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最新八年级上数学培优试题及答案解析

11.1 与三角形有关的 段

一

三角形个数的确定

）

1．如 ， 中三角形的个数 （

A．2 B ．18 C ．19 D ．20

9 个三角形，依此

2．如 所示，第

1 个 中有 1 个三角形，第 2 个 有 5 个三角形，第 3 个 有

推， 第 6 个 有三角形 __________个．

3． 材料，并填表：

在△ ABC中，有一点 P1，当 P1、A、B、C没有任何三点在同一直 上 ， 可构成三个不重叠 的小三角形（如 ）．当△ABC内

的点的个数增加 ，若其他条件不 ，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎 ？

完成下表：

△ABC内点的个数 3⋯ 1007 1 2

3 5 构成不重叠的小三角形的个数 ⋯

二 根据三角形的三 不等关系确定未知字母的范

4．三角形的三 分 3，1－2 ， 8， 的取 范 是（ ）

a

a

A ．－ 6＜a＜－ 3 B ．－ 5＜ a＜－ 2 C ． 2＜ a＜ 5 D ． a＜－ 5 或 a＞－ 2 5. 在△ ABC中，三 分 正整数 a、 b、 c，且 c≥ b≥a＞ 0，如果 b=4， 的三角形共有 6．若三角形的三 分 是2、 x、 8，且 x 是不等式

x

______个．

2 ＞ 1 2x 的正整数解， 求第三 2 3

x 的 ．

状元笔

【知 要点】

1．三角形的三 关系

三角形两 的和大于第三 ，两 的差小于第三 ． 2．三角形三条重要 段

(1) 高：从三角形的 点向 所在的直 作垂 ， 点与垂足之 的 段叫做三角形的 (2) 中 ： 接三角形的 点与 中点的 段叫做三角形的中 ．

高．

(3) 角平分 ：三角形内角的平分 与 相交， 点与交点之 的 段叫做三角形的角平分 ．3．三角形的 定 性

三角形具有 定性．【温馨提示】

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1．以“是否有 相等” ，可以将三角形分 两 ：三 都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分 三 ：

三 都不相等的三角形、等腰三角形、等 三角形，等 三角形是等腰三角形的一种． 2．三角形的高、中 、角平分 都是 段，而不是直 或射 ． 【方法技巧】

1．根据三角形的三 关系判定三条 段能否 成三角形 ，要看两条 短 之和是否大于最 ． 2．三角形的中 将三角形分成两个同底等高的三角形， 两个三角形面 相等．

参 :

1． D 解析： 段

与点 上也有

C 成 5×（ 5－ 1）÷ 2=10 个三角形；同 ， 段

5 个点， 段 DE与点 C 成 5×（ 5－ 1）÷ 2=10 个三角形， 中三角形的个数 20 个．故 D． 2． 21 解析：根据前 的具体数据，再 合 形，不 ：后 的 比前 多 4，若把第一个 形中三角

1=4－ 3， 第 n 个 形中，三角形的个数是 4n－ 3．所以当 n=6 ，原式 =21． 形的个数看作是

3．解：填表如下： △ABC内点的个数 1 2 3 ⋯ 1007

AB

上有 5 个点， 段

AB

DE

构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 ⋯ 2015

解析：当△ ABC内有 1 个点 ，构成不重叠的三角形的个数是 3=1×2＋ 1；当△ ABC内有 2 个点 ，构成不重

三角形内有 n 叠的三角形的个数是 5=2×2＋ 1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之 的关系是：

