量子“囚徒困境”

第１９卷第４期　广西师范大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．１９　Ｎｏ．４　２００１年ｌ　２月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＧＵＡＮＧＸＩ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｄｅｃｅｍｂｅｒ　２００１　量子“囚徒困境’’　杜江峰，李卉，许晓栋，范杨梅，石名俊，叶邦角，翁惠民，周先意，韩荣典　（中国科学技术大学量子通信和量子计算实验室，近代物理系，安徽合肥２３００２７）　摘　要：Ｊ．Ｅｉｓｅｒｔ，Ｍ．Ｗｉｌｋｅｎｓ和Ｍ．Ｌｅｗｅｎｓｔｅｉｎ量子化了经典博弈论中的一个著名的倒子——囚徒困境　（Ｐｒｉｓｏｎｅｒｓ’Ｄｉｌｅｍｍａ）．在他们提出的物理模型中，如果两名博弈参与者采用纯量子策略，就能避免“困境”的　出现，并且在该量子模型中，两名参与者的收益值都高于经典模型中的收益值．　关键词：量子纠缠；量子对策；量子博弈；Ｎａｓｈ均衡　分类号：Ｏ４１　３　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１—６６００（２００１）０４—０００１—０６　博弈论是应用数学中具有重要意义和应用价值的分支，在经济学、社会科学以及进化生物学中有着　广泛的应用…．在Ｊｏｈｎ．Ｖｏｎ．Ｎｅｕｍａｎｎ发表了关于“二人零和”博弈的基本定理（１　９２８）和其著作｛Ｔｈｅｏ—　ｒｙ　ｏｆ　Ｇａｍｅｓ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃ　Ｂｅｈａｖｉｏｒ》　之后，博弈论得到了蓬勃的发展并已成为现代经济学的基础之　一．如今，博弈论已经被推广到量子领域　～　，其原因主要有如下几点：①由于经典博弈论的基础是概率　论，因此将“量子概率”引人博弈论具有基础意义；②在生物学中．博弈论被应用于分子水平上，而在分子　水平上的物理规律是量子的，因此有必要将博弈论推广到量子领域；③博弈论和信息论有着内在的联　系．事实上，博弈参与者是依据自己所拥有的信息做出决策的，并且决策的传递和博弈结果的仲裁在本　质上是信息传递的过程，而信息本身是量子的．因此博弈论的量子化不可避免．　量子博弈论的研究目前已取得了一些成果，Ｄ．Ａ．Ｍｅｙｅｒ研究了“ＰＱ问题”（ＰＱ　Ｇａｍｅ）　５ｌ——一个　和传统的翻硬币游戏类似的博弈过程——并发现博弈的一方可以通过采用量子策略战胜他的“经典”对　手．Ｊ．Ｅｉｓｅｒｔ，Ｍ．Ｗｉｌｋｅｎｓ和Ｍ．Ｌｅｗｅｎｓｔｅｉｎ量子化了“囚徒困境　（Ｐｒｉｓｏｎｅｒ’ｓ　Ｄｉｌｅｍｍａ）　］，通过量子化　找到了一个不同于经典博弈的均衡点并解决了经典模型中存在的　困境　．Ｌ．Ｍａｒｉｎａｔｔｏ和Ｔ．Ｗｅｂｅｒ研　究了　性别对抗博弈”（Ｂａｔｔｌｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｅｘｅｓ　Ｇａｍｅ／　并给出了这个博弈的量子化模型的唯一的均衡．ｓ．　Ｃ．Ｂｅｎｊａｍｉｎ和Ｐ．Ｍ．Ｈａｙｄｅｎ对多人量子博弈的研究　表明在这类博弈中可以存在“相干”的平衡策略．　１经典博弈论　任何博弈在数学上都可以表示成以下三个要素　］：　①参与人（Ｐｌａｙｅｒｓ），以ｉ＝１，２，…表示．　②策略（Ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ），每一个参与人一般有若干策略可供选择，它们构成了该参与人的纯策略空间　（Ｓｔｒａｔｅｇｉｃ　Ｓｐａｃｅ）．