整式的乘法与因式分解复习

整式乘除与因式分解

一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质：

am·an＝am＋n （m、n为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a)2(－3a2)3 2．amn＝ amn （m、n为正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a5)5

nabanbn （n为正整数） 3．

积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a2b)3 练习：

（1）5x2xy （2）3ab(4b) （3）3ab2a

35222（4）yz2yz （5）(2xy)(4xy) （6）ab6abc(ac)

2223232213

mn4．aa＝ am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x8÷x2 （2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）2

5 752

（4）（-a）÷（-a）（5） (-b) ÷(-b)

5．零指数幂的概念： a0＝1 （a≠0）

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l． 例：若(2a3b)01成立，则a,b满足什么条件？

1

6．负指数幂的概念：

1pa－p＝a （a≠0，p是正整数）

任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数．

n也可表示为：mpmn（m≠0，n≠0，p为正整数）

p7．单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

11例：（1）3a2b2abcabc2 （2）(m3n)3(2m2n)4

32

8．单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

2122例：（1）2ab(5ab3ab) （2）(ab22ab)ab

32（3）(-5mn)(2n3mn) （4）2(xyzxyz)xyz

22223

9．多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

（2mn)2 （1x）(0.6x) （2）(2xy)(xy) （3）例：（1）

练习：

1xy) 3的结果是 22．(3×10 8)×(－4×10 4)＝ 1．计算2x 3·(－2xy)(－

2

3．若n为正整数，且x 2n＝3，则(3x 3n) 2的值为 4．如果(a nb·ab m) 3＝a 9b 15，那么mn的值是 5．－[－a 2(2a 3－a)]＝ 6．(－4x 2＋6x－8)·(－

12

x )＝ 22

7．2n(－1＋3mn )＝

8．若k(2k－5)＋2k(1－k)＝32，则k＝ 9．(－3x 2)＋(2x－3y)(2x－5y)－3y(4x－5y)＝

110．在(ax 2＋bx－3)(x 2－x＋8)的结果中不含x 3和x项，则a＝ ，b＝

211．一个长方体的长为(a＋4)cm，宽为(a－3)cm，高为(a＋5)cm，则它的表面积为

，体积为

。

，若将长方

12．一个长方形的长是10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 形的长和都扩大了2cm，则面积增大了

10．单项式的除法法则：

。

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

例：（1）28x4y2÷7x3y（2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3

11．多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

例：( 1) 练习： 1．计算：

3313（1）x4y2z3x2y2； （2）2x2yx2y2；

772(3x2y6xy)6xy(2)(5a3b10a2b215ab3)(5ab)（3）16ab4ab． （4）4x3y2n2xyn

6223

3

（5）41092103

2．计算：

11（1）16xyx2y3xy；

22333211（2）x2yx2yxy

52551（3）an1b2anb224

3．计算：

（1）4xyxy6yxxy；

543232322anbn 52

（2）16abababab．

6532

4.若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 , 则 a = , m = ,= ;

易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误； 有关多项式的乘法计算出现错误； 误用同底数幂的除法法则；

用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错； 乘除混合运算顺序出错。

12．乘法公式：

4

①平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． ②完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2

文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．

例1： （1）(7+6x)(7−6x)； （2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)．

例2： (1) (x+6) (2) (y-5) (3) (-2x+5)

练习：

1、a2

2

2

54a=_______。x(xy233222223)2(x2y)3(xy)＝______________。 2、6a4b312a3b48a3b22a3b2（_____________________）

3、x____9y(x_____)；x2x35(x7)（______________）

221114、已知x5，那么x33=_______；x=_______。

xxx5、若9xmxy16y是一个完全平方式，那么m的值是__________。 6、多项式xx,x2x1,xx2的公因式是_____________________。

3222222x3__________________________。 7、因式分解：82712n____________________________。 49、计算：0.13180.00480.0028_____________________。

2210、xyxy(xy)A，则A=_____________________

8、因式分解：4m22mn

易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。

5

13．因式分解（难点） 因式分解的定义．

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

掌握其定义应注意以下几点：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．

二、熟练掌握因式分解的常用方法． 1、提公因式法

（1）掌握提公因式法的概念；

（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；

（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

3524323例：（1）8ab12abc （2）75xy35xy

2、公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式：

6

①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2

例：（1）a2b20.25c2 （2）9(ab)26(ba)1

（3）a4x24a2x2y4x2y2 （4）(xy)212(xy)z36z2

练习：

1、若x22(m3)x16是完全平方式，则m的值等于_____。 2、x2xm(xn)2则m=____n=____ 3、2x3y2与12x6y的公因式是＿

4、若xmyn=(xy2)(xy2)(x2y4)，则m=_______，n=_________。

5、在多项式m2n2,a2b2,x44y2,4s29t4中，可以用平方差公式分解因式的

有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若x22(m3)x16是完全平方式，则m=_______。 7、x2(_____)x2(x2)(x_____)

8、已知1xx2x2004x20050,则x2006________.

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9、若16(ab)2M25是完全平方式M=________。 10、x26x__(x3)2， x2___9(x3)2 11、若9x2ky2是完全平方式，则k=_______。

12、若x24x4的值为0，则3x212x5的值是________。 13、若x2ax15(x1)(x15)则a=_____。 14、若xy4,x2y26则xy___。 15、方程x24x0，的解是________。

易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误； 分解因式不彻底。

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