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高等代数与数学分析在某些方面的互通性
作者：李娜
来源：《科技视界》2014年第33期
【摘 要】数学分析与高等代数是数学学习中的两门基本学科，它们在理论、解题思路及处理方法上都有所不同。但在学习中，我们仍然能够发现它们在某些方面的互通性，本文主要从一些题目的求解上去探讨这些互通性。 【关键词】数学分析;高等代数;互通性 0 引言
有人指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的导向，以便掌握其精神实质，只有把数学思想方法掌握了，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂。”在数学分析和高等代数的学习中，很少有人把两者联系起来比较，下面就从一些例题入手，对这两者进行比较。
1 数学分析与高等代数的思想方法
在数学分析的学习中，一般涉及五种基本方法：极限的方法、类比的思想方法、化归的思想方法、数形结合的思想方法、严密的逻辑推理方法;这五种方法贯穿整个数学分析学习的过程。
高等代数的思想方法主要有：一般化思想、抽象性思想、公理化思想、初等变换的思想、辩证思维的思想、关系映射反演思想、决策思想等。这些思想方法看似没有关系，但在解题时却可以交替运用。 2 具体例题说明 2.1 极限的方法
极限法是数学分析在初等数学的基础上引入的一个新方法，所谓极限法就是用联系变动的观点，把所研究的对象看作是某对象在无限变化过程中变化结果的思想。极限的方法贯穿数学分析，正是利用极限，实现了直与曲、近似与精确、有限与无限等矛盾转化。
有时候，遇到求极限的问题只是按照数学分析介绍的步骤进行求解，然而有些情况，利用高等代数方法求极限显得更简单：
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例：考察数列1，1，2，3，5，8，13，21，34…，数列满足：x=x=1，x=x+xn≥3求极限：
解：设V=uu=u+un≥3，则当u∈V，w∈V，对任意实数a，b：au+bw∈V，从而有au+bw=au+bw∈V由代数的知识知V构成了实数域上的线性空间。由于数列有前两项唯一确定，故若u∈V， w∈V时，u与w线性无关的充要条件是u，u与w，w线性无关，从而V是二维的线性空间。
设等比数列1，q，q，q，…，且q∈V则q=q+q，n≥4。从而得q=q+1，解之得：q=，q=，由于q≠q，所以 q1，q线性无关，q1，q 便是空间V的一组基，故xn可以由q1，q线性表出。即：xn=aq+bq，由条件知道，a+b=1，aq+bq=1，从而有==·，从而==q=。 2.2 类比的思想方法
所谓类比，是在两类不同的事物之间进行比较，找出若干相同或相似点之后，推测在其它方面也可能存在相同或相似之处的思想方法。类比在引导数学分析理论不断深化中有十分明显的作用。
如已知数列a的极限定义：
设有数列a，a是常数，若对任意ε>0，若存在正整数N，对任意正整数n>N时，有a-a<ε，则称数列a的极限是a。
可以猜想平面点列的极限应有如下定义：
设2中有点列P，P∈2，若对任意ε>0，总存在正整数N，对任意正整数n>N时，有P-P<ε，则称点列P收敛于P。
极限理论体系建立的实践证明，这种定义方式是合理的，并且可以类似地推广到空间点列上去。然而在高等代数的学习中，类比法也很常见：
例：设V，W，U是数域F上的向量空间，σ：V→W，τ：W→U， 都是同构映射，θ表示向量空间中的零向量，则
（5）τ。σ：V→U是同构映射; （6）σ-1：W→V是同构映射。
经类比推理，得出线性映射也可能具备这些性质，然后采用与同构映射性质类似的证明方法，结合线性映射的定义，得出线性映射的形式如下：
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设：σ：V→W，τ：W→U都是线性映射，θ表示向量空间中的零向量，则： （5）τ。σ：V→U是线性映射。
2.3 数学分析化归思想在高等代数解题中的运用