参与人ｉ的纯策略空间可以用Ｓ．表示，倘若Ｓ　由　个纯策略构成，则有Ｓ　一（　，０　，　…　）．纯策略空间有时也可以是连续的．　⑨每个参与人的收益（Ｐａｙｏｆｆ）函数．即参与人ｉ的收益函数为￥　（　），其中　＝（　…，　）是参与　收稿日期：２００ｌ—Ｏｇ—Ｏｌ　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１００７５０４１，１００７５０４４）；中国科太青年科学基金　作者简介：杜江峰（１９６９），男，江苏无锝人，中国科学技术大学副教授．　维普资讯 http://www.cqvip.com

广西师范大学学报（自然科学版）　第ｌ９卷　人的策略组合（Ｓｔｒａｔｅｇｙ　Ｐｒｏｆｉｌｅ），ｓ，表示参与人　所选的策略．显然，收益函数￥　０）与ｓ有密切关系．　策略空间、收益函数以及参与人的与博弈有关的特征等知识构成博弈的信息，从信息的角度，博弈　可以分为完全信息与不完全信息两类、完全信息是指每一个参与人对自己以及其他局中人的策略空间、　收益函数等知识有完全地了解，否则，博弈就是不完全信息的．博弈的分类还可以从参与人行动的先后　次序着手．如果参与人同时选择行动　则称博弈为静态的　要求　同时”不一定等于规定大家在同一时刻　一起行动、通常在时间上虽有行动的先后，但是参与人彼此不知道其他人在采取什么具体行动（直到博　奔结束），其效果仍等价于他们在同时行动，此时我们仍称它是静态博弈．倘若参与人的行动有先后顺　序，后行动者可以观察到前行动者的行动，并在这基础上采取自己最有利的策略，博弈就是动态的．上述　两种划分如果两两交叉，就可以得到完全信息静态博弈（ｓｔａｔｉｃ　ｇａｍｅｓ　ｏｆ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ）、完全信　息动态博弈（ｄｙｎａｍｉｃ　ｇａｍｅｓ　ｏｆ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ）、不完全信息静态博弈（ｓｔａｔｉｃ　ｇａｍｅｓ　ｏｆ　ｉｎｃｏｍ－　ｐｌｅｔｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ）、不完全信息动态博弈（ｄｙｎａｍｉｃ　ｇａｍｅｓ　ｏｆ　ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ）４种情况．　完全信息静态博弈属非合作博弈范畴．非合作博弈的基础是Ｎａｓｈ在１９５０年和１９５１年所发表的　两篇论文．这两篇论文在非常一般的意义上定义了非合作博弈及其均衡解，并证明了均衡解的存在性．　Ｎａｓｈ本人也因在这两篇文章中所做出的突出贡献获得了１９９４年的诺贝尔经济学奖．他所定义的均衡　称为Ｎａｓｈ均衡（Ｎａｓｈ　Ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ）．　Ｎａｓｈ均衡是什么意思呢？假设有　个人参与博弈，给定其他人的策略的条件下，每个人选择自己的　晟优策略ｔ所有参与人选择的策略构成一个策略组合．Ｎａｓｈ均衡指的是这样一种策略组合，这种策略组　合由所有参与人的晟优策略组成，也就是说，给定别人的策略的情况下，没有任何单个参与人有积极性　选择其他策略，从而没有人愿意打破这种均衡．　用数学语言对上述Ｎａｓｈ均衡的想法进行概括、我们有如下定义　一：　纯策略的Ｎａｓｈ均衡　完全信息静态博弈问题中　参与人以ｉ＝１，２　…，　表示　为参与人的个数，　设第ｉ个参与人的策略空间为ｓ　他的纯策略为　∈Ｓ　，收益函数为￥。（　），ｓ为所有参与人的纯策略组　合．