北京市朝阳区六校2022届高三数学四月联考试题B卷20222217024

〔考试时间120分钟 总分值150分〕

本试卷分为选择题〔共40分〕和非选择题〔共110分〕两局部

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并

交回. 第一局部〔选择题 共40分〕

一、选择题共10小题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项。

〔1〕命题p：xR，ex1，那么命题p的否认为

〔A〕x0R，ex01 〔C〕x0R，ex01

〔2〕设集合A{xZ|x3x40}，B{x|e2 〔B〕xR，ex1 〔D〕xR，ex1

x21}，那么AB=

〔A〕{1,0,1,2} 〔B〕[1,2) 〔C〕{1,0,1} 〔D〕[1,2] 〔3〕以下函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是

〔A〕f(x)x2 〔B〕f(x)log1|x|

23〔C〕f(x)x3x 〔D〕f(x)sinx

311，那么a，b，c的大小关系是 3〔A〕cba 〔B〕bac 〔C〕cab 〔D〕bca

〔5〕为了宣传今年9月即将举办的“第十八届中国西部博览会〞〔简称“西博会〞〕，组委会

〔4〕alog2，blog0.20.3，ctan3举办了“西博会〞知识有奖问答活动. 在活动中，组委会对会议举办地参与活动的

1565岁市民进行随机抽样，各年龄段人数情况如下： 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 各组人数 各组人数频率分布直方图 [15,25) 10 [25,35) [35,45) [45,55) a b c d [55,65] 根据以上图表中的数据可知图表中a和x的值分别为

〔A〕20，0.15 〔B〕15，0.015 〔C〕20，0.015 〔D〕15，0.15 〔6〕向量a(2,23)，假设ab=16，那么b在a上的投影是 33344 〔B〕 〔C〕 〔D〕 4433〔7〕某三棱锥的三视图如下图，那么这个三棱锥中最长的棱的长度为

〔A〕〔A〕5 〔B〕 3 〔C〕6 〔D〕23 〔8〕△ABC，那么“sinAcosB〞是“△ABC是直角三角形〞的

〔A〕充分而不必要条件 〔C〕充分必要条件

〔B〕必要而不充分条件 〔D〕既不充分也不必要条件

〔9〕“杨辉三角〞是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形〞早了300多年.

如图是由“杨辉三角〞拓展而成的三角形数阵，记an为图中虚线上的数1,3,6,10,构成的数列{an}的第n项，那么a100的值为 〔A〕5049 〔B〕5050 〔C〕5051 〔D〕5101 〔10〕关于函数

f(x)(x2ax1)ex，有以下三个结论：

①函数恒有两个零点，且两个零点之积为1； ②函数的极值点不可能是1； ③函数必有最小值.

其中正确结论的个数有

〔A〕0个 〔B〕1个 〔C〕2个 〔D〕3个

第二局部〔非选择题 共110分〕

二、填空题共5小题，每题5分，共25分。 〔11〕在(x)的二项展开式中，x2x53的系数为________．〔用数字作答〕

〔12〕复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足|z|5，zz6，那么z的实部为

_________，

虚部为 ．

〔13〕设无穷等比数列{an}的各项为整数，公比为q，且|q|1，a1a32a2，写出数列{an}的一个通项公式________．

〔14〕在平面直角坐标系中，点A(0,1)，B(1,1)，P为直线AB上的动点，A关于直线OP的

对称点记为Q，那么线段BQ的长度的最大值是________． 〔15〕关于曲线C:xxyy4，给出以下三个结论：

① 曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称；

② 曲线C恰好经过4个整点〔即横、纵坐标均为整数的点〕； ③ 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于22．

其中，正确结论的序号是________．

注：此题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。 〔16〕〔本小题13分〕

：①函数f(x)cosxsin(x)2261(0)； 41214②向量m(3sinx,cos2x)，n(cosx,)，且0，f(x)mn； ③函数f(x)11sin(2x)(0,||)的图象经过点(,) 2262请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. _________________，且函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为

． 2〔Ⅰ〕假设01，且sin，求f()的值； 22〔Ⅱ〕求函数f(x)在[0,2]上的单调递减区间.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

〔17〕〔本小题14分〕

体温是人体健康状况的直接反响，一般认为成年人腋下温度T〔单位：C〕平均在36C37C之间即为正常体温，超过37.1C即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.1T38；高热：38T40；超高热〔有生命危险〕：T40.

