数学第一次月考卷
一、选择题
1．﹣8的倒数是（ ）
A．8 B．﹣8 C． D．
【分析】根据倒数的定义作答．
【解答】解：﹣8的倒数是﹣． 故选：D．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱柱
C．长方体
D．四棱锥
【分析】根据常见几何体的三视图逐一判断即可得．
【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是圆，不符合题意； B、三棱柱的主视图和左视图是矩形，但俯视图是三角形，不符合题意； C、长方体的主视图、左视图及俯视图都是矩形，符合题意；
D、四棱锥的主视图、左视图都是三角形，而俯视图是四边形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图． 3．2018年俄罗斯世界杯开幕式于6月14日在莫斯科卢日尼基球场举行，该球场可容纳81000名观众，其中数据81000用科学记数法表示为（ ） A．81×103
B．8.1×104 C．8.1×105 D．0.81×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：81000用科学记数法表示为8.1×104， 故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论． 【解答】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC=45°， ∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°， 故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
5．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ） A．3
B．1
C．﹣1 D．﹣3
【分析】据根与系数的关系α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．
【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根， ∴α+β=﹣1，αβ=﹣2， ∴α+β﹣αβ=﹣1﹣2=﹣3， 故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式是关键．
6．已知m=+，则以下对m的估算正确的（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
【分析】直接化简二次根式，得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵m=+=2+，
1＜＜2，
∴3＜m＜4， 故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
7．从﹣2，﹣1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：列表如下： 积 ﹣﹣2 2 1 ﹣ 2 ﹣2
4
﹣2 ﹣1
2
2 ﹣﹣ 4 2
由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，
所以积为正数的概率为=， 故选：C．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
8．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵BC是⊙O的切线， ∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°﹣∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°， 故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（ ）
A．16
B．18
C．20
D．24
【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．
【解答】解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AB=3AE， ∴AE：AB=1：3， ∴S△AEF：S△ABC=1：9， 设S△AEF=x， ∵S四边形BCFE=16，
∴=，
解得：x=2， ∴S△ABC=18， 故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
10．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（ ）
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b=a+1或b=﹣（a+1），当b=a+1时，﹣1是方程x2+bx+a=0的根；当b=﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a=0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有两个相等的实数根，
∴
∴b=a+1或b=﹣（a+1）．
，
当b=a+1时，有a﹣b+1=0，此时﹣1是方程x2+bx+a=0的根； 当b=﹣（a+1）时，有a+b+1=0，此时1是方程x2+bx+a=0的根． ∵a+1≠0， ∴a+1≠﹣（a+1），
∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根． 故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
二、填空题
11．计算：（）0﹣1= 0 ．
【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）进行计算即可．
【解答】解：原式=1﹣1=0， 故答案为：0．
【点评】此题主要考查了零指数幂，关键是掌握a0=1（a≠0）．
12．已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是 4 ． 【分析】先根据众数的定义求出x=5，再根据中位数的定义求解可得． 【解答】解：∵数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5， ∴x=5，
则数据为1、3、3、5、5、6，
∴这组数据为故答案为：4．
=4，
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
13．不等式组的解集为 x＞2 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x＞2， ∴不等式组的解集为x＞2， 故答案为：x＞2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
14．如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B'C′与CD交于点M，若∠B′MD=50°，则∠BEF的度数为 70° ．
【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据∠EFC=∠EFC'，即可得到180°﹣α=40°+α，进而得出∠BEF的度数． 【解答】解：∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°， ∴∠C'FM=40°，
设∠BEF=α，则∠EFC=180°﹣α，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α， 由折叠可得，∠EFC=∠EFC'， ∴180°﹣α=40°+α， ∴α=70°， ∴∠BEF=70°， 故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及折叠问题，解题时注意：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