ｓ－－（ｓ　，ｓ　．＇＇　）；如果对所有的参与人ｉ（　：１，２，…，　）均成立￥。（　，…，ｓ二　，５　，５　（５　．…　…５　ｓＡ　“，ｓ：），Ｖ　∈Ｓ。，那么，Ｓ称为该博弈的纯策略的Ｎａｓｈ均衡．　下面我们用Ｎａｓｈ均衡这个概念分析博弈论中的一个著名例子“囚徒困境”＋　．－，ｓ　）≥￥。　２经典“囚徒困境”　“囚徒困境　是经典博弈论中的一个极富代表性的著名例子．这个例子的创造本身就奠定了非合　作博弈论的理论基础，并且它可以作为实际生活中许多现象的一个抽象概括、　囚徒困境讲的是两个嫌疑犯（Ａｌｉｃｅ和Ｂｏｂ）作案后被抓住，被分别关在不同的屋子里审讯、他　们每个人都有两种选择（策略）：坦白（Ｄｅｆｅｃｔ，策略，））和抵赖（Ｃｏｏｐｅｒａｔｅ，策略ｃ）．告诉他们：如果　两人都坦白，各判刑４年（收益均为Ｐ一１）；如果两个都抵赖，因证据不足，各判刑２年（收益均为ｒ一３）、　如果其中～人坦白，另一人抵赖，坦白地放出去（收益为ｆ一５），抵赖的判刑５年（收益为　—Ｏ）、表格１给　出“囚徒困境”的策略式表述．表中每一个的两个数字代表对应策略组合下两个囚徒的收益．　表１“囚徒困境”的收益矩阵　两个人的目的都是尽可能的是自己的收益最大化．在这　个博弃中，坦白（Ｄ）是占优策略（ｄｏｍｉｎａｎｔ　ｓｔｒａｔｅｇｙ），也就　是说，不论对方的选择是什么，个人的最优选择是坦白．比如　说，如果Ｂｏｂ抵赖，Ａｌｉｃｅ坦白的话被放出来，抵赖的话被判　２年；如果Ｂｏｂ坦白，Ａｌｉｃｅ坦白的话被判４年，抵赖的话被　括号中的第一１、数是Ａｌｉｃｅ的收益值，第二个数　是Ｂｏｂ的收益值．　判５年．所以，Ａｌｉｃｅ的占优策略是坦白，Ｂｏｂ的占优策略也　是坦白．结果，理性的推理将迫使每个人选择坦白，而显然此　维普资讯 http://www.cqvip.com

第４期　杜江峰等：量子“囚徒困境”　时两人的收益要比他们都选择抵赖时差．用博弈论的术语讲，策略组合（坦白，坦白）是一个Ｎａｓｈ均衡：　任何单方面的偏离该策略组合都不能使得偏离者的收益提高；当一个参与人选择坦白时，另一个参与人　只有选择坦白才能使自己的收益最大化．这也正是囚徒的“困惑”之所在．　３量子“囚徒困境”　在Ｊ．Ｉ：￣ｉｓｅｒｔ，Ｍ．Ｗｉｌｋｅｎｓ和Ｍ．Ｌｅｗｅｎｓｔｅｉｎ最近的一篇文章中＋研究了“囚徒困境”的量子化的模　型　．“囚徒困境”的量子化物理模型如图ｌ所示．　Ｇ）　Ｇ）　圈１　“囚徒困境　的量子化物理模型　图２可分离博弈中Ａｌｉｃｅ的收益图　这个模型由以下三部分组成：①一个两比特产生源，每一个参与人拥有一个比特；②参与人的操作　装置．允许参与人操作属于他自己的那一个比特，这些操作实际上就是参与人的策略；③一套测量装置，　通过测量两个比特的最终状态已决定每一位参与人的收益值．每一个参与人都十分清楚这三部分（比特　源、每个人的操作装置、最终的测量装置）．因此这个模型所构成的博奔属于完全信息静态博弈．　量子化的过程如下：将经典策略Ｄ（坦白，Ｄｅ［ｃｏｔ）和ｃ（抵赖，Ｃｏｏｐｅｒａｔｅ）的可能结果对应为一个两　态系统（即一个量子比特）的Ｈｉｌｂｅｒｔ空间的基矢，分别用ＩＤ）和Ｉｃ）表示．在任何一个时刻，博弈的状态　可以用这两个量子比特（分别属于两个参与人）的直积空间中的态表示．这个直积空间的基矢显然是　ＩＣＣ）＋ＣＤ），ＤＣ）和ｌＤＤ），其中第一项代表Ａｌｉｃｅ的量子比特，第二项代表Ｂｏｂ的量子比特．　博弈的初态用ｌ　一　ｌＣＣ）表示。　是两个人都知道的酉算符．Ａｌｉｃｅ和Ｂｏｂ策略行为分别用酉算　符０　和『１Ｔ　（属于策略空间Ｓ）表示．由于参与人的策略行为相互，ｃ０和　应分别作用在他们各自　的量子比特上．