化归是指研究问题时，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类能解决或者比较容易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种思想方法。化归法广泛应用于各类问题的求解过程。如极限的计算，利用收敛数列的四则运算法则、两个重要极限、等价无穷小代换等方法将复杂式子的极限转化为简单式子的极限来解决。
而在高等代数的学习中，利用化归的思想方法也使得问题的解决变得简单。 例如：试证：Aλ=的不变因子为：1，1，、、、，1，fλ，其中1有 个，n-1。 f（λ）=λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-2λ2+an-1λ+an
分析：本题是为了求不变因子，要求不变因子，可转化成为求行列式因子，求出行列式因子，再利用二者的关系，得到不变因子。 证明：Dλ=Aλ1+λ2+…+λn =Aλ
而Aλ的右下角的n-1阶子式非零常数，得：Dn-1（λ）=1，从而 ; Dλ=…=D（λ）=1，所以A（λ）的不变因子为：1，1，、、、，1，f（λ）。 2.4 构造函数的思想
构造函数是数学分析中很常见的解题方法，然而它在高等代数中也有着广泛的应用，在具体数学问题或研究对象中，根据已知条件或实际情况需要构造函数、构造等式、构造基、构造多项式、构造矩阵等来解决问题，几乎在高等代数的每个章节都会用到。 例：设a≠b，证明多项式f（x）被（x-a）（x-b）除所得的余式为：x+。
分析：要证明本题就必须构造多项式f（x），借助已知条件和根据多项式的基本性质：“对于p[x]中的任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，p（x）中一定有多项式q（x），r（x）存在，使f（x）=q（x）g（x）+r（x）成立”，构造出f（x），就可以使得问题迎刃而解了。
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证明：设f（x）=q（x）（x-q）（x-b）+r（x）， 因此f（x）被（x-a）（x-b）除所得的余式为x+。 2.5 数学分析中函数连续性在解决矩阵问题中的应用
连续性的定义（1）：函数在一点连续的定义：若函数f（x）在x0的领域包含x0本身有定义并且f（x）=f（x），我们就称f（x）在点x连续。
定义（2）：函数f（x）在某一区间内有定义：若函数f（x）在开区间（a，b）内都连续，也就是说对（a，b）内任何一点x皆成立f（x）=f（x），则称 f（x）在（a，b）内连续，对闭区间[a，b]来说，f（x）在[a，b]上连续的定义是指：f（x）在（a，b）内连续，同时有f（a+0）=f（a），f（b-0）=f（b），则称f（x）在[a，b]内连续。 下面就是利用函数连续性的概念求解矩阵的问题：
例：若A，B是n阶方阵，则AB与BA有相同的特征多项式。
证明：i）若A可逆，则λE-BA=AλE-ABA=λE-AB，即这时有AB与BA有相同的特征多项式。
ii）若A不可逆，记A=A+tE，由已知对任意的t，存在δ，使得在[0，δ]上，有A可逆，由i）证得的结论知这时有BA=B（A+tE）和ArB=A+tEB有相同的特征多项式，即λE-BA+tE=λE-A+tEB，上式两端都是关于t的多项式，从而是关于t的连续函数，因此当t趋于零时，上式就化为λE-BA=λE-AB。
综上，对任意方阵A ，B，AB与BA均有相同的多项式。 3 结束语
上述五类例题不仅体现了数学分析的思想方法，同时也从高等代数的角度解决问题;它们很好的体现了数学分析与高等代数的互通性，数学分析与高等代数不仅是的，同时在某些方面也是相通的，这对以后学习数学分析与高等代数都有帮助。 【参考文献】
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[3]钱吉林.高等代数解题精粹[M].北京：民族大学出版社，2002：217-220. [4]陈传璋等.数学分析（一，二）[M].北京：高等教育出版社，1983.
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[6]候敏之.数学思维与数学方[M].北京：化学工业出版社，1991. [责任编辑：薛俊歌]