2n+1，故当有 3 个点 ，三 角形的个数是 3×2＋ 1=7；当有 个点 ，三角形内互不重叠的小三角形的个数是

1007 个点 ，三角形的个数是 1007×2＋ 1=2015．

4． B 解析：根据 意，得 8－ 3＜ 1－2 ＜ 8＋3，即 5＜1－ 2 ＜ 11，解得－ 5＜ ＜－ 2．故 B．

a

a a

a、 b、c，且 c≥ b≥ a＞0，∴ c＜ a+b．∵ b=4， 5． 10 解析：∵在△ ABC中，三 分 正整数

∴ a=1，2， 3， 4． a=1 ， c=4； a=2 ， c=4 或 5； a=3 ， c=4， 5，6； a=4 ， c=4，5，6， 7．∴ 的三

角形共有 1+2+3+4=10 个．

6．解：原不等式可化 3（x+2）＞－ 2（ 1－ 2x）， 解得 x＜8．

∵ x 是它的正整数解， ∴ x 可取 1，2， 3， 5，6， 7． 再根据三角形三 关系，得6＜ x＜ 10，

∴ x=7．

11.2 与三角形有关的角

一

利用三角形的内角和求角度

D 点，∠ A=50°， ∠ D=（

）

1．如 ，在△ ABC 中，∠ ABC的平分 与∠ ACB 的外角平分 相交于

A．15° B ．20° C ．25° D ．30°

2．如 ，已知：在直角△ ABC 中，∠ C=90°， BD平分∠ ABC且交 AC于 D. 若 AP平分∠ BAC 且交 BD于 P，求∠BPA

的度数．

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3．已知：如图 1，线段 AB、 CD相交于点 O，连接 AD、 CB，如图 2，在图 1 的条件下，∠ DAB 和∠ BCD的平分线 AP 和 CP相交于点 P，并且与 CD、 AB分别相交于 M、 N．试解答下列问题：

1）在图 1 中，请直接写出∠ A、∠ B、∠ C、∠D 之间的数量关系： __________ ； （ （ 2）在图 2 中，若∠ D=40°，∠ B=30°，试求∠P 的度数；（写出解答过程）

（3）如果图 2 中∠D和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠ D、∠B 之间的数量关系． （直接写出结论即可）

专题二 利用三角形外角的性质解决问题

4．如图，∠ ABD，∠ ACD 的角平分线交于点 P，若∠ A=50°，∠ D=10°，则∠P 的度数为（

）

A．15° B．20° C ．25° D ．30°

5．如图，△ ABC 中， CD是∠ ACB的角平分线， CE是 AB边上的高，若∠ A=40°，∠ B=72°．

1）求∠ DCE的度数； （ （ 2）试写出∠ DCE 与∠ A、∠B 的之间的关系式． （不必证明）

6．如图：

1）求证：∠ BDC=∠A+∠B+∠C； （

（ 2）如果点 D与点 A 分别在线段 BC的两侧，猜想∠ BDC、∠ A、∠ ABD、∠ ACD这 4 个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．

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状元笔记

【知识要点】

1．三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于 180°． 2．直角三角形的性质及判定

性质：直角三角形的两个锐角互余．

判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 3．三角形的外角及性质

外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外 性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

角．

【温馨提示】

1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角． 2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．

【方法技巧】

1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余” 2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．

．

参 :

1．C 解析：∵∠ ABC的平分线与∠A CB的外角平分线相交于点 D，∴∠ 1= ∠ACE，∠2= ∠ABC．又∵∠ D=∠1 －∠ 2， ∠A=∠ACE－∠ ABC，∴∠ D=

11

1

∠A=25°．故选

C．

2 2

2

2．解：（法 1） 因为∠ C=90°，所以∠ BAC＋∠ ABC=90°，所以 ( ∠BAC＋∠ ABC)=45°.

1

2

因为 BD平分∠ ABC， AP 平分∠ BAC ， ∠ BAP= ∠BAC，∠ ABP= ∠ABC ，

1

2

1

2

即∠ BAP＋∠ ABP=45°，

所以∠ APB=180°－ 45°=135°.