因此策略空间ｓ可以等同于２×２酉群的某个子集．在Ａｌｉｃｅ和Ｂｏｂ实施了策略行动之　后，博弈的状态变为（　＠７　ｊ　ｌＣＣ）．然后Ａｌｉｃｅ和Ｂｏｂ将这个态交给测量装置已决定他们各自的收　益．测量装置有两部分组成：一个可逆的两位量子门。以及紧跟其后的一对ＳｔｅｒｎＧｅｒｌａｅｈ型探测器．每　个探测器有两个通道，分别记为　＝Ｃ和口一Ｄ．记在到达探测器之前博奔的状态为ｌ，　＞一ｌ　，　（驴　．０　”，则有　ｒ）一　一（　⑧　）　ＣＣ）　（１）　对Ｐｒ）的探测会导致某一个结果。比如说一　－－ＣＤ，并根据表格ｌ中的收益矩阵给出相应的收益．由于　量子力学在本质上是概率性理论，因此参与人的收益也应该是“期望　收益．例如，Ａｌｉｃｅ的期望收益应由　式（２）给出　￥』一ｒＰｃｃ４－ｐＰＤＤ４－ｔＰｒ￣＇４－ｓＰｅＤ．　（２）　（２）式中Ｐ　一Ｉ（　Ｉ奶）　是测量结果为　的联合概率．Ｂｏｂ的期望收益可以通过将（２）式后两项中　维普资讯 http://www.cqvip.com

４　广西师范大学学报（自然科学版）　第１９卷　的ｔ和　互换得到（表格１中给出了ｒ，ｐ，　，　的具体数值）．显然Ａｌｉｃｅ的期望收益￥　不仅依赖于她自己　的策略驴　而且和Ｂｏｂ的策略驴　有关；同样，Ｂｏｂ的期望收益￥　不仅依赖于他自己的策略口　，而且　和Ａｌｉｃｅ的策略驴　有关．　在Ｅｉｓｅｒｔ等人的文章中．他们将策略空间为２×２酉阵的一两参数集台．　。　昙　驴（　，　）　一ｓｉｎ　其中Ｏ≤　≤　，０≤《　ｌ，２．特别的．策略Ｃ（Ｃｏｏｐｅｒａｔｅ）可以表示为　ｅ　驴（０，０）－－　．　㈨　策略Ｄ（Ｄｅｆｅｃｔ）可以表示为　西一驴ｃ　，。　一　．　ｃｓ　为了保证这个博弈的经典形式能够被包含于这个量子模型中，我们需要附加条件　［　，西　Ｄ］一０；［　，Ｄ　ｅ］＝０｛［　．ｅ⑧Ｄ］一０　（６）　由这些条件可以得出对于任何从子集Ｓ。一｛　（　，Ｏｊ　∈［０，　］）取出的一组策略，联合概率Ｐ　总可以分　解成Ｐ　＝　声　的形式，其中声∽－－ＣＯＳ　（　／２），声　一１一声　．很明显，声　可以解释为单个参与人选　择Ｃ策略（Ｃｏｏｐｅｒａｔｅ）的概率，那么（６）式便保证了这个量子化模型包含了最一般情况下的经典囚徒困　境．即参与人采用混台策略时的经典囚徒困境．显然量子策略集Ｓ要比Ｓ。大得多，并且正是其中的量子　部分Ｓ　。提供了策略的附加自由度．根据经典对应原理（见（６）式），这个量子化方案可以应用于任何两　个参与人、两种选择的对称博弈中，而且是“正则”扩展．　（６）式的解可以写作　＝ｅｘｐ｛ｉｒＤ圆Ｄ／２），　（７）　其中　∈［０，　／２］是实参数．事实上，　是博弈的纠缠的度量．对于可分离的博弈有７－－０，这时对于任何　一组策略Ｅ，　和　，联合概率Ｐ　总是可以分解的．图２中给出了ｙ一０时Ａｌｉｃｅ的期望收益．　在该图以及图３中选择了一个特殊的参数化　表述，使得策略驴　和ｕ一只依赖于一个参数ｚ∈　［一１，１］．当ｚ∈［０，１］时，　一驴（杯，０）；当ｔ∈　［１，０）时，ｕ　＝口（。．－－ｔｕ／２）（对Ｂｏｂ也一样）．策　、　略Ｄ对应于　一１，策略ｃ对应于　一０，而策略Ｑ对　’、　应于　一１－　口　可以看出．不论Ｂｏｂ选择什么策略（　），Ａｌｉｃｅ　只有当选择策略Ｄ时才能使自己的收益最大化．　由于博弈是对称的，Ｂｏｂ也只有当选择策略Ｄ时　才能使自己的收益最大化．因此，西＠Ｄ是占优策　略，可分离的量子博弈不能体现出优于经典博弈的　特性．　圈３最大纠缠博弈中Ａｌｉｃｅ的收益圈　当博弈是最大纠缠的，即ｙ＝　／２时，情况发生　了根本性的变化．这时任何一组策略都不存在经典对应，不过当两个参与人都选择　一０，博奔仍然表现　为经典的．例如，在５。圆Ｓ。上（即　＝伽一０时）只　—ＩＣＯＳ（　＋￣Ｂ）ｃｏｓ（　／２）ｃｏｓ（　／２）Ｉ。是可以分解　的，并不体现出非定域的关联．图３为Ａｌｉｃｅ的收益与策略驴　，　的关系图．这里采用和图２中一样的　维普资讯 http://www.cqvip.com

