备战中考数学复习一元二次方程专项易错题及答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关房地产的，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】

（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】

（1）设平均每次下调x%，则

7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

3x3x2．解方程：230． 2x12x1【答案】x=【解析】 【分析】

21或x=1 53x，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x． 2x1【详解】

设y3x，则原方程变形为y2-2y-3=0． 2x1解这个方程，得y1=-1,y2=3,

解：设y∴

3x3x1或3． 2x12x11或x=1． 51或x=1都是原方程的解． 5解得x=

经检验：x=

∴原方程的解是x=【点睛】

1或x=1． 5考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．

3．解下列方程： (1)2x2－4x－1＝0(配方法)； (2)(x＋1)2＝6x＋6. 【答案】(1)x1＝1＋【解析】

试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；

（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝∴(x－1)2＝∴x－1＝±∴x1＝1＋

66 (2) x1＝－1，x2＝5. ，x2＝1－

2213，∴x2－2x＋1＝.

223. 236. ＝±2266. ，x2＝1－

22(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0. ∴x＋1＝0或x＋1－6＝0. ∴x1＝－1，x2＝5.

4．如图，在RtABC中，∠B90，AC10cm，BC6cm，现有两点P、Q的分别从点A和点B同时出发，沿边AB，BC向终点C移动．已知点P，Q的速度分别为

2cm/s，1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P，Q两点移

动时间为xs．问是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于16cm2？若存在，请

求出此时x的值；若不存在，请说明理由．

【答案】假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于16cm2，理由见解析

【解析】 【分析】

根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况. 【详解】

解：∵B90，AC10，BC6， ∴AB8．

∴BQx，PB82x；

假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于16cm2， 则

1168x82x16， 22整理得：x24x80， ∵

1632160，

∴假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于16cm2． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.

5．已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根．

(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值. 【答案】(1)b24acm3≥0；(2)m=-1,-3. 【解析】

分析: （1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）利用公式法可求出x1=详解: （1）证明：∵m≠0，

∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程， ∴△=（m-3）2-4m×（-3） =（m+3）2，

∵（m+3）2≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x=∴x1=-23，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值． m3mm32m ，

3，x2=1， m∵m为正整数，且方程的两个根均为整数， ∴m=-1或-3．

点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．

16．已知：关于x的一元二次方程x2(m1)xm220.

4（1）若此方程有两个实数根，求没m的最小整数值； （2）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足x1x1x218【答案】（1）-4；（2）m=3 【解析】 【分析】

（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；

（2）利用根与系数的关系得到x1x2(m1)，x1x2元二次方程，即可确定m的值． 【详解】

122解：（1）∵x(m1)xm20有两个实数根，

42122mx2，求m的值. 412m2，然后解关于m的一4∴(m1)41(m2)0， ∴2m90， ∴m21429； 212m2， 4∴m的最小整数值为：m4；

（2）由根与系数的关系得：x1x2(m1)，x1x2由x1x2x1x2182212m得： 421212m1m218m 44∴m22m150， 解得：m3或m5； ∵m9， 2∴m3. 【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则

cb，x1x2．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系aa和根的判别式.

x1x2

7．解方程：(x＋1)(x－1)＝22x. 【答案】x1＝2＋3，x2＝2－3. 【解析】

试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可. 试题解析：(x＋1)(x－1)＝22x x2-22x-1=0 ∵a=1，b=-22，c=-1 ∴△=b2-4ac=8+4=12＞0

2bb4ac=∴x=2±3

2a∴x1＝2＋3，x2＝2－3.

8．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；

（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根． 【答案】（1）a=【解析】 【分析】

（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；

（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b2－4ac＝0求出a的值，再代入解方程即可． 【详解】

2（1）将x＝2代入方程(a1)x2xa10，得4(a1)4a10，解得：a＝

11，方程的另一根为；（2）答案见解析. 521． 5将a＝∴a＝

11424代入原方程得x2x0，解得：x1＝，x2＝2． 555211，方程的另一根为； 52（2）①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0.

②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0．

当a＝2时， 原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1； 当a＝0时， 原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1． 综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1. 考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.

9．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1． 【解析】

试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；

（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； （3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 试题解析：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1． 考点：一元二次方程的应用．

10．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．

（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为 ；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝ ；

（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣

4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．

【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（【解析】 【分析】

（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；

（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”． 【详解】

解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，

所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0）， 由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”， 所以0＝a+2， 解得a＝﹣2；

（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”

11，0）或（，0）. 2211， ab∴a+b＝0．

∴∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根 ∴a+b＝k＝0， ∴x2﹣4＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣2．

1①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为,0；

2②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（∴综上所述，“x牵手点”为【点睛】

本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．

1，0 ） 211,0或（，0）

22