（法 2）因为∠ C=90°，所以∠ BAC＋∠ ABC=90°， 所以 ( ∠BAC＋∠ ABC)=45°，

1

2

因为 BD平分∠ ABC， AP 平分∠ BAC，

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∠DBC= ∠ABC，∠ PAC=

1 1 2

∠BAC ，所以∠ DBC＋∠ PAD=45°.

所以∠ APB=∠PDA＋∠ PAD =∠DBC＋∠ C＋∠ PAD=∠DBC＋∠ PAD＋∠ C =45°＋ 90°=135°. 3．解：（ 1）∠ A+∠D=∠B+∠C；

（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P， ∠2+∠P=∠4+∠B， ∴∠ 1－∠ 3=∠P－∠ D， ∠2－∠ 4=∠B－∠ P， 又∵ AP、CP分别平分∠ DAB 和∠ BCD，∴∠ 1=∠2，∠ 3=∠4，

∴∠ P－∠ D=∠B－∠ P，即 2∠P=∠B+∠D，∴∠ P=（40°+30°）÷ 2=35°． （ 3）2∠P=∠B+∠D． 4．B 解析：延长 DC，与 AB 交于点 E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得 ∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ ACD－∠ ABD=60°．设 AC与 BP相交于点O，

则∠ AOB=∠POC，

2

∴∠ P+ ∠ACD=∠A+ ∠ABD，即∠ P=50°－

11

1

（∠ACD－∠ABD）=20°．故选

B．

2 2 2

5．解：（ 1）∵∠ A=40°，∠ B=72°，∴∠ ACB=68°．∵ CD

平分∠ ACB，∴∠ DCB= ∠ACB=34°．

1

2

∵CE是 AB边上的高，∴∠ ECB=90°－∠ B=90°－ 72°=18°．∴∠ DCE=34°－ 18°=16°． （2）∠ DCE= （∠ B－∠ A）．

1

2

6．（ 1）证明：延长 BD交 AC于点 E，∵∠ BEC 是△ ABE的外角，∴∠ BEC=∠A+∠B． ∵∠ BDC是△ CED的外角，∴∠ BDC=∠C+∠DEC =∠C+∠A+∠B．

（ 2）猜想：∠ BDC+∠ ACD+∠A+∠ ABD=360°．证明：∠ BDC+∠ ACD+∠A+∠ ABD =∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠ 3+∠2+∠1） +（∠ 6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．

11.3 多边形及其内角和

专题一 根据正多边形的内角或外角求值 1．若一个正多边形的每个内角为 150°，则这个正多边形的边数是（ ） A．12 B ．11 C ．10 D ．9 2．一个多边形的每一个外角都等于 36°，则该多边形的内角和等于 ________°． 3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的 9 倍，求这个多边形的边数．

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专题二 求多个角的和

4．如图为某公司的产 品标志图案，图中∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（

）

A．360° B ．540° C ．630° D ．720°

5．如图，∠ A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F= _________°．

6．如图，求：∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．

状元笔记

【知识要点】

1．多边形及相关概念

多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 2．多边形的内角和与外角和

内角和： n 边形的内角和等于 (n － 2) · 180°． 外角和：多边形的外角和等于 360°． 【温馨提示】

1．从 n 边形的一个顶点出发 ，可以做 (n － 3) 条对角线， 它们将 n 边形分为 (n － 2) 个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．

2．多边形的外角和等于 360°，而不是 180°． 【方法技巧】

1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．

2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于 360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边 数等．

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参 :

1． A 解析：∵每个内角为 150°，∴每个外角等于 30°．∵多边形的外角和是 360°，360°÷ 30°=12，∴这个正多边形的边数为 12．故选 A．

2． 1440 解析：∵多边形的边数为 360°÷ 36° =10，多边形的内角为 180°－ 36° =144°，∴多边形的内角和等于 144°× 10=1440°．