某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗. 医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间，患者每天上午8:00服药，护士每天下午16:00为患者测量腋下体温记录如下： 抗生素使用情况 日期 没有使用 12日 13日 使用“抗生素A〞治疗 14日 15日 16日 使用“抗生素B〞治疗 17日 18日 19日 体温〔C〕 抗生素使用情况 日期 38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 使用“抗生素C〞治疗 20日 21日 22日 23日 没有使用 24日 25日 26日 体温〔C〕 38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3 〔Ⅰ〕请你计算住院期间该患者体温不低于39C的各天体温平均值；

〔Ⅱ〕 在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊

工程“工程〞的检查，记X为高热体温下做“工程〞检查的天数，试求X的分布列与数学期望；

〔Ⅲ〕抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的顶峰，开始杀灭细菌，到达

消炎退热效果.假设三种抗生素治疗效果相互，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最正确，并说明理由．

〔18〕〔本小题15分〕

在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD．底面ABCD为梯形，ABCD，

ABAD，且AB1，PAADDC2，PD22．

〔Ⅰ〕求证：ABPD；

〔Ⅱ〕求二面角PBCD的余弦值；

〔Ⅲ〕假设M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，

MF与PC都不平行.

〔19〕〔本小题14分〕

1x2y2椭圆C:221(ab0)的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于

ab2A，B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB|3.

〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；

〔Ⅱ〕当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P〔异于点F〕，使x轴上任意点

到直线PA，PB的距离均相等？假设存在，求P点坐标；假设不存在，请说明理由.

〔20〕〔本小题15分〕

函数f(x)exax2(aR)．

〔Ⅰ〕假设曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a； 〔Ⅱ〕f(x)在[0,1]上的最大值不小于2，求a的取值范围；

〔Ⅲ〕写出f(x)所有可能的零点个数及相应的a的取值范围．〔请直接写出结论〕 〔21〕〔本小题14分〕

集合

Sn{X|X(x1,x2,,xn),xi{0,1},i1,2,,n}(n2)，对于

A(a1,a2,,an)Sn，

B(b1,b2,,bn)Sn，定义A与B的差为AB(|a1b1|,|a2b2|,|anbn|．

,|anbn|)；A与B之间的距离为d(A,B)=|a1b1|+|a2b2|〔Ⅰ〕假设AB(0,1)，试写出所有可能的A，B； 〔Ⅱ〕A,B,CSn，证明：d(AC,BC)d(A,B)；

〔Ⅲ〕A,B,CSn，d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.

2022~2022学年度高三年级四月份测试题

数学B 参 2022.4

第一局部〔选择题 共40分〕

一、选择题〔共10小题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项〕

〔1〕 A 〔2〕 C 〔3〕C 〔4〕 A 〔5〕 C 〔6〕 D 〔7〕 B 〔8〕D 〔9〕 B 〔10〕 D

第二局部〔非选择题 共110分〕

二、填空题〔共5小题，每题5分，共25分〕

n1*〔11〕80 〔12〕3, 4 〔13〕an2(nN)〔答案不唯一〕

〔14〕21 〔15〕①③

三、解答题〔共6小题，共85分。解容许写出文字说明、演算步骤或证明过程〕 〔16〕〔本小题13分〕 解：方案一：选条件①

因为f(x)cosxsin(x)

61 431sin2xcos2x …………3分 44 12sin(2x6)， 又

T22

，

所

以

1，f(x)12sin(2x6). …………5分

方案二：选条件②

因为m(3sinx,cos2x)，n(1cosx,124)，

所以f(x)mn32sinxcosx14cos2x12sin(2x6). 又

T22

，

所

以

1，f(x)12sin(2x6). …………5分

方案三：选条件③

由

题

意

可

知

，

T22 ，所以

1f(x)12sin(2x6). …………1分

又

因

为

函

数

f(x)图象经过点

(6,12)1212sin(26). …………3分 因

为

||2，所以



6

，f(x)12sin(2x6). …………5分

Ⅰ

〕

因

为

02，

sin12，所所，所所所所以

以

以

以

以

以，〔





. …………7分 6

以

所

11f()f()sin. …………9分

6222〔Ⅱ〕由

得

32k2x2k,kZ， 2622kxk,kZ …………12分 63令k0，得

275x，令k1，得x， 6363f(x)在[0,2]上的单调递减区间为[,所以函数

2]，63[75,]. …………13分 63〔17〕〔本小题14分〕

解:〔Ⅰ〕 由表可知，该患者共6天的体温不低于39C，记平均体温为

x，· ····1分

1x(39.439.740.139.939.2+39.0)39.55C6 ··········4分

所以，患者体温不低于39C的各天体温平均值为39.55C. 〔

Ⅱ

〕

．

X的所有可能取值为

0,1,2． ·····················

········5分

30C3C21P(X0), ······3C510························6分

1C32C263P(X1), ·····3C5105·······················7分

12C3C23P(X2)． ·····3C510·······················8分

那

么

X的分布列

为： ················································9分

X P 所

0 1 3 52 3 10以

1 10E(X)0133612． ···················105105······················11分

〔Ⅲ〕“抗生素C〞治疗效果最正确可使用理由：

① “抗生素B〞使用期间先连续两天降温1.0C又上升0.1C，“抗生素C〞

使用期间持续降温共计1.2C，说明“抗生素C〞降温效果最好，故“抗生素C〞治疗效果最正确．

② 抗生素B〞治疗期间平均体温39.03C，方差约为0.0156；“抗生素C〞平

均体温38C，方差约为0.1067，“抗生素C〞治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C〞治疗效果最正确． ········································14分 “抗生素B〞治疗效果最正确可使用理由：

