相干点源的像强度分布

如果是相干照明，两个点光源的像光强分布应首先由复振幅叠加，然后取其模的平方值，即

禳镲J1轾p(x-0.61)J1轾p(x+0.61)jf镲臌臌 （4.7.6） I(x)=睚2+2e镲p(x-0.61)p(x+0.61)镲铪式中f为两点光源之间的相对位相差。显然，当f值不同时，式（4.7.6）中I(x)的分布也

不同。图4.7.2给出了f=0，p/2，p三中特殊情况下的像强度分布曲线，下面分别进行讨论。

当f＝0时，ee”＝1，由式（4.7.6）有

jf2禳J轾镲p(x-0.61)J1轾p(x+0.61)1臌镲I(x)=睚2+2臌镲p(x-0.61)p(x+0.61)镲铪2

显然，此时候强度分布曲线中心突起而不是凹陷．因而两点无法分辨。

jf 当f＝p/2时，e＝j，代入式（4.7.6），有

禳镲J1轾p(x-0.61)J1轾p(x+0.61)镲臌I(x)=睚2+2j臌镲p(x-0.61)p(x+0.61)镲铪2禳J轾禳J轾镲镲px-0.61()1臌1p(x+0.61)镲=睚2+镲2臌睚镲镲p(x-0.61)p(x+0.61)镲镲铪铪这表明，此时像的强度分布与非相干点光源时的分布相同。

2

2当f＝p时，e＝-1，由式（4.7.6）得到

禳J轾镲p(x-0.61)J1轾p(x+0.61)1臌镲I(x)=睚2-2臌镲p(x-0.61)p(x+0.61)镲铪

2jf

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

在x=0处，I(x)=0，即I(x)曲线在中心凹陷到零。显然这种情况下分辨两点的能力很高，远比非相干照明时高。

综上所述，相干照明时成像系统对两点的分辨率强烈地依赖于两点物的位相差。当两点源同相时，分辨率低于非相干照明；当位相差f=p/2时，分辨率与非相干照明时相同；当两点源反相时，分辨率又高于非相干照明。因此，瑞利判据适应于非相干成像系统，对于相干成像系统能否分辨两个点，必须考虑它们的位相关系。 习 题 四

1．一物的振幅透射率系数t(x,y)1(1cos21x)，用单位振幅的单色平面波垂直入射2照明，通过衍射受限系统成像，若1小于系统相干传递函数的截止频率。

（1） 求理想成像平面的光强度分布； （2） 证明在距离像平面为d2j1(j1,2,3.....)的一系列平面上的光强分布相同。

'2．一个衍射受限相干成像系统的光瞳是边长为L正方形，若在其光瞳中心放置一边长为L的不透明正方形屏，试画出相干传递函数H(,0)的图形。

3．一个衍射受限相干成像系统的光瞳是直径为d的圆，若在其光瞳中嵌入一直径为d的不透明半圆形屏，如习题1图所示。求想干传递函数H(,0)和H(0,)的表达式。

4．设衍射受限系统的光瞳是边长为a的正方形，由于离焦使光瞳面上的x方向（y向）的最大光程偏差(,0)a22，求其光学传递函数。

5．用镜头直径D=2cm，焦距f=7cm的照相机拍摄2cm远处相干光照明波长500nm。若被成像物体是周期为d的矩形光栅，问当d分别为0.4mm，0.2mm和0.1mm，像的强度分布大致情形是怎样的。

6．一个照相机带有如下图所示的边长为a的正八边形快门，求此镜头沿轴的光学传递函数，并画出函数图形。（提示：对为透镜到像的距离。）

7．一个单透镜成像系统，对1m远处的矩形光栅成像，光栅的基频为100cm。若分别做相干光照明和非相干光照明，要使画面出现光强的变化，透镜的直径至少应为多大？设照明光波长为500nm，成像系统的放大率M=-1。

8．一个非相干成像系统的光瞳是两个直径为D的圆孔，两孔中心距离为3D，如习题8图所示。试求成像系统沿两轴向的光学传递函数。

1aa和分别求光学传递函数的表达式，dididiy y y x x 习题6图 3D 习题8图 x a习题3图 第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

9．一个非相干成像系统的光瞳是两个边长为1cm的正方形孔，两孔中心距离为3cm，如习题图所示。试求当这一光瞳与像面的距离为10cm时，方向和方向的截止频率。

10．习题图所示为一双透镜非相干成像系统，由一正透镜和一负透镜构成，用来对包括砖砌的楼房、树林等远景成像。可变光阑（光孔光阑）调节到仍能在像中看到砖块。其中有关数据如下：砖的最小周期为8cm，z11000cm,z23cm,f110cm,f210cm,500nm,

P(r)circ(r),L1透镜的直径为4cm，L2透镜的直径为2cm。求：

d（1）像的位置和成像系统的放大率；

（2）忽略所有像差，能在像中观察到砖所允许的最小的d； （3）等效的单透镜成像系统。 L1 孔径光阑 物面 y L2

1cm

x 3D zzz

习题9图 习题15图

3．2 —个满足空间平移不变性的相干光成像系统，其系统相干点扩散函数为

z h(x)=sinc(4x)

(1)求该系统相干传递函数H(x)的表达式。 (2)当系统输入函数分别为

f1(x)=1+2cos(2px),f2(x)=1+2cos(6px)

时，求系统输出的复振幅和辐照度分布。

3.3 一个满足空间平移不变性的相干光成像系统，其系统相干点扩散函数为 1 ／?＼

A(x)＝：smc[二6 [5＞阴 6 Lb J

当输入函数八x)为限带函数，带宽为W。试分析当6和W满足什么条件时， 5数日(x’)与输入函数／(x)相等?

3．4 一个满足空间平移不变性的相干光成像系统，其系统相干点扩散函数为 (1)求系统相干传递函数H(／j)。 (2)当系统输入函数分别为

／1(x)＝1十2cos(2腻)， ／2(2)＝1十2cos(4删) 求系统输出函数8(x’)。

3．5 图示的一个相干光成像系统，透镜焦距．／＝100删，物距Jo和像距4均等于2倍焦

物体为矩形光栅，其复振幅透射系数为

光栅周期众＝O．O01删，用波长入；0．5pm的单色平 面波正入射照明。

(1)将透过光栅的复杂波分解为简谐平面波的线 性叠加。

第四章 光学成像系统的空间变换特性与频率特性

(2)在透镜出瞳面上放置一个宽度为Dj的狭缝光 栏z，为使像面上能够观察到周期性强度分布，DZ的 取值不能小于多少?