3．解：设多边形的边数为 n，根据题意，得 (n － 2) ·180° =9× 360°，解得 n=20．所以这个多边形的边数为 20．

4． B 解析：∵∠ 1=∠C+∠D，∠ 2=∠E+∠F，

∴∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选 B．

5．360° 解析：在四边形 BEFG中， ∵∠ EBG=∠C+∠D， ∠ BGF=∠A+∠ABC，

∴∠ A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．

6．解：∵∠ POA 是△ OEF的外角，∴∠ POA=∠E+∠F． 同理：∠ BPO=∠ D+∠C．

∵∠ A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，

∴∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

第十二章

全等三角形

12.1 全等三角形 12.2 三角形全等的判定

专题一 三角形全等的判定

1．如图， BD是平行四边形 ABCD的对角线， ∠ABD的平分线 BE交 AD于点 E，∠CDB的平分线 DF交 BC于点 F． 求证：△A BE≌△ CDF．

2．如图，在△ ABC中， D是 BC边上的点（不与 B，C重合）， F， E 分别是 AD及其延长线上的点， BE. 请

) ，并给出证明．

CF∥

你添加一个条件，使△ BDE≌△ CDF ( 不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母

（ 1）你添加的条件是： __________；

（ 2）证明：

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3．如图，△ ABC 中，点 D 在 BC上，点 E 在 AB上， BD=BE，要使△ ADB≌△ CEB，还需添加一个条件．

（ 1）给出下列四个条件：

①AD=CE；

②AE=CD；

③∠ BAC=∠BCA；

④∠ ADB=∠CEB；

请你从中选出一个能使△ ADB≌△ CEB 的条件，并给出证明；

（ 2）在（ 1）中所给出的条件中，能使△ ADB≌△ CEB 的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号． __________________．

专题二 全等三角形的判定与性质

4．如图，已知△ ABC中，∠ ABC=45°， AC=4， H是高 AD和 BE的交点，则线段 （ ）

BH的长度为

A．

6

B．4

C．2 3

D．5

5．【2013·襄阳】 如图，在△ ABC中， AB＝ AC，AD⊥BC于点 D，将△ ADC绕点 A 顺时针旋转，使 AB重合，

点 D落在点 E处， AE的延长线交 CB的延长线于点 M， EB的延长线交 AD的延长线于点

求证： AM＝ AN.

N.

AC与

A

E

M

B D

N

C

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6．如图，△ ABC是等边三角形 ， D是 AB边上一点，以 CD为边作等边三角形 CDE，使点 E、A 在直线 DC的同侧，连接 AE．求证： AE∥ BC．

专题三 全等三角形在实际生活中的应用

7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上． 已知左边滑梯的高度 则这两个 滑梯与地面夹角∠ ABC 与∠ DFE的度数和是（ ）

AC与右边滑梯水平方向的长度 DF相等，

A．60° B ．90° C ．120° D ．150°

8．有一座小山，现要在小山 A、B 的两端开一条隧道，施工队要知道 A、B 两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC并延长到 D，使 CD=CA，连接 BC并延长到 E，使 CE=CB，连接 DE，那么量出 DE的长，就是 A、 B 两端的距离，你能说说其中的道理吗？

9．已知如图，要测量水池的宽 AB，可过点 A 作直线 AC⊥AB，再由点 C观测，在 BA 延长线上找一点 B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出 AB′的长，就知道 AB 的长，对吗？为什么？

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状元笔记

【知识要点】 1．全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 3．三角形全等的判定 方法

(1) 三边分别相等的两个三角形全等( 简写成“边边边”或“ SSS”) ．

(2) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等( 简写成“边角边”或“ SAS” ) ． (3) 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等( 简写成“角边角”或“ ASA” ) ．

(4) 两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 ( 简写成“角角边”或“ AAS” ) ．4．直角三角形全等的判定方法

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ( 简写成“斜边、直角边”或“ HL” ) ． 【温馨提示】

1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等． 2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．