〔不说使用“抗生素B〞治疗才开始持续降温扣1分〕

自使用“抗生素B〞开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素B〞治疗当天共降温0.7C，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素B〞治疗效果最正确． ············14分

〔开放型问题，答案不唯一，但答“抗生素A〞效果最好不得分，理由与结果不匹配不得分，

不用数据不得分〕 〔18〕〔本小题14分〕

解:〔Ⅰ〕因为平面ABCD平面PAD， …………1分

平面ABCD平面PADAD, …………2分

AB平面ABCD, ABAD， …………3分

所以AB平面PAD, …………4分 又因为PD平面PAD， 所

以

ABPD． …………5分

〔Ⅱ〕因为PAAD2，PD22，所以PAAD．

由〔Ⅰ〕得AB平面PAD，所以ABPA， 故AB,AD,AP两两垂直．

M

如图,以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系Axyz， 那

么

F P(0,0,2)，

B(1,0,0)，

C(2,2,0)，

D(0,2,0)． …………6分

因为PA平面BCD，所以平面BCD的一个法向量是n(0,0,1)． 而PB(1,0,2)，PC(2,2,2)， 设平面PBC的一个法向量为m(x,y,z)

mPB0,那么由mPC0, 得

x2z0, 取z1，有2x2y2z0.m(2,1,1)， …………8分

所

以

cosn,mnm16． …………10分 nm66由题知，二面角PBCD为锐角， 所

以

二

面

角

PBCD的余弦值为

6． …………11分 6〔

Ⅲ

〕

假

设

棱

BC上存在点

F，

MF//PC，设

BFBC,[0,1]． …………12分

依

题

意

，

可

知

M(0,0,1)，

BC(1,2,0)，

F(1,2,0)， …………13分

所

以

MF(1,2,1)，

PC(2,2,2)． …………14分

12,根据假设，有22, 而此方程组无解，故假设错误，问题得

12,证． …………15分 〔19〕〔本小题14分〕 解：〔Ⅰ〕由题意得：

2b2a3,c1 ……………,a2a2b2c2,………1分

解

得:a2,b3,c1 ． ……………………2分

所

以

椭

圆

的

标

准

方

程

为

：

x2y21 ……………………3分 43〔II〕依题意，假设直线l的斜率不为零，可设直线l:xmy1(m0)，

A(x1,y1),B(x2,y2)．

假设存在点P，设P(x0,0)，由题设，x01，且x0x1，x0x2. 设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2， 那

么

k1y1y2． …………4分 ,k2x1x0x2x0因为A(x1,y1),B(x2,y2)在xmy1上， 故

x1my11,x2my21． …………5分

而x轴上任意点到直线PA,PB距离均相等等价于“PF平分APB〞， 继

而

等

价

于

k1k20． …………………6分

那么k1k2y1y2

x1x0x2x0………8分

2my1y2(1x0)(y1y2)0． ……………

(x1x0)(x2x0)x2y21联立4，消去x，得：(3m24)y26my90， 3xmy1有

y1y2分

6m9,yy． ……………………1012223m43m418m6m6mx024m6mx0， (3m24)(x1x0)(x2x0)(3m24)(x1x0)(x2x0)，

故

那么k1k20即

4mmx00x04或

m0〔舍〕． … …………………13分

当直线l的斜率为零时，P(4,0)也符合题意．

故存在点P(4,0)，使得x轴上任意点到直线PA,PB距离均相

等． …………14分

〔20〕〔本小题15分〕

解：〔Ⅰ〕 因为f(x)eax(aR)，

故

x2f(x)ex2ax． …………1分

依

题

意

f(1)e2a0，即

e． …………2分 2ee 当a时，f(1)0，此时切线不与x轴重合，符合题意，因此

22ea．…………3分

2a〔Ⅱ〕 由〔Ⅰ〕知，

f(x)ex2ax,

当a0时，因为x[0,1],ex0,2ax0，

故f(x)0，即f(x)单增，因此f(x)maxf(1)ea．

依题意，当a0时，f(x)max=eae2，所以a0符合题意． …………5分

当

a0时，

f(x)ex2a，令

f(x)0，有

xln2a． …………6分

f(x),f(x)变化如下：

x (,ln2a) — ln2a 0 (ln2a,) + f(x) f(x) 故

极小值 f(x)min2a2aln2a2a(1ln2a)． …………7分

当1ln2a0时，即0ae时，f(x)0，f(x)单调递增， 2因此f(x)maxf(1)ea． 依

题

意

，

令

ea2，有

0ae2． …………8分

当1ln2a0时，即a故

存

在

e时，f(1)e2a0,f(0)10， 2唯

一

x0(0,1)使

f(x0)0． …………9分

此时有ex02ax00，即ex02ax0，f(x),f(x)变化如

下： …………10分

x (0,x0) + x02x0 0 极大值 (x0,1) — f(x) f(x) 所以f(x)maxf(x0)eax0x0ex0，e2x0x0(0,1)． …………11分

