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数学广角：植树等问题
（一）植树问题：
1、 两端要栽：总长＝间距×间隔数；
间隔数＝总长÷间距； 棵数＝间隔数＋1； 间隔数＝棵数－1
2、 两端不栽：总长＝间距×间隔数；
间隔数＝总长÷间距； 棵数＝间隔数－1； 间隔数＝棵数＋1
情况分类：1、两端都要栽
①求棵数的 棵数＝总长度÷间距＋1
例题：学校门前新修一条马路长96米，要在马路一旁栽上树，每两颗树之间的相距8米（两端都要栽），一共要栽多少棵树？ 分析：总长度÷间距=间隔数（树与树之间的间隔数量） 96 ÷ 8 =12（树与树之间有12个间隔） 间隔数+1=棵树（为什么要加1呢？因为起点上本来就有一棵树，但是没有算）
12（间隔数）＋1（起点上的一棵树）=13（棵） 列式：总长度÷间距+1=棵数 96÷8+1 =12+1 =13（棵）
答：一共要栽13棵树。 图解：
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②求总长的 总长度=（棵数-1）×间距
例题：学校门前新修一条马路，要在马路一旁栽上13棵树，每两颗树之间的相距8米（两端都要栽），这条马路有多长？ 分析：总长度=间距×间隔数 这道题没有告诉你树与树之间有多少个间隔，只告诉你有13棵树。那么间隔数就等于棵数－1。（间隔数为什么等于棵数减1呢？这个跟两只筷子中间有一个空，三个人站成一排中间有2个空，四个人站成一排中间有3个空，五根手指中间有4个空的道理是一样的，所以要拿棵数减掉1就知道有多少个空了）
所以13-1=12（算出间隔数是12个）
总长度=间距（8米）×间隔数（12个）=96米
完整的表达方式是：总长度=（棵数-1）×间距 =（13-1）×8 =96米 列式：（13-1）×8 =12×8 =96（米）
答：这条马路长96米。 图解：
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③求间距的 间距=总长÷（棵数-1）
例题：学校门前新修一条马路长96米，要在马路一旁栽上13棵树（两端都要栽），每两颗树之间相距多少米？
分析：总长=间距×间隔数
总长度我们已经知道是96米了，那么这个题中树与树之间的间隔数是多少呢？
之前我们已经知道了间隔数=棵数-1，所以间隔数=13-1=12。间隔数已经知道了，那么按照间距=总长÷间隔数的定义，间距就等于96（总长度）÷12（间隔数）=8米
完整表达方式是：间距=总长÷（棵数-1） =96÷（13-1） =96÷12 =8米 列式：96÷（13-1） =96÷12 =8（米）
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答：每两颗树之间相距8米。
2、一端植，一端不植：棵数＝间隔数
在这种情况下，间隔数=棵数，总长度=棵数×间距，间距=总长度÷棵数。
这种题是最简单的了，不牵扯到加1或减1的问题。
例题：学校门前新修一条马路长96米，从学校门前开始要在马路一旁栽上12棵树（学校门前不栽），每两颗树之间相距多少米？
分析：这个题是求间距的，间距=总长度÷棵数 列式：96÷12 =8（米）
答：每两棵树之间相距8米 图解：
3、两端都不植：棵数＝间隔数－1
如图所示：小芳家到小李家的路有96米，植了11棵数，却有12个间隔，这是为什么呢？？
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上面我们刚刚知道了两端都植树的情况下，棵数要比间隔数多一个，比如：两棵树之间有1个间隔，3棵数之间有2个间隔，10棵数之间有9个间隔，棵数永远比间隔数多一个数。而在一端植一端不植就好比两端都植树的情况下少了一棵树！所以间隔数就等于棵数，有多少棵树，就有多少个间隔。而我们现在讲的两端都不植树的情况就好比一端植一端不植的情况下又少了一棵树，本来棵数和间隔数是相等的，但是现在又少了一棵树，所以棵数＝间隔数－1 间隔数=棵数+1
看看下面的图对比一下就知道了！
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例题：小芳家到小李家有一条长96米路，要想在这条路上每隔8米栽一棵树（两端都不栽），可以栽多少棵数？
分析：这道题是求棵数的，首先我们要先找到间隔数是多少？ 题目中说了总长度是96米，间距是8米，那么间隔数就是总长度÷间距
96÷8=12，有12个间隔数，在两端都不植的情况下，棵数比间隔数少一个，所以间隔数-1=棵数，即：12-1=11（棵） 完整的表达方式是：总长度÷间距-1 96÷8-1 =12-1 =11（棵） 答：可以栽11棵树
（二）锯木问题：
定义：段数＝次数＋1； 次数＝段数－1； 总时间＝每次时间×次数
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例题1：想要将一根木头锯成4段需要锯多少次？ 分析：次数=段数-1 4-1=3（次）
例题2：将一段木头锯5次，可以锯成多少段？ 分析：段数=次数+1 5+1=6（段）
例题3：将一段木头锯成4段，没锯一段需要4分钟，将这段木头锯完需要多少时间？
分析：总时间=每次时间×次数 4×4=16（分钟）
综合例题：一根钢管长8米，平均锯成1米一段，如果每段需要3分钟，那么多少分钟后可以锯完？
分析：首先要算出可以锯成多少段，8÷1=8段，可以锯成8段。那么8段可以锯几次呢？按照次数=段数-1的定义，8-1=7次。虽然是可以锯成8段，但是只需要锯7次就可以了，所以7×3=21（分钟）就可以锯完。而不是8×3=24分钟！
完整列式：（8÷1-1）×3=21（分钟） 图解：
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（三）方阵问题：
定义：
最外层的数目是：边长×4—4或者是（边长－1）×4
整个方阵的总数目是：边长×边长 （相当于四方形的面积长×宽） 例题1：队伍中的红旗方阵，横、竖每行都是10个旗手，它的外围有多少个旗手？
分析：最外层的数目=边长×4-4。那么到底为什么要减4呢？？ 首先，我们画一个正方形的图，它就好比这个方阵。下图：
在这个方阵中每个边都有10个旗手，所以我们按照常规逻辑在每个边上加上10个人
如下图所示：
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通过上面的图我们发现一个问题，在方阵的四个角上各有2个人。这就说明2个人站在同一个地方，这是错误的。一个角上只能站一个人，其余的要减掉。所以减掉4个人。 看看下面的图：
通过上面的图我们看到了，最外围的人数就等于一个边10个人×4条边然后减掉四个角上多余的4个人。
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完整的表达是：一个边的人数×四条边-角上4个多余的人=最外围的人数
10×4-4 =40-4 =36（人） 图解：
10+9+9+8=36（人）
（四）封闭的图形（例如围成一个圆形、椭圆形）
定义：总长÷间距＝间隔数；棵数＝间隔数
例题：一个圆形跑道长100米，如果每20米竖一个广告牌，可以竖多少个？
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分析：圆形的特点就是无论从哪一个点上出发，最终都会回到原点。
从上图我们可以看出这题其实也可以这么说，将100米长的路，按20米一段来划分，可以分成多少段？或者：在100米长的路上栽树，每20米一颗（一端不载），可以栽几棵树？道理都是一样的。
所以：总长数÷间距=棵数 100÷20=5个广告牌
（五）棋盘棋子数目：
1．棋盘最外层棋子数：每边棋子数×边数－边数
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这个跟求方阵最外围的道理是一样的
2．棋盘总的棋子数：每行棋子数×每列棋子数 这个和求四边形的面积是一样的。长×宽
3．多边形上摆花盆：每边摆的花盆数×边数－边数
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