3．“ HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等． 【方法技巧】

1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，

其规律主 要有以下几点：

（ 1）以对应顶点为顶点的角是对应角； （ 2）对应顶点所对应的边是对应边； （ 3）公共边（角）是对应边（角） ； （ 4）对顶角是对应角；

（ 5）最大边（角）是对应边（角） ，最小边（角）是对应边（角） ．

全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ AB C≌△ DEF，

说明 A 与 D， B 与 E， C 与 F 是对应点，则∠ ABC与∠ DEF是对应角，边 AC与边 DF是对应边． 2．判定两个三角形全等的解题思路：

已知两边

找夹角 —— SAS 找另一边 —— SSS

边为角的对边 —— 找任一角 —— AAS

找夹角的另一边 —— SAS

边为角的邻边

找夹边的另一角 —— ASA 找边的对角 —— AAS

已知一边一角

已知两角

找夹边 —— ASA

找任一边 —— AAS

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参 :

1．证明：平行四边形 ∴∠ ABD=∠CDB．

ABCD中， AB=CD，∠ A=∠ C， AB∥ CD，

∵∠ ABE= ∠ ABD，∠ CDF= ∠CDB，∴∠ ABE=∠ CDF．

2 2

在△ ABE与△ CDF中，

A

C AB CD ABECDF

∴△ ABE≌△ CDF．

2．解：（ 1） BD DC ( 或点 D是线段 BC的中点 ) ， FD

（ 2）以 BD DC 为例进行证明： ∵ CF∥ BE，

∴∠ FCD﹦∠ EBD．

又∵ BD DC ，∠ FDC=∠ EDB，

∴△ BDE≌△ CDF．

3．解：（ 1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明．

证明：∵ AE=CD， BE=BD， ∴ AB=CB． 又∠ ABD=∠CBE， BE=BD， ∴△ ADB≌△ CEB．

（ 2）③④．

4． B 解析：∵∠ ABC=45°， AD⊥ BC，∴ AD=BD，∠ ADC=∠ BDH， ∠AHE=∠ BHD=∠ C．∴△ ADC≌△ BDH．∴ BH=AC=4．故选 B． 5．证明：如图所示，

11

ED ， CF BE 中任选一个即可﹒

A

3

2 1

E

4

M

6 7 B

5

D N

C

∵△ AEB由△ ADC旋转而得， ∴△ AEB≌△ ADC.∴∠ 3＝∠ 1，∠ 6＝∠ C．∵ AB＝ AC，AD⊥ BC，∴∠ 2＝∠ 1， 7＝∠ C. ∴∠ 3＝∠ 2，∠ 6＝∠ 7．∵∠ 4＝∠ 5，∴∠ ABM＝∠ ABN． ∠

又∵ AB＝AB，∴△ AMB≌△ ANB．∴ AM＝ AN．

6．证明：∵△ ABC和△ EDC是等边三角形， ∴∠ BCA＝∠ DCE＝60°．

∴∠ BCA－∠ ACD＝∠ DCE－∠ ACD，即∠ BCD＝∠ ACE．

在△ DBC和△ EAC中， BC＝AC，∠ BCD＝∠ ACE， DC＝ EC，

∴△ DBC≌△ EAC（SAS）． ∴∠ DBC＝∠ EAC． 又∵∠ DBC＝∠ ACB＝60°， ∴∠ ACB＝∠ EAC．∴ AE∥ BC．

7．B 解析：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 又∵ BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF． ∴∠ ABC=∠ DEF， ∵∠ DEF+∠ DFE=90°，∴∠ ABC+∠DFE=90°． 故选 B．

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8．解：在△ ABC 和△ CED中， AC=CD，∠ ACB=∠ECD， EC=BC， ∴△ ABC≌△ CED．∴ AB=ED． 即量出 DE的长，就是 A、 B 两端的距离． 9．解：对．