xex(1x)ex依题意，令g(x)e，x(0,1)，那么g(x)0，g(x)在

22x(0,1)单调递增，

所以g(x)g(1)所以

e2， 2f(x)max2，此时不存在符合题意的a．

综上所述，当a(,e2]，f(x)在[0,1]上的最大值不小于2，

假设a(,e2]，那么f(x)在[0,1]上的最大值小于2，

所

以

a的取值范围为

(,e2]． …………………12分

解法二：

〔Ⅱ〕当x[0,1]时，f(x)最大值不小于2，等价于

f(x)exax22在x[0,1]上有解，显然x0不是解,

即

ex2ax2在x(0,1]上有

解， ……………………4分

ex2设g(x)x(0,1], 2，x那

么

g(x)xex2ex4x3． ……………………5分 设h(x)xex2ex4 ，x(0,1]， 那么h(x)ex(x1)0． 所

以

h(x)在

(0,1]单调递减h(x)h(1)4e0， …………7分

所

以

g(x)0，所以

g(x)在

(0,1]单调增， ……………………9分

所

g(x)maxg(1)e2． ……………………10分

依题意需ae2, 所

以

a的取值范围(,e2]． ……………………12分

解法三:

〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，

f(x)ex2ax,

〔1〕当ae2时，f'(x)ex2axexex, 设h(x)exexx[0,1]，h(x)exe0,

所

以

h(x)在

[0,1]单调递减，h(x)h(1)0． …………5分

所以f(x)0，所以f(x)在[0,1]单调递增，

因

f(x)maxf(1)ea． …………7分

依

题

意

，

令

ea2，ae2． …………8分

〔2〕当ae2时，f(x)exax2exe22x,

，

递

以

为

故

此

得

设(x)exex2,x[0,1], 2x那么(x)e所

以

exh(x)0,

(x)在

[0,1]单调递

增， …………10分

故

ee(x)max(1)e222，即

f(x)2，不符合题

意． …………11分

综

上

所

述

，

a的取值范围为

(,e2]． ············12分

e2〔III〕当a0时，yf(x)有0个零点；当0a时，yf(x)有1个零点

4e2e2当a时，yf(x)有2个零点；当a时，yf(x)有3个零

44点．· ············15分 〔21〕〔本小题14分〕

解：〔Ⅰ〕 A(0,0),B(0,1)；

A(0,1),B(0,0) …………1分

；

A(1,0),B(1,1) …………2分

；

A(1,1),B(1,0) …………3分

〔Ⅱ〕 令A(a1,a2,对i1,2,当

.

,an),B(b1,b2,,bn),C(c1,c2,,cn)，

,n，

ci0时

，

有

||aici||bici|||aibi|； …………4分

当

ci1时，有

||aici||bici|||1ai(1bi)||aibi|． …………5分

所以

d(AC,BC)||a1c1||b2c2||+||a2c2||b2c2||+

+||ancn||bncn|||a1b1||a2b2|…………6分

|anbn|d(A,B)．

〔Ⅲ〕A,B,CSn，d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中一定有偶数. 理由如下：

解法一：

设A(a1,a2,,an),B(b1,b2,,bn),C(c1,c2,,cn)Sn，

d(A,B)k,d(A,C)l,d(B,C)h，

记

0(0,0,0)Sn由〔Ⅱ〕可知:

d(A,B)d(AA,BA)d(0,BA)k，

d(A,C)d(AA,CA)d(0,CA)ld(B,C)d(BA,CA)h. …………8分

所以biai(i1,2,,n)中1的个数为k,ciai(i1,2,,n)中1的个数为l. 设

，

t是使

biaiciai1成立的i的个数，那么

hlk2t. …………10分

由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数， 即

d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中一定有偶

数. …………14分

解法二：

因为(aibi)(bici)(ciai)0，

且(aibi)(bici)(ciai)与|aibi||bici||ciai|奇偶性相

同. …………8分

所以|aibi||bici||ciai|为偶数， 故

d(A,B)d(B,C)d(A,C)为偶

数， …………10分

所以d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数不可能都是奇数， 即

d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中一定有偶

数. …………14分