第４期　杜江峰等：量子。囚徒困境”　５　参数化表述．　设Ｂｏｂ的策略为Ｄ，则Ａｌｉｃｅ的最佳对策为　盆；ｍ　ｚ　＝（　㈣　而当Ｂｏｂ选择ｅ时，Ａｌｉｃｅ的最佳对策是Ｄ，所以Ａｌｉｃｅ没有占优策略　由于博弈是对称的，这样的分析　对Ｂｏｂ也成立．因此，Ｄ＠Ｄ不再是占优策略意义下的均衡　事实上，西＠西甚至不再是Ｎａｓｈ均衡，因为每个参与人都可以通过单方面改变自己的策略提高收　益．这时博弈出现了新的Ｎａｓｈ均衡龟＠盆．事实上，对任何　∈［Ｏ，　］和　∈［０，　／２］，有￥　Ｕ（８，　，Ｑ）　一ｃｏｓ　ｚ（０／２）（３ｓｉｎｚ　ＣＯＳ　ｚ　≤３，类似的有￥　（盆，０　Ｊ≤￥　（固，盆），Ｖ　∈Ｓ；因此任何参与人都不能　通过单方面偏离龟＠自提高收益．容易证明，砬＠Ｑ是唯一的均衡，也就是说，理智的分析使得两个参与　人都选择砬作为自己的最优策略．在这个新的Ｎａｓｈ均衡上，博弈的最终状态是｝ＣＣ＞，参与人的收益是　￥　（砬，盆）一Ｓ　（盆，砬）一３．很明显，Ａｌｉｃｅ和Ｂｏｂ可以通过选取量子策略（驴　一　一Ｑ）使得博奔的结果　对双方都更加有利；这时，博弈的结果为（抵赖，抵赖），而Ａｌｉｃｅ和Ｂｏｂ的收益均为３，这显然是在保证博　弈公平性的前提下Ａｌｉｃｅ和Ｂｏｂ所能获得的最大收益值，经典博弈中“困境”将不再存在．并且这个结果　是“稳定的”（Ｎａｓｈ均衡）：任何人单方面偏离这个结果都将使得自己的收益减少，因此没有人愿意（有积　极性）选取其他的策略．　４结论　在Ｅｉｓｅｒｔ等人的文章“　中，他们给出了将经典博弈推广到量子博弈时的正则条件，这个条件保证了　经典博弈能够被包含在量子模型中，从而使得经典和量子博弈有可比性．而且他们发现当把经典“囚徒　困境”扩展为量子博弈时，经典博弈中的“困境”将不复存在．这一点和量子密码通讯和量子计算中的情　形非常相似：引入纠缠后的量子博弈中，量子策略要比经典策略更具有优越性．　在我们最近的工作中，我们研究了量子“囚徒困境”的性质与其纠缠度之间的关系，Ｅｉｓｅｒｔ等人的结　果实际上是包含在我们的结果当中的；这个工作已经即将在ＰＬＡ上发表．另外，我们利用核磁共振技术　实验实现了这个博奔的全过程，到目前为止，这是首次在实验上实现量子博奔（已投稿至Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｌｅｔｔ）　我们发现：当博弈的纠缠度发生变化时，博弈的性质也会随之发生变化，并且这种变化在某些点　上是不连续的；具体地说，博奔的纠缠度（用ｙ表示）在区间ｒｏ，　／２］上有两个阈值　，　。（　＜　）．当　ｏ４ｙ＜　时，博弈将表现为完全“经典”的：唯一的Ｎａｓｈ均衡以及博奔最终的结果和经典情形完全一　样｝当　＜ｙ≤　／２时，博弈是完全“量子”的：唯一的Ｎａｓｈ均衡以及博弈最终的结果都和博弈处于最大　纠缠态时的情形完全～样；而当　≤ｙ≤　时，博奔出现了两个Ｎａｓｈ均衡，然而令人惊讶的是，尽管博　弈的物理模型对于两个博奔者的交换是对称的，但是博奔在这两个Ｎａｓｈ均衡上却是不对称的：两个博　弈者的均衡策略不相同并且最终的收益也不一样．事实上，这时的博弈虽然仍然可以看作是量子的，但　却表现为不同于经典博奔中的“困境”的、但却类似的另一种“困境”　参考文献　：１］Ｎｏｗａｋ　Ｍ　Ａ，Ｓｉｇｍｕｎｄ　Ｋ．Ｎａｔｕｒｅ［Ｊ］．１９９９，３９８：３６７．　