三、简答题
15．解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
②﹣①得：3x=9， 解得：x=3，
把x=3代入①得：y=﹣2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；
（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求：
（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B=，
即，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
17．甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：
甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元； 乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过40，每件提成4元；若当日搅件数超过
40，超过部分每件多提成2元．
如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司搅件员人均揽件数的条形统计图：
（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率；
（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的 揽件数，解决以下问题：
①估计甲公司各揽件员的日平均件数；
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，井说明理由． 【分析】（1）根据概率公式计算可得；
（2）分别根据平均数的定义及其意答可得．
【解答】解：（1）因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的有4天，
所以甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率为
=；
（2）①甲公司各揽件员的日平均件数为
②甲公司揽件员的日平均工资为70+39×2=148元，
=39件；
乙公司揽件员的日平均工资为
=[40+=159.4元， 因为159.4＞148，
]×4+×6
所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比及平均数的定义及其意义．
18．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD． （1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB=10，cos∠BAC=，求BD的长及⊙O的半径．
【分析】（1）如图1，作直径BE，半径OC，证明四边形ABDC是平行四边形，得∠A=∠D，由等腰三角形的性质得：∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，可得∠EBD=90°，所以BD是⊙O的切线；
（2）如图2，根据三角函数设EC=3x，EB=5x，则BC=4x根据AB=BC=10=4x，得x的值，求得⊙O的半径为得结论．
【解答】（1）证明：如图1，作直径BE，交⊙O于E，连接EC、OC， 则∠BCE=90°， ∴∠OCE+∠OCB=90°， ∵AB∥CD，AB=CD，
，作高线CG，根据等腰三角形三线合一得BG=DG，根据三角函数可
∴四边形ABDC是平行四边形， ∴∠A=∠D， ∵OE=OC， ∴∠E=∠OCE， ∵BC=CD， ∴∠CBD=∠D， ∵∠A=∠E，
∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OBC+∠CBD=90°， 即∠EBD=90°， ∴BD是⊙O的切线；
（2）如图2，∵cos∠BAC=cos∠E=设EC=3x，EB=5x，则BC=4x， ∵AB=BC=10=4x，
，
x=，
∴EB=5x=，
∴⊙O的半径为，
过C作CG⊥BD于G，
∵BC=CD=10， ∴BG=DG，
Rt△CGD中，cos∠D=cos∠BAC=，
∴，
∴DG=6， ∴BD=12．
【点评】本题考查了圆周角定理、三角函数以及切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，在圆的有关计算中，常根据三角函数的比设未知数，列方程解决问题． 19．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径
的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°． ①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
【分析】（1）由抛物线经过点A可求出c=2，再代入（﹣（a≠0）；
，0）即可找出2a﹣b+2=0
（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下，进而可得出b=0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，此题得解；
②由①的结论可得出点M的坐标为（x1，﹣+2）、点N的坐标为（x2，﹣+2），由
O、M、N三点共线可得出x2=﹣，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标
利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）， ∴c=2．
又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，
∴a（﹣）2+b（﹣）+c=0，
∴2a﹣b+2=0（a≠0）．
（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0， ∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大；
同理：当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下， ∴b=0．
∵OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B、C， ∴△ABC为等腰三角形， 又∵△ABC有一个内角为60°， ∴△ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD=CD，且∠OCD=30°， 又∵OB=OC=OA=2，
∴CD=OC•cos30°=，OD=OC•sin30°=1．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．
∵点C在抛物线上，且c=2，b=0， ∴3a+2=﹣1， ∴a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2．
②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣直线OM的解析式为y=k1x（k1≠0）． ∵O、M、N三点共线，
∴x1≠0，x2≠0，且=，
+2）．
∴﹣x1+=﹣x2+，
∴x1﹣x2=﹣，
∴x1x2=﹣2，即x2=﹣，
∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣∵点P是点O关于点A的对称点， ∴OP=2OA=4，
∴点P的坐标为（0，4）． 设直线PM的解析式为y=k2x+4，
∵点M的坐标为（x，﹣+2），
∴﹣+2=k2x1+4，
∴k2=﹣，
∴直线PM的解析式为y=﹣+4．
∵﹣•+4==﹣+2，
∴点N′在直线PM上，
+2）．
∴PA平分∠MPN．
【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a、b满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点N′在直线PM上．