理由：∵ AC⊥AB，∴∠ CAB=∠CAB′=90° . 在△ ABC和△ AB′C 中，

∠ACB ∠ACB′， AC AC，

∠CAB ∠CAB′，

∴△ ABC≌△ AB′C（ ASA）．∴ AB′=AB．

第十三章 轴对称

13.1 轴对称 13.2 画轴对称图形

专题一 轴对称图形

1．下列图案是轴对称图形的是（

）

2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是： ______________________ ．（答案不唯一）

3．如图， 阴影部分是由 5 个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．

专 题二 轴对称的性质

4．如图，△ ABC 和△ ADE关于直线 l 对称，下列结论：①△ ABC≌△ ADE；② l 垂直平分 DB；③∠ C=∠E；④ BC 与 DE的延长线的交点一定落在直线 l 上．其中错误的有（ ）

A．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

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5．如图，∠ A=90°， E 为 BC上一点， A 点和 E 点关于 BD对称， B 点、 C 点关于 DE对称，求∠ AB C 和∠C的度数．

6．如图，△ ABC 和△ A′B′C′关于直线 m对称．

1）结合图形指出对称点． （

2）连接 A、 A′，直线 m与线段 AA′有什么关系？ （

（ 3）延长线段 AC与 A′C′，它们的交点与直线 m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．

专题三 灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题

7．如图，在 Rt△ABC中，∠ ACB=90°， AB的垂直平分线 DE交于 BC的延长线于 F，若∠ F=30°， DE=1，则 EF的长是（ ）

A．3

________．

B．2 C．

3

D．1

8．如图，在△ ABC 中， BC=8，AB 的垂直平分线交 BC于 D，AC的垂直平分线交 BC与 E，则△ ADE的周长等于

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9．如图， AD⊥BC， BD=DC，点 C在 AE 的垂直平分线上，那么线段 AB、 BD、 DE之间有什么数量关系？并加以证明．

专题四 利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围

10．已知点 P（－ 2， 3）关于 y 轴的对称点为 Q（ a， b），则 a+b 的值是（ A．1 B ．－1

C

．5

D

．－5

）

11．已知 P1 点关于 x 轴的对称点 P2（ 3－ 2a，2a－ 5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则 P1 点的坐标是 __________ ． 状元笔记

【知识要点】

1．轴对称图形与轴对称

轴对称图形： 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．

轴对称： 把一个平面图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于 这条直线 ( 成轴 ) 对称，这条直线叫做对称轴．

2．轴对称的性质

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3．线段的垂直平分线的性质和判定

性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 4．关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标的特点

点 (x ， y) 关于 x 轴对称的点的坐标为 (x ，－ y) ； 点 (x ， y) 关于 y 轴对称的点的坐标为 ( － x， y) ；

【温馨提示】

1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述 的是两个图形的一种位置关系．

2．在平面直角坐标系中， 关于 x 轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同， 称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．

纵 坐标互为相反数；关于 y 轴对

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参 :

1． D 解析：∵将 D图形上下或左右折叠，图形都能重合，∴D

故选 D．

2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等 3．如图所示：

图形是轴对称图形，

4． A 解析：根据轴对称的定义可得，如果△ ABC 和△ ADE关于直线 l 对称，则△ ABC≌△ ADE，即①正确；因 为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对 应线段、对应角相等，故 l 垂直平分 DB，∠ C=∠E，即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延

BC与 DE的延长线的交点一定落在直线 l 上，即④正确．综 长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故

上所述，①②③④都是正确的，故选A． 5．解：根据题意 A 点和 E 点关于 BD对称， 有∠ ABD=∠EBD，即∠ ABC=2∠ABD=2∠EBD． B 点、 C 点关 于 DE对称， 有∠ DBE=∠BCD，∠ ABC=2∠BCD． 且已知∠ A=90°， 故∠ ABC+∠BCD=90°． 故∠ ABC=60°，∠ C=30°． 6．解： （ 1）对称点有 A 和 A' ，B 和 B' ，C 和 C' ． （2）连接 A、A′，直线 m是线段 AA′的垂直平分线．