［０］Ｎｅｕｍａｎｎ　Ｊ　ｖｏｎ，Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｒｎ０．Ｔｈｅｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｇａｍｅｓ　ａｎｄ　ｅｃｏｎｏｍｉｃ　ｂｅｈａｖｉｏｒ［Ｍ］．Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ：ＰｒｉｎｃｅｔｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｔｅｓｓ．１　９４７．　［　Ｂａｌｌ　Ｐ　Ｅｖｅｒｙｏｎｅ　ｗｉｎｓ　ｉｎ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｇａｍｅｓ　ＥＪ］．ＮａｔｕｒｅｔＳｃｉｅｎｃｅ　Ｕｐｄａｔｅ，１９９９，１８．　［４］Ｐｅｔｅｒｓｏｎ　Ｉ、Ｑｕａｎｔｕｒａ　ｇａｍｅｓＬＪ］、Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｎｅｗｓ　１９９９，１５６：３３４．　维普资讯 http://www.cqvip.com

广西师范大学学报（自然科学版）　第１　９卷　二５］Ｍｅｙｅｒ　Ｄ　Ａ．Ｑｕａｎｔｕｍ　ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ口］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｌｅｔｔ，ｌ９９９，８２：１　０５２．　［６］Ｅｉｓｅｒｔ　Ｊ，Ｗｉｌｋｅｎｓ　Ｍ．Ｌｅｗｅｎｓｔｅｉｎ　Ｍ．Ｑｕａｎｔｕｍ　ｇａｍｅｓ　ａｎｄ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｌｅｔｔ，１９９９，８３：３　０７７．　［７］Ｍａｒｉｎａｔｔｏ　Ｉ　．Ｗｅｂｅｒ　Ｔ．Ａ　ｑｕａｎｔｕｍ　ａｐｔｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｓｔａｔｉｃ　ｇａｍｅｓ　ｏｆ　ｃｏｍｐｌｅｔｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｌｅｔｔ　Ａ，２０００．２７２　２９Ｉ．　［８］Ｂｅｎｊａｍｉｎ　Ｓ　ｃ，Ｈａｙｄｅｎ　Ｐ　Ｍ．Ｍｕｌｔｉ　ｐｌａｙｅｒ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｇａｍｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ａ，２００１，６４：３０　３０１．　ＴＨＥ　ＱＵＡＮＴＵＭ　ＰＲＩＳ０ＮＥＲＳ’ＤＩＬＥＭＭＡ　ＤＵ　Ｊｉａｎｇ—ｆｅｎｇ，ＬＩ　Ｈｕｉ，ＸＵ　Ｘｉａｏ—ｄｏｎｇ，ＦＡＮ　Ｙａｎｇ—ｍｅｉ，ＳＨＩ　Ｍｉｎｇ－ｊｕｎ　ＹＥ　Ｂａｎｇ—ｊｉａｏ，ＷＥＮＧ　Ｈｕｉ－ｒａｉｎ，ＺＨＯＵ　Ｘｉａｎ－ｙｉ，ＨＡＮ　Ｒｏｎｇ—ｄｉａｎ　（Ｉ　ａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｏｆ　Ｑｕａｎｔｕｒｒｌ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｑｕａｎｔｕｍ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍｏｄｅｒｎ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，２３００２７一　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　０ｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　０ｆ　Ｃｈｉｎａ　Ｈｅｆｏｉ　２３００２６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｊ．Ｅｉｓｅｒｔ，Ｍ．Ｗｉｌｋｅｎｓ＆Ｍ．Ｌｅｗｅｎｓｔｅｉｎ　ｑｕａｎｔｉｚｅｄｔｈｅ　Ｐｒｉｓｏｎｅｒｓ’Ｄｉｌｅｍｍａ，ｗｈｉｃｈｉｓ　ａｆａｍｏｕｓ　ｉｎｓｔａｎｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｇａｍｅ　ｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅｙ　ｆｏｕｎｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｉｓ　ｇａｒｒｍ　ｃｅａｓｅｓ　ｔｏ　ｐｏｓｅ　ａ　ｄｉｌｅｍｍａ　ｉｆ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｐｌａｙｅｒｓ　ａｄａｐｔ　ｑｕａｎｔｕｍ　ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ．Ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐａｙｏｆｆｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｐｌａｙｅｒｓ　ａｒｅ　ｂｅｔｔｅｒ　ｔｈａｎ　ｔｈａｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｇａｍｅ・　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｑｕａｎｔｕｍ　ｅｌｌｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ；ｑｕａｎｔｕｍ　ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ；ｑｕａｎｔｕｍ　ｇａｍｅｓ；Ｎａｓｈ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　（责任编辑李小玲）　广西师范大学学报（自然科学版）入选“中国期刊方阵”　根据科技鄣“若干公布科技期刊方阵名单的通知”（国科发财字［２ＯＯ１］３４０号），广西壮旗自治区科　学技术厅转印发了“羌干《广西水利水电》等９种科技期刊入选科技期刊方阵的通知”（桂科成字［２００１］　ｊＳ号），我刊榜上有名．　“中国期刊方阵”的建设是现阶段我国期刊出版事业发展的需要，是推进新世纪我国期刊发展的战　略性举措，它将促进我国期刊“精品战略”的实施．“中国期刊方阵”实行动态管理，定期调整，优胜劣汰的　制度．科技期刊方阵的建立，目的是促进我国科技期刊的发展，促使我们不断优化提高科技期刊的水平，　早日与国际期刊接轨．入选中国科技期刊方阵是对我刊多年来始终坚持上档次、高品位的办刊方针和强　化创造文化精品的躺辑意识，发扬严谨周密的编辑作风，严格执行有关国家标准和编排规范等办刊方向　的肯定；同时也肯定了我刊已迈入中国先进期刊的行列．这一成绩的取得，是在我校、行政的直接领　导下的成果并与匮新闻出版管理部门的正确指导密不可分．　（撰稿马殷华）