（3）延长线段 AC与 A′C′，它们的交点在直线 m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线 即若两线段关于直线 m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上． 7． B 解析：在 Rt△ FDB中，∵∠ F＝30°，∴∠ B＝60°． ∴∠ A＝30°．在 Rt△

m上，

在 Rt△ ABC中，∵∠ ACB＝90°，∠ ABC＝60°，

中，∵∠ A＝30°， DE＝ 1，∴ AE＝ 2．连接 EB. ∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴ EB

AED

＝AE＝2. ∴∠ EBD＝∠ A＝30°．∵∠ ABC＝60°，∴∠ EBC＝30°．∵∠ F＝30°，∴ EF＝ EB＝ 2．故选 B．

A

D

E

F

C

B

8． 8 解析：∵ DF是 AB的垂直平分线，∴ DB=DA．∵ EG是 AC的垂直平分线，∴ EC=EA．

∵ BC=8，∴△ ADE的周长

=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8．9．解： AB+BD=DE．

证明：∵ AD⊥BC， BD=DC，∴ AB=AC．

∵点 C 在 AE的垂直平分线上，

∴ AC=CE．

∴ AB=CE．

∴ AB+BD=CE+DC=DE．

10． C 解析：关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴ a=2， b=3．∴ a+b=5．

解得 1.5 ＜a＜ 2.5 ，又因为 a 必须为整数，∴ a=2．∴点 P2（－ 1，－ 1）．

∴P1 点的坐标是（－ 1，1）．

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第十四章

专题一 幂的性质

1．下列运算中，正确的是（ ）

A． 3a2－ a2＝ 2 B ． ( a2) 3＝ a9 2．下列计算正确的是（ ）

A． x3 · x 2 C ． ( x 2 ) 3

整式的乘法与因式分解

14.1 整式的乘 法

C ． a3? a6＝ a9 D

． (2 a2) 2＝2a4

2x6 x6

B ）

． x 4 · x 2 x8

6

2

12

6 2

12

D． ( x3 )2

6

x5

3

3．下列计算正确的是（

2

2

4

2

A ． 2a ＋ a ＝ 3a

专题二 幂的性质的逆用

B．a ÷ a ＝ a

C． a · a ＝ a

D．( － a ) ＝ a

4．若 2a=3， 2b=4，则 23a+2b 等于（ A ． 7 B ．12 C ． 432 D

） ．108

5．若 2=5， 2 =3，求 23 +2 的值．

ｍｎｍｎ6．计算： (1)( － 0.125) 2014× ( － 2) 2014× ( －4) 2015 ；

(2)( － 1 ) 2015×811007．

9

专题三 整式的乘法

7．下列运算中正确的是（ A． 3a 2a

）

． (2a b)(a ． (2 a b)2

5a2

B D

b) 4a 2

2a2 ab b2 b2

C． 2a 2 a3 2a6

8．若（ 3x2－ 2x+1）（ x+b）中不含 x2 项，求 b 的值，并求（ 3x2－ 2x+1）（ x+b）的值．

9．先阅读，再填空解题： （x+5）（ x+6） =x2+11x+30；

2（x－ 5）（ x－ 6） =x －11x+30；

（x+5）（ x－6） =x2－ x－ 30．

（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答： （2 ）根据以上的规律，用公式表示出来： （3）根据规律，直接写出下列各式的结果： 专题四

整式的除法

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________．

（ a+99）（ a－ 100） =________ ；（y－ 80）（y－ 81） =________．

________．

10．计算：（3x3y－ 18x2y2+x2y）÷（－ 6x2y） =_______ _．

2

11．计算：（

4

7

1

2 6

3 a b 9 a b ）（

1 3 2 3 ab ） ．

12．计算：（a－ b） 3÷（ b－ a） 2+（－ a－ b） 5÷（ a+b） 4．

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